柯西《分析教程》中:算術-幾何平均值不等式最優美的證明

2021-01-09 電子通信和數學

算術-幾何平均值不等式是數學中的一個重要不等式，它的證明方法有很多，其中最經典的是柯西1821年在它的名著《分析教程》中所記載的證明，因其美妙，間接，嚴謹而被歷代數學家所稱讚。

都知道算術-幾何平均值不等式的形式如下

首先柯西從最簡單的數學形式出發得到：即n=2的情況下的等式，一目了然

接著，參照上述n=2的等式形式 ，可迅速寫出得到n=4的情況下的不等式，

依次類推，n=8的情況下，得到如下等式形式

你會發現右邊公式的指數等於左邊項數n，即n=2^m，且這裡的項數n是幾何級數的形式，很明顯當n等於幾何級數的形式時，算術-幾何平均值不等式是完全成立的

為了得到它的一般形式，可假設n不是幾何級數形式2^m，這裡的n可以是任意數，在這裡我們假設比n大的最小的數是2^m,且令n個正數A,B,C,D……的平均值是K

那麼對於n個正數A,B,C,D……和（2^m-n）個k，我們很容易得到如下的等式，因為它們的數目正好等於2^m

上式也可以寫成如下形式

因為K只是平均值，所以我們依據上面兩個式子，等式就變成了如下圖樣式，這就是一般形式的算術-幾何平均值

舉例，n=2.n=3,……

柯西這種方法非常美妙，而且嚴謹，夥伴們你看懂了嗎。

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