撰文 | 李讓 賢見
來源 | 《現代物理知識》
編者按：P.A.M 狄拉克（1902.8.8-1984.10.20），英國物理學家，量子力學的創始人之一，因對量子力學所做的貢獻而與薛丁格合得1933年諾貝爾物理獎。「理論物理研究方法」節譯自科學出版社1989年出版的《From a life of physics》。為不失原文風格，下文仍採用狄拉克的第一人稱表述。
我試圖給你們一個概念，即理論物理學家如何工作-如何努力著手去研究，以便更好地了解自然規律。
人們可以追憶過去從事的研究，這樣做，人們的思想深處總潛在著希望，可以從中得到啟發，教訓，前車之鑑，有利於當前研究工作，無論過去還是現在，人們所遇到的問題有許多根本上相同之處，溫故知新，回顧成功之路，對今天的研究會有幫助。
對理論物理學家而言，主要有兩種研究方式，其一是以實驗為出發點，這就必須保持與實驗物理學家緊密接觸，獲悉他們所得到的一切結果，並試圖將這些結果恰如其分地安排到令人滿意，使人信服的物理框架中去。其二是以數學為基礎，檢驗與批判現有的理論，準確找出並消除現有理論中的缺陷。這裡困難在於，消除缺陷而不損壞現有理論的巨大成就，當然，這兩種一般的研究方式的區別不是那樣徑渭分明，在這兩極端之間還存在著種種程度不同的方式。
採用那種方式主要取決於研究課題。對於知之甚少，剛剛開闢的領域，採用以實驗為出發點的方式為佳，開始只需收集實驗的事實，加以分類整理。例如：讓我們回顧上世紀元素周期表是怎樣建立的，最初，只是收集實驗事實並加以整理，隨著周期表的逐步建立，人們逐漸樹立了信心。最後，元素周期表趨於完成，人們也足以預言：周期表中的空位，將被以後發現的新元素所佔據，這些預言都被證實了。
在知之甚少的物理研究領域裡，物理學家必須堅持以實驗為基礎，如果過於沉溺於異想天開的猜測性的思辨中，無疑會導致錯誤。我並不想一概地貶低猜測性的思辨，即使它的最後結果是錯誤的，還是受歡迎的，間接是有用的，物理學家應經常不斷地解放思想以接受新觀念，所以不要全然反對猜測性的思辨，但必須當心不要沉溺於它之中。
宇宙學的猜測性的思辨
宇宙學就是有著太多的猜測性的思辨, 面對寥寥無幾的確鑿事實, 理論工作者卻基於種種能夠想像到的假設一直忙於建立各種各樣的宇宙模型。這些模型可能全然不對。通常人們以為自然規律總是一成不變的, 這是沒有根據的 自然規律也可能在變化之中, 特別是, 被視為自然界中的一些常量, 卻可能隨著宇宙歲月流逝而改變。這樣的改變會整個推翻模型構造者的結果。
隨著某個課題知識的積累, 人們藉以研究的基礎大大擴大, 就能越來越多地使用數學方式。這時追求數學的完美已成為基本的動機。理論物理學家把數學完美的要求作為一種信仰, 沒有強制的理由要這樣, 但以往的經驗表明這是富有成效的目標, 例如：相對論之所以被普遍接受, 主要在於它的數學的優美。
數學方式有兩個可用的主要方法：（1）消除不一致性: （2）把先前互不相關的理論統一起來。
成功之道
許多例子表明, 方法（1）卓有成效, 麥克斯韋研究了他那個時代的電磁方程的不一致性，從而引進了位移電流的概念，建立了電磁波理論。普克朗研究了黑體輻射理論中的困難，引進了量子概念。愛因斯坦注意到處在黑體輻射平衡態中單個原子的理論中的某個困難, 從而引進了受激輻射這一概念，導致了現代雷射，但是，最精採的例子還是愛因斯坦引力理論的創建, 它來自於協調牛頓引力理論和狹義相對論的需要。
實踐表明, 方式（2）不太有效。人們以為，物理學中的兩個長程作用場, 即引力場和電磁場應該密切相關。愛因斯坦耗費了許多歲月試圖把它們統一起來，但沒有成功。看來, 試圖直接把不相關的理論統一起來, 而又沒有發現其中可以入手的不協調之處，一般來說，這太困難。如果成功最終果然來臨，也將是通過某種間接的方式。
採用實驗的還是數學的方式, 雖然很大程度上取決於研究課題, 但並非完全如此, 這也取決於研究者本人。量子力學的發現就是一個例證。這裡涉及兩個人, 海森伯和薛丁格。海森伯以實驗為基礎從事研究，使用了光譜學的成果。而到一九二五年這已累積了大量數據。其中很多是無用的, 但有些是有用的，例如：多重譜線中譜線的相對強度。海森伯的天才在於, 他能夠從浩如煙海的情報中挑選出重要的東西來, 並把它們置於某個自然的模式中, 就這樣他得到了矩陣（力學）。薛丁格的研究是十分不同的。他以數學為基礎，不象海森伯那樣, 清楚了解光譜學的最新成果。但是他思想深處認為, 光譜頻率應該由本徵值方程所確定，這有些類似於本徵值確定了弦振動的頻率。他早已有了這種想法, 最後得以間接地找到了正確的方程。
相對論的影響
為了了解那個時代理論物理學家工作的氣氛, 必須知道相對論的巨大影響，在漫長和困難的戰爭年代結束時, 相對論以其巨大的影響深人科學思想的世界中。每個人都想從戰爭的緊張中擺脫出來，熱切地抓住新的思想模式和新哲學，那種激動的氣氛在科學史上是史無前例的。在這種激動的背景下, 物理學力圖去解開原子穩定性的奧秘。薛丁格象其他人一樣被新思想所吸引, 企圖在相對論的框架內建立起量子力學。一切的量都應表成時空中的矢量和張量。不幸的是，那時建立相對論量子力學還為時過早, 薛丁格的發現被耽擱了。薛丁格的出發點是基於德布羅意把粒子和波以相對論方式聯繫起來的美妙想法。而德布羅意的想法僅適用於自由粒子。薛定謬試圖把這個想法推廣到原子中束縛電子的情形。他在相對論的框架內做成了。但當把他的理論應用到氫原子, 他發現結果與實驗不符。這種不符是因為沒有考慮電子的自旋, 這在當時是不知道的。薛丁格進而注意到，他的理論在非相對論近似下卻是對的, 他只好讓步, 發表了這個降格的非相對論理論, 這已耽擱了幾個月。
這個故事的經驗教訓在於人們不應要求一步做得太多，而應把物理學中的困難儘可能地逐個分開, 然後一個一個地解決。
海森伯和薛丁格給了我們量子力學的兩個形式，很快發現它們是等價的, 這兩種表象之間可以用某個數學變換相聯繫。
我在早期的量子力學工作中, 用的是基於某個很抽象的哪點的數學方式。我從海森伯的矩陣所提示的非對易代數入手, 這是新的動力學的主要特點，並考察經典動力學如何能夠與此相適應。當時其他人從不同觀點致力於這個課題, 我們幾乎同時獲得了等價的結果。
暇餘的收穫
我想提一下, 我發現最好的想法通常不是產生於當人們正在積極地探索時, 而在在出現在人們較鬆弛時。布洛赫教授曾告訴我們, 他經常在火車上產生靈感, 並常在旅途結束前得出結果。我的情形不同, 通常周日我獨自漫長散步, 步行時悠閒地回想目前工作的狀況，這時常有收穫，即便（或許正因為）散步的主要目的是休息,而不是思考問題。正是在這樣的一次散步，我想到了對易子和泊松括號之間可能有著聯繫, 當時我不大清楚泊松括號是什麼, 所以不能確認這種聯繫。回家後, 我發現家裡沒有解釋泊松括號的書, 我只得耐心等待次日早晨圖書館開門, 以證實這個想法對否。
隨著量子力學的發展, 理論物理出現了新的情況：基本方程, 海森伯運動方程, 對易關係和薛丁格波動方程被發現，它們的物理解釋卻不清楚。由於動力學變量不可對易, 人們所習慣的經典力學的直接解釋已不適用, 這就需要找到這些新方程的準確含義和適用方式。這個問題不是直接地解決的。人們首先研究一些例子, 例如非相對論的氫原子和康普頓散射, 找到了求解這些例子的特殊方法。逐漸地推而廣之, 若干年後，隨著海森伯測不準原理和波函數的一般統計解釋的確立, 人們對量子力學才有了象今天這樣的完全理解。
量子力學早期的迅速進展, 是在它的非相對論的形式中做出的, 自然人們對此不會滿意。單個電子的相對論理論，也就是薛丁格最初的方程已建立。這個方程又被克萊因和戈登再次發現, 並以他們的名字命名。然而, 對這個理論的解釋卻與量子力學的一般統計解釋不一致。
從張量到旋量
按那時對相對論的理解, 所有相對論性的理論必須能以張量形式來表達。在此基礎上, 不會有比克萊因-戈登理論更好的理論。大多數物理學家都滿足於把克萊因-戈登理論當作可能的最好的單個電子的相對論量子理論。不過這個理論和一般原理之間的分歧使我始終不滿, 我一直為此擔優, 直到找到解答。
張量已不再適用, 必須擺脫它們, 引進現在稱之為旋量的雙值量。過於習慣於張量的人們是不容易從張量中擺脫出來, 去考慮某些更一般的東西的。我之所以能做到這點, 只是因為與張量相比較, 我更偏愛量子力學的一般原理。當愛丁登看到偏離張量的可能性後, 他感到非常驚訝。人們應當經常譬惕自己, 不要過於偏愛某個特殊的思路。
旋量的引進給出了與量子力學的一般原理相一致的相對性理論。這也解釋了電子的自旋, 雖然這並非是該項工作的原先目的。這時又出現了一個新問題，即負能態問題。該理論顯示出正能態和負能態之間的對稱性，而在自然界中只存在著正能態。
正如以數學方式從事研究所經常遇到的, 一個困難的解決引出了另一個困難。也許你會以為, 那樣就根本沒有進展, 但並非如此, 因為第二個困難比第一個存在得更悠久，也許, 第二個困難實際上始終存在著，只是當第一個困難解決後, 它才突出起來, 負能態困難就屬這種情形。所有相對論的理論都有著正能態和負能態的對稱性, 只是先前這個困難一直被該理論中的更大的缺陷所掩蓋著。
只要假定真空中所有的負能態已被電子填滿, 負能態困難就可以消除, 這樣在理論中, 除了電子外還存在著正電子, 我們的認識因而也達到了新階段。然而, 又有一個新困難出現了, 這一次它與電子和電磁場的相互作用相聯繫。當寫出並試圖求解, 人們相信能精確描述這個相互作用的方程時, 發現一些本應有限大的物理量卻是發散的積分。這個困難實際上又是始終存在的, 它潛伏在理論中，只是現在變為主要的了。
誤人歧途
如果人們用經典的方法處理點狀的電子與電磁場的相互作用, 就會發現與場的奇點相聯繫的困難。人們早在洛倫茲所處的年代，就知道這個困難。洛倫茲最先解出了單個電子的運動方程。在海森伯和薛丁格的量子力學早期, 人們以為這些困難會被新力學所消除。現在清楚了這個希望不能實現。這困難再次以發散的形式出現在量子電動力學，即電子和電磁場相互作用的理論中。此困難變成與負能電子海相關的無窮大, 並成為主要的問題。
發散困難是棘手的, 二十年內無進展, 然後有了發展, 這來自於蘭姆的發現和對蘭姆移位的解釋, 這個進展卻根本地改變了理論物理的性質。這裡涉及到把無窮大分離開的規則確立, 這些規則是精確的, 使得餘留下的量是確定的, 有限的, 可以與實驗相比較。但人們還只是在使用一些工作規則, 而不是正規的數學。
今天, 看來大多數理論物理學家滿足於這種狀況，但是, 我並非如此。我相信, 這樣的發展使理論物理學誤入歧途, 人們不應對此滿意, 當前的情形類似於一九二七年, 當時大部分物理學家滿足於克萊因-戈登方程, 卻不介意該理論的負機率困難。
必須認識到當我們不得不從方程中拋棄無窮大時, 就犯了根本性的錯誤, 我們必須維護邏輯學中的基本觀念, 哪怕付出巨大代價。對此的關切，可能會導致重要的進展。量子電動力學是物理學中知之最多的領域。可以設想, 要使其他的場論有根本的進展, 必須先弄清量子電動力學, 雖然這些場論本身還將在實驗的基礎上繼續發展。
讓我們看一看, 為了把量子電動力學建立在邏輯基礎上, 能作些什麼。我們必須按慣例行事, 只有人們相信是小的量, 才可以忽略, 儘管這種相信所依賴的理由也許並不可靠。為了處理無窮大, 我們必須使用某個截止的程序，在數學中, 當某個級數或積分不是絕對收斂時，就必須使用這個程序。引進某個截止後，讓它越來越大，就得到某個極限, 這個極限依賴於截止的方法。或者，我們可以讓這個截止有限，這就必須找到不怎麼依賴於這個截止的物理量。
量子電動力學的發散來自於粒子和場相互作用的高能項。因此，截止相當子引進某個能量g, 比這個能量更高的相互作用能項將略去.結果發現讓g趨於無窮大時, 會破壞求解方程的邏輯性, 這迫使我們採用某個有限大的截止。這時理論的相對論不變性破壞了, 這很遺憾: 但比起邏輯推理的破壞總要好些。由此得到的理論不再適用於比g更高能量的過程, 但是我們還是可以期望這個理論對低能過程是個好的近似。
基於物理的考慮，g應是數億電子伏量級, 當達到這個能區，量子電動力學不再自成一體, 物理學中的其他粒子開始起重要作用。g的這個值對量子電動力學來說是合適的。由於截止是有限的, 我們必須去尋找那樣的物理量, 它們不怎麼依賴截止的數值和截止的精確方式。 這時我們發現，薛丁格表象已不再適用。薛丁格方程的解, 即使是真空態的解也極大地依賴於此截止。但是在海森伯表象計算的某些結果, 卻不怎麼依賴於截止。用這種方法計算蘭姆移位和電子的反常磁矩, 所得的結果與二十年前運用拋棄無窮大的規則所得的是一樣的。但是現在這個結果可以用邏輯方式獲得, 遵從標準的數學：小的量才能略去。
由於現在不能再使用薛丁格表象, 量子力學中對波函數模的平方所作的一般物理解釋也不再適用。我們必須去尋找適用於海森伯表象的新的物理解釋。量子電動力學的這種情形很類似量於力學早期的情形，那時我們已經有了運動方程, 但卻沒有一般的物理解釋。
應注意到在上述的計算蘭姆移位和反常磁矩時的一個特點。人們發現在初始方程中表示電子的質量和電荷的參數m和e並非是這些量的實驗測量值。如果我們以m和e表示實驗測量值, 就必須把初始方程中的m和e 改為 m+δm 和e+δe，這裡的δm 和δe 是可以計算的小修正量。這個過程稱為重整化。
量子電動力學中的困難
初始方程所做的這樣的改變是允許的。我們可以選擇所喜歡的任何方程作為初始方程, 從這些方程出發進行推理, 發展理論。也許你會以為, 如果理論物理學家可以作他所喜歡的任何初始假設, 那麼他的工作是容易的。但是困難在於他必須在該理論的所有應用中使用同樣的初始假設。這極大地限制了他的自由。當帶電粒子和電磁場相互作用時, 重整化總是允許的，因為它是對初始方程的一個簡單和普適的改變。
量子電動力學中還存在著一個嚴重的困難, 它與光子自能有關解決這個困難就必須對初始方程作進一步的改變, 這比重整化更為複雜。
我們的最終目標是要找到合適的初始方程, 由此可以推導出整個原子物理。我們離這個目標還很遠。達到這個目標的一條途徑是，首先完善低能物理理論即量子電動力學, 然後試圖把它推廣到越來越高的能量。然而, 當前的量子電動力學並不滿足數學美的高標準，這個高標準是人們對一個基本的物理理論所應期望的, 所以人們有理由相信, 基本的觀念還有待根本的改變。
來源：《現代物理知識》第6卷第4期