模算術——內在美和人的好奇心的驅動

2021-02-20 Deligne的腦殘粉
模算術作為數學家的主要關心對象至少已經有 250 年了， 而且它仍是當前研究中的一個非常活躍的論題. 在本文中，我將會解釋什麼是模算術，說明它為什麼對數學家們重要，並且討論一下最近的一些突破。

什麼是模算術

對模算術的研究，在它幾乎全部歷史中，都由它的內在美和人類的好奇心所驅動. 但是，作為那些標誌著人類知識進步的意外新發現之一， 過去半個世紀裡， 模算術在「現實世界」中找到了重要應用. 今天，模算術理論 (如：Reed—Solomon 糾錯碼) 是 DVD 存儲方式或者衛星無損傳輸大量數據的依據． 更進一步， 例如保證我們銀行交易安全的加密 (cryptographic) 碼同樣和模算術理論有緊密的聯繫.你可以將通常的算術看成是對沿著 「數線」 延伸的點的操作． 為了做 3 加 5， 你從 0 開始，向右數 3，接著再向右數 5， 得到 8. 為了做 3 乘以 5， 你從 0 開始，向右數 5 次 3 就得到 15． 這類操作應該從小學就被大家所熟悉.

在模算術裡，人們把整數排列在一個圓周上而不是沿著一條無限長的直線，就像小時排列在時鐘上. 從一開始人們就需要決定我們的時鐘上有多少 「小時 』． 它可以是任意的數， 不一定是 12. 作為第一次說明，讓我們假定我們的鐘表上有 7 「小時」 —— 我們說我們在做 模 7 算術． 為了做 3 加 5 模 7， 你從 0 開始，順時針數 3，然後再順時針數 5 ，得到 1．為了做 3 乘以 5 模 7， 你從 0 開始， 順時針數 5 次 3， 又得到 1． 我們可以寫成                   

                                                模 7 的時鐘

就如我們上面提到的， 7 是沒有什麼特殊的．我們可以把任意多個 「小時」 放在我們的時鐘上和做模任意整數的算術． 我們通常的時鐘可以用來做模 12 的算術． 如果你去看一場從 11 點開始的兩小時長的電影，那麼你將在 1 點看完． 這說明了在模12 算術中的下述等式 


這可以看作是對我們通常的算術的慣用變體 ，而且讀者可以合理地想這會不會不僅僅是好奇而已．我希望這篇文章能夠讓大家信服這點 . 一個重要的觀察是，在通常的算術裡任何算術等式在任何整數模算術中也是成立的. 這可以通過如下觀察得到：在通常的數線圍著模鐘的表面環繞，這就把通常的算術轉化了模算術.

為什麼關心模算術

為了說明數學家關心模算術的一個主要原因，讓我從一個最古老的數學問題開始：找 Pythagoras （畢達哥拉斯）三數組，即找方程的整數解. 由 Pythagoras 定理（即勾股定理），這相當於找所有的邊是整數的直角三角形. 譬如

3800多年前巴比倫的泥板 Plimpton 322 列了一些 Pythagoras 三數組. 該數組的第 2 列列舉了  

用現代的記號， Plimpton 322 列的是以下的解答：

值得注意的是其中的一些解的非常複雜，但我們卻不知道他們是怎麼生成的. 是通過反覆實驗還是巴比倫人知道一個算法？
能肯定的是 1500 年後，希臘人知道了一個能夠生成這個方程所有整數解的算法. 我們知道這個是因為歐幾裡得在他著名的《幾何原本》的第 10 卷中解釋了這個方法. 用現代的代數記號，歐幾裡得證明了方程  本原解是指： 

互反律

回憶一下，一個素數是一個只能被 1 和它本身整除且大於 1 的整數. 例如 2，3，5，7，11，13，17，19 都是素數，但 15 就不是了，它可以被 3 和 5 整除. 每個正整數都可以被唯一地（不考慮順序）寫成素數的乘積. 某種意義上，素數有些像原子，其他所有的整數都可以由它們合成.早在1800多年前，中國的《孫子算經》記載了一個現在被稱為中國剩餘定理的命題. 這個定理給出一個非常有效的算法，該算法將研究一個多項式方程模  二次互反律. 這也被認為是高斯最喜歡的定理，在他的一生中，他經常返回去思考它，並且給出了 8 個不同的證明. 它陳述如下：

如果 p 是一個素數，則一個整數 n 模 p 的平方根的個數僅僅依賴於 p 模 4n.

表面上看來，這似乎並不驚人，但我想強調的是，並沒有任何明顯的理由說明為什麼解方程

高斯的定理也提供了一個決定一個整數模一個素數 p 的平方根的個數的有效方法. 例如，人們可以問在模素數 20131011 的算術中 3 有多少一個平方根. 理論上，你可以驗證 20132011 種可能並且得到答案，但是（不用計算機）這會花很長時間. 另一方面， 
令人震驚的是在 1954 年，Martin Eichler (艾克勒) (普林斯頓高等研究院前成員) 發現了一個未包含在 Artin 的定理裡的全新互反律． (這類互反律通常所謂 「非交換的」．) 更精確地 ，他發現了二元方程  

例如，你看到  


同時，在 20 世紀 70 年代中期， Robert Langlands (朗蘭茲) (高等研究院數學學部的榮譽退休教授) 超常地洞察到 Eichler，谷山和志村的想法是一個大得多的藍圖中的一小部分．他能夠提出對最終的互反律的猜想 —— 對以往發展的一個巨大的推廣，適用於任意多變量的任何次數 的任何數量的方程． 在過去的 10 年裡，用 Wiles 引進的想法，在Langlands 的互反猜想上有很多的進展，但更多的仍待解決.
所有非交換互反律都具有的一個顯著特徵是，解的個數的公式是由彎曲空間的對稱性 —— 在解代數方程和幾何對稱之間的一種意想不到的聯繫 —— 給出來的． 在志村-谷山互反律的情形，相關的對稱是 「雙曲平面」 的對稱．雙曲平面可以被想像成一個 (無邊界的) 圓盤， 但是帶了一個特別的距離．對於接近圓盤中心的兩點， 他們的 「雙曲」 距離和通常的距離近似， 但在靠近邊界的時候距離是急速扭曲的．在 Escher (埃舍爾) ) 的一些木刻中描述了雙曲平面和它的對稱性，就好像下面這張圖．在雙曲世界裡，Escher 的圖案中的所有魚被認為有相同的大小 .

進一步的問題

我將以討論關於最近有所發展的模算術的一個進一步的問題來結束本文 .我們可以用尋求當素數變化時模素數解的個數的統計行為，去代替尋求一條能預測當模變化的素數 p 的時候一個方程的解的個數的法則． 追溯到單變元二次方程這一簡單情形， Lejeune Dirichlet(狄利克雷) 在 1837 年證明了：對一個固定的非完全平方的整數 m ，方程 
1949 年，Weil 提出將 Hasse 的界推廣到任意多變量任意次的任意多個方程的猜想．這個著名的猜想引起了算術代數幾何的革命． Weil 的猜想最終被 Pierre Deligne (德利涅) 在 1974 年證明了．
回到方程  

對於  Sato-Tate 密度定理最近已經被 (Laurent Clozel 和 Michael Harris (哈裡斯) ，都是高等研究院前成員；以及 Nicholas Shepherd—Barron 和本文作者) 證明，不僅僅是對這個方程，而是對所有的二元三次方程．證明結合了 Diriehlet 和 Frobenius 的論證和一個無窮列的 Langlands 的互反律的新情形． 當然，應該有任意多個變量任意次的任意多個方程的密度定理，但是這些仍然是非常猜想性的．故事仍在繼續 …


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