都在測溫度,但到底什麼是溫度?

如今，全國眾多公共場所都在不間斷地測量過往人群的體溫。然而，什麼是溫度？一個體系有沒有溫度？溫度計到底測量了什麼？這些問題即便在專業的物理教科書和雜誌上也是語焉不詳。本刊特發此文，供參考。

撰文 ∣ 曹則賢（中科院物理研究所研究員）

飲水魚心知冷暖，濯纓人足識炎涼。

－［唐］羅隱（1）

溫度測量的歷史是科學發展史的組成部分……

-Thomas D. McGee

提要：感知冷熱是生命必備的能力，因此冷熱概念的出現遠遠早於熱力學這門學科，也就難免糾纏不清。熱、冷、火在英文物理文獻中都有多重表述，而溫度也是非常不易正確理解的物理學基本概念之一。

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世事總關炎涼

茫茫宇宙中一粒微不足道的塵埃——地球——上誕生了生命。注意到地球的平均溫度約為15°C，生命的物質基礎之一是水而水的凝固點為0°C，以及生命作為一個遠離平衡態的耗散體系需要不斷獲得能量而地球的能源是來自太陽的輻照等幾個事實，就可以多少理解生命所選擇的溫度窗口（必須處於環境溫區的高端）以及對冷暖的敏感（2）。可以說一切生命最重要的感覺能力是對冷暖的感知（對許多高級動物來說，視覺或者聽覺是備選項），過去中國人甚至將知冷知熱看作是一個人作為好的配偶所必備的品格。在中文語境裡，溫和、溫暖、溫柔等貼近我們體溫的詞彙都讓人感到非常溫馨，在其它文化中大概也應如此，畢竟「環球同此涼熱」（3）。

冷熱的概念在人體發育的早期就應該建立起來了。給嬰幼兒餵奶餵飯，一開始由大人掌握冷熱，而後就要教孩子自己明白冷熱。舒適的溫度，應該是體溫附近不大的範圍，它首先是生理的需要，其後慢慢成了心理的需求。我們一個人一生中最需要理解的現象也許就是世態炎涼，人情冷暖！人類自愚昧中走過來，在其科學努力中自然會將很大的精力放在理解冷暖現象上。於是，我們發展了熱學、熱力學，而這其中要理解和量化的一個重要概念是冷熱程度，即溫度。

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混亂的字面

冷熱是我們身體的感覺，因此我們關於冷熱現象相關的詞彙一定比熱力學這門科學出現得早，也就容易想像存在某些概念上的夾雜不清。再考慮到英語的複雜來源，以及熱力學在德、法、英幾乎同時發展的歷史現實，可以想見英文科技文獻中與熱有關的詞彙會有許多不同的面目。首先，熱力學關注的基本量是熱量（liàng），是能量的一種特殊形式。中文裡熱如今既是具體的名詞（溶解熱），也是抽象名詞代表「熱的」這種感覺、這件事（旅遊熱），也是形容詞（熱心腸）；相應地，德語裡「熱的」是heiβ，而具體名詞熱，die Wärme，對應的形容詞卻是溫暖，warm；英語裡「熱的」一詞，hot，來自德語heiβ，但是詞形變化豐富：「熱的」這種感覺、這件事為hotness，熱量則是heat。德語形容詞warm傳入英語後，其對應的名詞warmness，是溫暖的感覺，卻沒有熱量的意思。漢語科技名詞中涉及熱的還有熱解（裂解）的說法，是對pyrolysis 的翻譯。Pyros 來自希臘語πήρоς，是火的意思。同樣與火同源的字還有fever (發熱、發燒) ，德語為 das Fieber。如果知道中文的「熱」字，從火，是形聲詞，這一點就很好理解。

熱學作為一門學科在德語裡為Wärmetheorie，英文為heat theory，此為熱力學的前身。熱力學，thermodynamics （thermo+dynamic），來自希臘語。但是，希臘語θερμός (thermos) 的意思恰恰是「溫的」，形容詞「熱的」是καντός （kantos）和ζεστός (zestos)。說到熱量，英文中也用calorie (漢語直接音譯卡路裡，或乾脆「卡」)，談論營養保健、運動塑身的人喜歡用「卡路裡」代表熱量。Calorie這個詞來自拉丁語calere，意思是 to be warm， glow，glow with heat。Glow with heat （熱而發光） 就是白熾燈的原理，後文我們會看到這個問題在近代物理學中舉足輕重的地位。Calorie在希臘語中也是「熱的」意思，比如熱輻射體（radiator），希臘文就是σώμα καλоριφέρ (caloric body)。在羅曼語族的語言中，「熱的」一詞都和calorie相仿佛，如這句西班牙語「La temperatura es una magnitud referida a las nociones comunes de calor o frío（溫度是度量熱或冷的量）」中的calor。

為了表徵冷熱的程度（degree of hotness or coldness），人們引入了temperature的概念。冷熱的程度不是熱度也不是冷度，而是溫度，如temperature的本意。Temperature的同源動詞temper為調和的意思，如 to temper critism with reason （批評中加入說理），to temper paint with oil（用油調漆）。形容詞temperate的意思是溫和的，如a temperate reply （溫和的答覆），a temperate climate (溫和的氣候），等等。Temperate若指冷熱程度，其近義詞有 tepid、mild 和lukewarm （舒適、愜意）。莎士比亞最著名的十四行詩「Shall I compare thee to a summer's day?」的起始兩句：

Shall I compare thee to a summer's day?

Thou art more lovely and more temperate.（4）

其中的temperate 指的就是好脾氣、溫順、溫婉的意思。此外，拉丁文temperaturae本意有不過分的意思，比如關於美之標準的冷冰冰的嚴格對稱性與其說是要達到的標準，勿寧說是一種在其基礎上要偏離的標準：「但這偏離不可過分（temperaturae），所謂在絕對的對稱性中有目的地、偷偷地塞入一些細微的變化」[1]。

熱的反義詞是冷。關於冷，雖然英文的冷，cold、coldness，也在英文物理文獻中時常見到，但很多時候用到的是其它形式的詞。比如refrigerator（冰箱）、refrigerating machine（制冷機），這裡的冷，fri，來自拉丁語系，法語形容詞為 froid，西班牙語為frío。相應地，冷在希臘語中為κρήоς（cryos），是極寒冷（chilly）的意思，但是在現代物理學文獻中極寒冷也不足以說清楚它是多麼的冷了。Cryo 出現在cryostat（低溫恆溫器）、cryopump (冷凝泵) 等詞彙中，這裡的冷可是由液氮或液氦維持的，cryogenic refrigerator裡的溫度遠比家中冰箱裡的更低。有時為了有所區別，人們在表達「冷的」概念時會選擇不同詞源的詞，如冷原子物理英文為ultracold atomic physics，低溫物理則寫成low-temperature physics，《低溫物理》雜誌因為要顯得很有學問，還要寫成拉丁文 physica temperaturae humilis。

在量熱設備上，文字也是比較混亂。Thermos是「溫的」，thermometer 是量溫的器材，漢譯溫度計；但還有一個詞為thermoscope，按說也是溫度計，但有人為了以示區別將之譯為量溫器、測溫器。其實，這裡的區別是，meter的本意是測量，強調刻度；scope的本意是看，帶scope的測量器材強調的是觀察，可能並不要求一定落實到一個數值。當然這話也不對，如今遍布各地防流感的數字式紅外thermoscope就是簡單地蹦出一個數字。顯然，人類製造的第一個量溫器材只能是thermoscope，因為它還沒有刻度。關於meter與scope，以及metry 與scopy之間的細微差別，請參閱筆者此前的討論[2]。此外，還有一類近似地利用黑體輻射性質的溫度計pyrometer，有人將之翻譯成高溫計。這個翻譯有點過，因為有些pyrometer也只是用來監視人類的體溫變化（見下文）。測量熱量的設備是calorimeter，漢譯量熱計，用於測定化學反應、狀態變化或溶解過程所產生的熱量。

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溫度的物理

溫度是物理學中七個基本量之一，單位為 Kelvin，以英國物理學家 William Thomson的官爵，即 Lord Kelvin，命名。在許多物理學生的頭腦裡，溫度是個最基本的物理量，一個可測量量。1994年夏季一個無聊的下午，筆者在德國Kaiserslautern大學物理系圖書館翻閱一本名為《Heat Transfer》的書時，忽然明白溫度是不可測量的。它的所謂測量都要依賴一個我們未明說的、有時甚至是根本不知道的某個物理學定律，且測量的是其它的可測量物理量。而即便不知道那個定律我們依然能夠製造溫度計並籍此逐步地建立起熱力學，則是在筆者為中國科學院研究生院準備2009暑期課程時才認識到這一點的，此時筆者在大學和研究所已經混了27個年頭。由於溫度是對大粒子數體系的平衡態演生（emergent）性質作統計描述時才能引進來的一個量，筆者有時甚至想說溫度就不是個物理的量；研究少體問題的物理學家基本上是發燒的時候才從護士的嘴裡聽到這個詞的。而熱力學之晦澀難懂，多半是因為這些應該明確指出而又鮮有人指出的事實。誠如McGee指出的那樣，「溫度是最難清晰定義的物質的一般性質（The concept of temperature has been the most difficult of the common properties of matter to define clearly）」[3]。

當我們憑藉身體感知冷熱從而對環境的溫度做出判斷時，我們更多的是在談論一個傳熱學的問題。熱流流向我們的身體，我們感覺是熱的，我們就斷言外界溫度高；熱流自我們身體流出，我們感覺是冷的，我們就斷言外界溫度低。不過這個感覺不足以要求外界有物理上嚴格定義的溫度，且熱流的強度必須被限制在一個很小的範圍，過大的注入和流出的熱流都可能損壞我們的感覺器官，從而得出混亂的判斷。當人體，比如腳，被凍得非常厲害時，也會有熱的感覺，確切地說是麻癢的感覺，且那種麻癢的感覺不是整體性的，而是如同第二類超導體內的磁通渦旋，或者半導體晶體裡的位錯線那樣的分布。有時，即便是處於同一環境中的兩個物體，假設都比我們的手冷，其中吸收熱量快的物體，比如金屬，也會給我們更冷的感覺。也就是說我們的手這樣的溫度計是依靠熱流方向甚或熱流的速率來判斷冷暖的。一切感知溫度的器件，都可能存在類似的問題，至少它不能幫助測量者斷言待測體系有完好定義的溫度。

熱力學告訴我們，針對一個處於平衡態的體系，我們才能定義其溫度為

，即溫度是由體系在粒子數、體積以及其它廣延量都保持不變的前提下的熵－內能關係決定的。自統計力學的觀點看來，這個關係是基本（fundamental）的。雖然，溫度可以作為物體冷熱程度的度量（temperature is the degree of hotness or coldness of a body），但冷熱（熱流的方向和速率）卻是更基本的，且不保證一個完好定義的溫度的存在。

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溫度測量的邏輯基礎

溫度測量涉及複雜的物理現象。如何測量溫度，雖然未得到充分強調，也算是一門學問（thermometry），而且是一門複雜的、困難的學問。任何嘗試測量溫度的人都應該清楚地了解測溫的原理以及滿足特定目的所採用之具體測溫方法[3]。

溫度測量的邏輯基礎是熱力學第零定律: 「若體系A和B分別同體系C處於熱平衡，則A和B之間也處於熱平衡。」 據說該定律是1920年由R. H. Fowler提出的，從時間上看，第零定律出現晚一些，算是對熱力學三大定律的補充。既然是補充，說明有其必要，並不是如字面上那樣看起來幾乎是廢話。所謂的熱平衡，我的理解是即兩體系間單位時間內、且不管多長時間間隔內的淨交換熱量為零。兩個體系分別同第三個體系處於熱平衡，細節上卻可以是以不同的傳熱方式，以不同的單向能流交換著熱能（圖1）。這樣，熱平衡如果用熱量交換的詞彙來描述的話，就太不經濟了。熱力學第零定律首先表明此問題可以進一步引向深入，定義一個新的表徵熱平衡的物理量，這就是溫度（5）。這才是第零定律的關鍵。有了這個邏輯基礎，溫度概念的引入就顯得順理成章了，溫度計的使用就得到了原理上的保障（一個測溫物質同待測體系建立了熱平衡，假設此過程交換的熱量與待測體系的總熱量相比可忽略不計，則根據測量測溫物質某個物理量所換算得到的溫度值可看作是待測體系的溫度。當然，有些溫度計不需要和待測體系建立熱平衡），而且對兩個獨立的熱力學體系，可以通過測溫過程建立起溫度的比較而無需要求它們之間建立熱的交流。熱力學第零定律同其它第零定律一樣注重的都是為該學科打下堅實的邏輯基礎。

圖1 熱力學第零定律圖示，注意不同體系之間的熱平衡細節上的差異。

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溫度計與溫標

我們有冷熱的感覺，有將冷熱量化的需求，問題是如何將溫度量化，注意冷熱是感覺而非視覺上的判斷。如果要將冷熱量化為可以言說的事物，就需要一個將冷熱轉換成視覺效果的物件，即溫度計。1594年，伽利略讀到了Hero的手稿「Penumatics」 （成書於公元前一世紀），從而發明了利用氣體壓力（體積）隨溫度改變的原理、由一種液體的升降來顯示冷熱程度的thermoscope（圖2）。如今市面上的玩具愛情溫度計就是利用的這個原理。另有文獻說伽利略1600年左右發明的thermoscope是這樣的裝置：密封的玻璃管內注入一定量的透明液體，其中浸泡著比重不同的小物件。當溫度升高（下降）時，液體的密度會減小（增加），小物件的懸浮位置就有變動 （圖2）。

圖2 原始的thermoscopes。左圖中利用的是氣壓隨溫度的變化，觀察的是液體的升降；右圖中利用的是液體密度隨溫度的變化，觀察的是固體懸浮物的升降。

僅有視覺上的衝擊是不夠的，只有實現了對溫度的粗略測量以後，溫度的概念才能夠被定義（……Only after crude methods of temperature measurement were developed could the concept of temperature really be defined!）[3]。這是科學發展的一個有趣範例，印證了關於科學是一艘行駛在大海上的船、而我們只能在這艘船上對它進行修補的比喻。在正確地理解溫度之前，我們已經有了量化溫度的努力和實踐。要得到量化的溫度，就要解決如何量化以及為什麼可以這樣量化的問題，雖然理解後一點是「馬後炮」式的。

在熱力學史上，測溫是從測量離我們的體溫不太遠的溫度開始的， 且都是採用線性溫標，即假設測量依賴的物理量（或現象），如氣、液、固體的熱脹冷縮（6），隨溫度在感興趣的範圍內是線性變化的。這樣對兩個參考點賦值就足以確定一套溫標和溫度計。從1744年到1954年，0°C（7）被選為水的凝固點，而100°C 是水的沸點（習慣性的百分制思維，所以深度科學性欠缺一點），當然是在一個大氣壓（注意，是奧地利維也納的大氣壓！）下的凝固點和沸點（圖3）。

圖3 水的凝固點（冰水共存）和沸點分別被定義為0 °C和100 °C。

與攝氏溫標類似的溫標還有一些。問題是，在我們能定義和理解溫度之前確立的這些溫度測量的方法學（thermometry），其正確性有保證嗎？如果有，又是如何得到保證的？注意到，溫度測量利用某個可測量量x對溫度T的依賴關係 x=f(T)，而這個關係先前我們是不知道的。但是，只要該物理性質對溫度的依賴 是「乖的」（8），則總可以利用逆關係

在某個參考點 x0 附近採用物理量x，配合關係式 T= T0 + α(x- x0)，來測量溫度。此線性關係近似的正確性是由依賴關係x=f(T)的「乖」而不是由其具體形式決定的，這就是為什麼在我們弄懂溫度的物理之前就能有不錯的溫度計的原因。注意到公式 T= T0 + α(x- x0) 中的參數 α 是通過選擇參考點的溫度值確定的， 因此這樣的溫標是有隨意性的。

溫度是冷熱程度的表徵，而物體之間冷熱程度的差別體現在熱接觸時的能流收益，因此相比於溫度值所表示的關係，熱流才是更基本的。若我們將相互之間熱平衡的系統歸為一個類，處於不同的系統類按熱接觸時發生能量流的方向排序，能量流的方向指向溫度低的體系。此時，任何能正確地給出系統類順序的溫度標籤都是物理上好的溫標 (temperature scale)（圖4）。當然，同上述我們採用的只適合於局部溫區的有限溫標 (temperature standard) 不同，我們這裡討論的是對溫度全局上的標度問題。對於溫標的選擇來說，給出正確的系統類序列（能流方向）是第一位的，而確立具體的數值是第二位的。要做到後一點還需要依賴其它的物理事實或規律；且根據不同規律定出的溫標（scale，請不要混同於討論攝氏溫標同華氏溫標不同時所涉及的溫度standards），相互之間的變換關係一般是非線性的。這樣的溫標很多，但我們期望一個具有某種「絕對」意義的溫標，方便、或者說利於物理學獲得一個自洽的面貌是我們對這樣的溫標的期待[4]。這樣的溫標應是基本（fundamental）的，即測量溫度時所選取的測量量對溫度的依賴關係只涉及基本物理常數而不包含任意的校準常數[3]。

圖4 平衡態體系之間熱接觸時能流的方向與溫標的設定[4]。體系（θ1，θ2，… θn…）和體系（

）都正確地給出了平衡態體系熱接觸時的能量方向，因此都是好的溫標。它們兩者之間應有相同的拓撲，但兩者之間值的換算一般是非線性的。

此時，討論一下時間和溫度的一個共通的側面是有趣的。在擁有一個可接受的溫度理論之前，我們的溫標和溫度計是混亂的；在我們能建立起可接受的時間理論之前，也沒有具有基本時標的計時器。在討論他的廣義相對論時，愛因斯坦用實在的、經典的「米尺」、「時鐘」和「觀察者」等概念，這是他囿於常識的地方。這樣的表述有歷史的因由，卻是誤導性的（許多人的相對論水平永遠地被定格在「米尺」、「時鐘」等概念上了），故為人所詬病[5]。

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絕對溫度與絕對溫標

所謂的溫度測量，一直是用某種物質體系的某個物理量，比如水銀溫度計中水銀柱的高度，來表徵溫度的，其前提條件是該物理量在給定的溫區內隨溫度單調地變化 （不存在能測量所有溫度的溫度計）。但單調性不足以確定對變化的定量描述，故歷史上曾出現多種依賴不同物質的不同物理性質的針對不同溫區的溫度計，曾引入不同的經驗溫標[3]。紛亂的溫標反映的是對溫度紛亂的認識和定義，這說明關於溫度一定有某些深刻的物理我們還沒有把握。熱力學發展史上引入的經驗溫標雖然都滿足了所採用的物理量在工作範圍內隨溫度單調變化的要求，但物理量隨溫度變化的定量關係的確立顯然應服務於建立一個自洽的熱力學體系；哪怕僅是為了測溫的統一， 也需要一個獨立於具體物理量的溫標，使得不同的溫度計可相對於一個統一的、最好是適用於所有可能出現溫度值的物理體系（原理）加以校準。

1703年，法國人阿蒙東（Guillaume Amontons） 發現降低溫度時，瓶子裡的氣體壓力也下降。溫度越低，壓力越低。但氣壓不可能為負，則按照理想氣體的狀態方程，（按照理想氣體方程定義的）溫度降到零也就不能降了。阿蒙東推測這個溫度在－240℃ 。這是絕對溫度的早期概念。後來，開爾文爵士引入了絕對溫標，即體系所處的溫度應這樣取值，使得工作在 T2 和 T2 上的理想熱機，其效率為

。注意，是我們選擇了

這樣的簡單形式的效率公式，通過對能量（流）的測量，決定了所謂的絕對溫度。這個公式註定了 T>0。理想氣體定義的絕對溫標，和開爾文的絕對溫標有相同的拓樸，且可以證明它們之間只差一個比例因子；理想氣體定義的絕對溫標在測度上有任意性，反映在狀態方程 存在待定常數k 的事實上。值得注意的是，開爾文絕對溫標是物理學家的選擇而不是物理的選擇，詳細討論見文獻[4]。絕對溫標暗示了絕對零度不能達到，因此衡量極低溫技術水平就表現為一個不斷趨近於零的數字，利用雷射冷卻技術如今人們已經能把原子氣體冷卻到 nK的水平了。

圖5 絕對溫標的完整圖像：正半實數軸，其上測度的選擇使得在溫度 T1 和 T2 上工作的可逆熱機，效率可表示為

。

1900年，普朗克通過猜測的熵與內能的關係，給出了（理想的！）黑體輻射公式，即能量譜密度對溫度的依賴關係，

[6]。這個公式當然是嚴格的數學表達，對應一個溫度的不再簡單地是個數值，而是一個分布函數。同上述絕對溫度定義一樣，這裡溫度的確定還是通過能量測量實現的。對於具體的一個輻射體，比如宇宙（9），它的輻射能量密度譜估計不是像這個數學公式那麼完美，但重要的特徵（features）卻不會有太大的偏離（圖6）。這樣，我們只要將 曲線美化成符合上述公式的形式，就能定義一個絕對溫度。宇宙背景輻射、星體溫度就是這樣確定的。對黑體輻射公式的近似定義了絕對溫度，或者說黑體輻射理論為我們提供了一個絕對溫度計的數學基礎，測量黑體輻射譜的設備就成了普適的溫度計，且這種絕對溫度計是遠程的。利用此原理的絕對溫度計之一，大型射電天文望遠鏡 (圖6)，為天體物理、宇宙學、引力理論的研究提供了巨大的幫助。

圖6 絕對溫度計和它的理想測量結果，即滿足普朗克公式的輻射強度隨波長（或者頻率）的變化。注意，右圖中的譜哪怕經過目標指向的美化，也是不完整的。由此得來的所謂宇宙背景溫度為2.725 K, 他那麼一說，你那麼一聽。

大型射電天文望遠鏡這樣的絕對溫度計太昂貴了，目前已有多種不太嚴格的—只測很窄範圍內的波譜，或者其依賴的判據或計算也不嚴格—絕對溫度計供實驗室和日常生活中使用。這類溫度計英文為pyrometer。例如，有一種燈絲消失光學測溫儀（the disappearing filament optical pyrometer）：通過一個紅色（幾乎單色）的濾光窗口將待測的白熾光源和儀器內置的燈絲（校準過的）發出的輻射一起比較，當輻射源的強度和燈絲的強度一樣時，燈絲的像消失了，由此可以判斷輻射源的溫度就是內置燈絲的當前溫度。這類溫度計一般用於接近1000°C的高溫測量，誤差較大。還有一類測量紅外波段發射譜或發射率（emissivity）的紅外測溫儀，英文為infrared thermometer或infrared radiation pyrometer 或 radiometer，由於其輸出是蹦出一個表示溫度的數字，因此也叫infrared thermoscope （圖7）。由於emissivity 依賴於物體的溫度，也依賴於物體表面的狀況，因此這類溫度計需要嚴格校準。

圖7 數字式紅外thermometer 或者thermoscope或者pyrometer。量溫變成了直接讀取儀器顯示出的數字。

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溫度測量的假象

前述我已經闡明，溫度作為一個統計性質的強度量，是不可以被直接測量的。所謂的溫度測量，是通過對其它（廣延）物理量（受熱影響）的測量得以實現的。其它的物理現象被當作溫度的指標，所得的溫度值可能會因為某些事故得到不精確的、甚至錯誤的結果。首先要注意的一點是，物質體系受擾動後達到新的溫度狀態可能是需要某個特徵時間的，而一個反應很快的測溫裝置，比如電阻溫度計（resistor thermometer），會瞬間就給出一個溫度值而不管體系是處於什麼狀態。許多研究相變的文章給出的結果之所以出入較大，我懷疑與測溫有關。其它的錯誤根源包括測溫點同溫度計（比如熱偶溫度計）的探頭所在地並不是原來設定的地點，或者轉換或顯示部分的電路出了問題（比如熱水器顯示溫度的電路因為水垢過早地亮燈指示水開了），等等。如果認定油鍋冒氣泡就代表高溫的話還有受騙的可能（此時人的常識扮演了溫度計的角色），因為加入低溫分解氣化的物質，比如硼砂，很容易在低溫下就讓油鍋翻騰不已。舊社會流氓鬥狠，就有人用過這招表演下油鍋。

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負溫度

「語不驚人死不休」並不是詩人特有的態度。物理學家們為了博取不朽的名聲， 在提出新概念的時候一樣是出語驚人。比如熱力學定律強調了絕對溫度零度是不可能達到的，但如果愣達到了呢，又或者讓您誤以為比它還低呢，那該是多麼轟動呀。「負溫度」就是這樣的一個概念。配上像這樣的句子「負溫度的體系比任何 正溫度體系都熱（Rather, a system with a negative temperature is hotter than any system with a positive temperature）」，簡直太后現代了。

其實，所謂的負溫度涉及的是雷射工作介質或者磁場中分裂的核自旋這樣的僅有幾個能級（實際上是兩個）的體系，因為外在泵浦（pumping）的原因，體系中的高能級以較大的比例被佔據，即出現粒子數反轉（population inversion）。所以，如果硬要用玻爾茲曼分布之類的描述，即認定密度算符ρ由式

給出的話，H 是體系的哈密爾頓算符，則T應取負值。注意到粒子數反轉是由外界的泵浦和能級的性質，比如能級間的衰變速率，所共同決定的，假設體系有三個能級的話，按照上述定義甚至能得到三個不同的負溫度。這當然有點尷尬。而若將負溫度限定在兩能級體系的話，直接用佔據狀態描述就行了，引入一個溫度參數除了新聞效應以外還能有什麼益處？類似負溫度之類的概念物理學上還有一些，讀者諸君遇到時不妨一笑置之。

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多單元熱力學體系的溫度

若一個體系雖然其整體上不是處於熱平衡態，自然用單一溫度參數描述是不恰當的，但組成它的子系統卻是各自近似地處於平衡態，則對這樣的體系可以針對子系統定義出一組溫度來表徵其熱力學特性。平衡態的等離子體，如果不是太嚴格的話，還有鴛鴦火鍋 （圖8），就是這樣的熱力學體系。對平衡態等離子體，可以根據離子能量分布和電子能量分布分別定義離子溫度和電子溫度。如果也用Kelvin溫標的話，一般氣體的離子溫度，近似地可看作是主導等離子體同環境交換熱量的參數，並不比室溫高多少。但是，電子溫度要高得多，一般在105K以上，這樣的等離子體被稱為non-thermal plasma；若是等離子體內電子和離子是處於熱平衡 的，則是thermal-plasma。Non-thermal plasma 有人將之翻譯為非熱等離子體，有人則隨手使用低溫等離子體這個譯名。利用雷射等更具選擇性的離化工具可以使得氣體中中性原子和離子的溫度保持很低，比如維持在1K溫度的水平，這樣的等離子體被稱為cold plasma 或ultra-cold plasma.

圖8 鴛鴦火鍋和氣體放電，典型的具有兩個近似熱平衡子系統的熱力學體系。

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結 束 語

溫度作為一個統計參數，它與其定義所依賴的統計一起才構成對體系大體上的科學描述。看到一個溫度值，要把它同關聯的物理量的分布聯繫起來，這也是電子溫度常常用能量單位給出的道理。對於整體上嚴重分化的、非平衡的體系，簡單地給出依賴某個整體性質 (熱輻射的強度；某個電阻置身其中所表現的電阻值) 錯誤地換算出來的溫度值其實是誤導性的。這正如對貧富嚴重分化的社會，「算術平均」後的工資水平或消費增長速度只會掩蓋社會的真實，這種學問的出現既可能是因為某類學者學術功底之不足，更可能是因為該類學者獻身熱情之過頭。

本文關於溫度的討論基本上是技術層面的，此時我特別想重溫以前的一句話，即關於任何一個物理學概念都有太多我不懂的內容。其實溫度是物理學最關鍵的基本概念之一，在量子場論、抽象代數的層次上討論溫度或可觸及溫度內涵的皮毛。比如，絕對零度是不可達到的，但絕對零度的狀態卻被假設是存在的，且是量子場論處理固體以及其它物理問題時的起點，被當成某種意義上的真空態。這個處理方式引起的不僅僅是哲學的爭論，還涉及一些基本物理量的深層聯繫。這個話題水太深，遠超筆者能力之外。為免讀者諸君以為我故弄玄虛，特摘抄一句供欣賞：「Temperature is the only fundamental way of getting around the problem of relativity of motion (溫度是解決運動相對性難題的唯一的根本出路)。」怎麼樣，令人驚詫乎？

補綴

1. 關於此文，劉寄星老師發來幾句評論，照錄如下：

這篇文章有趣，使我想起一件往事。記得1959年北京大學物理系理論物理教研室曾響應黨的號召開展了對王竹溪所著《熱力學》的批判，批判該書「宣揚唯心主義」，「理論脫離實際」等等。批判王先生「宣揚唯心主義」的證據之一是他在該書序論中的第一段話：「熱學這一門科學起源於人類對於熱與冷現象的本質的追求。由於在有史之前人類已經發明了火，我們可以想像到，追求熱與冷的本質的企圖可能是人類最初對自然界法則的追求之一。」令人敬佩的是，王竹溪先生並未在這種批判面前後退，在1960年1月出版的該書第二版中，雖然增補、修訂了不少內容，上引的那段話竟一字未改，照樣放在序論第一段。曹則賢可能不知此事（那時他可能還沒有出生吧？），但這篇文章體現了王先生這段話的精神，所以我覺得有趣，真理看來是批不倒的。

文中對於 「負溫度」提法的諷刺挖苦，可能太過，估計當時Purcell等人提出這個概念時，並非要「語不驚人死不休」，而是Boltzmann分布指數上取了負號，逼得他們說出「負溫度比正溫度更熱」的話來。但曹氏之說也有些道理，別有風格，留待引起討論也好。

作者註：如果只討論兩個能級上的佔據數，就沒有什麼分布的問題 Boltzmann分布這種作為高溫近似的分布函數，其涉及的能級數目應該是宏觀大數目的。而對於略高於絕對溫度零度的費米子體系（玻色子體系），則在費米能級（最低能級）之上只有少數幾個能級被佔據，恐怕不足以給出一個可信的分布函數。反過來，對應少數幾個粒子佔據零星的幾個能級，則依據費米統計或玻色統計給出的所謂溫度，本人愚見，怕也是可疑的。

注釋

（1）羅隱可算深知人間冷暖， 一句「我未成名君未嫁，算來都是不如人」道出古今多少人的椎心之痛。－筆者注

（2）許多動物為了找尋溫度合適的外部環境不得不每年都作長距離的遷徙。人類的策略是發展出了取暖和乘涼的科學與技術。熱力學和電動力學能很好地解釋趨炎附勢現象，因此也應該是社會學的理論基礎。－筆者注

（3）語出毛澤東《念奴嬌. 崑崙》，作於1935年。－筆者注

（4）大意是：可否將你比作晴朗的夏日？你卻是更加秀麗、溫婉！此詩流傳的漢譯被稱為再創作，已與翻譯無關。－筆者注。

（5）為了給中學生講清楚熱力學第零定律是重要的定律而不是廢話，我舉了這樣一個例子：若你同兩個同學分別在交往中在財物方面基本上是有來有往的（財物往來可以表現為送小禮品、借錢、請客等等不同方式）， 即一段時間內往來的財物若都換算成錢的話誰也不虧欠誰， 那麼我們可以不管具體交往的細節而引入一個新的概念，家境，來描述大家的家庭經濟情況。我們會說，若你的家境和那兩個同學的家境差不多，則那兩個同學的家境相比起來也差不多。用家境概念所作的描述比羅列小朋友之間交往的細節更經濟、更有表現力、更能抓住問題的實質。這就是熱力學第零定律這類看似廢話的定律之威力所在。－筆者注。

（6）有少數物質體系在某些溫度範圍內是熱縮冷脹的。－筆者注

（7）符號°C來自瑞典人Anders Celsius 姓的首字母C。Celsius於1742年建議了這套溫度標準。°C在漢語中讀作「攝氏溫度」。另有一套在航班上常聽到的溫標是華氏（Fahrenheit）溫標. －筆者注

（8）「乖的」，英文為well-behaved. 相變點或臨界點附近某些物理量對溫度的依賴關係就是不乖的。典型的例子有液氦在λ－點的比熱隨溫度的變化。－筆者注。

（9）宇宙的背景輻射為什麼可以看作是黑體輻射，我可不懂。－筆者注。

參考文獻

[1] Thomas Mann, Magic Mountain, Knopf , New York 1939.

[2] 曹則賢，物理學咬文嚼字005：譜學：看的魔幻藝術，《物理》36卷11期，886-887(2007）.

[3] Thomas D. McGee, Principles and Methods of Temperature Measurement, John Wiley & Sons (1988).

[4] 汪克林，曹則賢，時間標度與甚早期宇宙疑難問題，《物理》38卷，11期，769－778(2009).

[5] Philip Anderson in L. M. Brown, A. Pais, B. Pippard (Eds.), Twentieth Century Physics，IOP Publishing, 1995）pp.2017.

[6] 曹則賢，物理學咬文嚼字027: 熵非商－the myth of entropy, 《物理》，38卷9期，675－680（2009）.

註：本文為曹則賢著 《物理學咬文嚼字》第28篇，原題為《溫度：閱盡冷暖說炎涼》。

原標題：《都在測溫度，但到底什麼是溫度？｜賢說八道》

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