課題:算術平均數與幾何平均數

2021-03-01 高中數學高分創造營

課題：算術平均數與幾何平均數

教學目標：掌握兩個正數的算術平均數不小於它們的幾何平均數的定理，並會簡單運用；

利用不等式求最值時要注意到「一正」「二定」「三相等」．

教學重點：均值不等式的靈活應用。

幾個重要名詞解釋

平均數，統計學術語，是表示一組數據集中趨勢的量數，是指在一組數據中所有數據之和再除以這組數據的個數。它是反映數據集中趨勢的一項指標。解答平均數應用題的關鍵在於確定「總數量」以及和總數量對應的總份數。

在統計工作中，平均數（均值）和標準差是描述數據資料集中趨勢和離散程度的兩個最重要的測度值

（1）算術平均數（ arithmetic mean），又稱均值，是統計學中最基本、最常用的一種平均指標，分為簡單算術平均數、加權算術平均數。它主要適用於數值型數據，不適用於品質數據。根據表現形式的不同，算術平均數有不同的計算形式和計算公式。

算術平均數是加權平均數的一種特殊形式（特殊在各項的權重相等）。在實際問題中，當各項權重不相等時，計算平均數時就要採用加權平均數；當各項權相等時，計算平均數就要採用算術平均數，

算術平均數是加權平均數的一種特殊形式（特殊在各項的權重相等）

（2）幾何平均數：如果總水平、總成果等於所有階段、所有環節水平、成果的連乘積總和時，求各階段、各環節的一般水平、一般成果，要使用幾何平均法計算幾何平均數，而不能使用算術平均法計算算術平均數。




最值定理：當兩個正數的和一定時，其乘積有最大值；當兩個正數的乘積一定時，其和

有最小值。

（二）主要方法：

常見構造條件的變換：加項變換，係數變換，平方變換，拆項變換，常量代換， 三角代換等.

當使用均值定理時等號不能成立時，應考慮函數的單調性（例如「對號」函數， 導數法）.

（三）典例分析：

（四）問題1．求下列函數的最值：

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