原創 慄子 果殼
圖丨Peter Vider
數學家葛立恆（Ronald Graham）去世了，享年84歲。
他留給世界最著名的遺產，大概是葛立恆數了。
那是一個神奇的數，作為「數學證明裡出現過的最大的數」存在了很長時間。
假如你還不認識它，就從現在開始吧。
葛立恆數在哪裡
既然，葛立恆數是數學證明裡出現的數，那葛立恆老師當時在研究一道怎樣的數學題？
我們彼此相識，我們互不相識
講到他的題目之前，必須先介紹拉姆齊定理。這條定理講的是：
有一群人，不論他們之間有怎樣的相識關係，如果要保證當中必有k個人兩兩認識，或者l個人互不相識，要有多少人才行？一定存在一個最小值R(k,l)。
也許，這樣描述之後你還沒有什麼實感，那就代入簡單的數字試一試：
有一群人，不論他們之間有怎樣的相識關係，如果要保證當中必有3個人兩兩認識，或者3個人互不相識，要有多少人才行？一定存在一個最小值R(3,3)。
現在，把每個人看成一個頂點，任意兩點可以連成一條邊，認識連紅色，不認識連藍色。這樣，每兩點之間定有一條邊。假如要保證必能找到一個紅色三角形，或者一個藍色三角形，求至少需要多少個頂點。
答案是6個頂點，要怎樣證明呢？
假如有5個頂點 ，就可能找不到純色三角形：
5個三角形皆非純色。注意只有外側5個頂點代表人類，中間那些交叉點不是人類，所以形成藍色「小三角形」也不代表有3人互不相識，不能作數丨Rzukow
假如有6個頂點，一個頂點會發射5條邊，由於只有兩種顏色，必有3條邊同色，假設同為紅色：
圖丨Snorri95
這3條紅色邊，對應了另外的3個頂點，這3點之間也要連線，非紅即藍。假如其中有1條紅邊，立刻構成紅色三角形：
圖丨Snorri95
假如3條全是藍邊，立刻構成藍色三角形：
圖丨Snorri95
因此，只要有6人，不論他們相識關係如何，都能保證其中必有三人兩兩認識或互不相識。而5人卻無法保證這一點。也就是說，存在最小值R(3,3)=6。
看到這裡，你大概知道拉姆齊定理在描述怎樣的景色了。
葛立恆老師，便是在拉姆齊定理這個方向頗有建樹。不過令他發現葛立恆數的那道題目，又比上面這個例子複雜不少。
剛剛我們沉浸在二維世界裡，只考慮了圖上的三個頂點能不能保證構成純色三角形。而葛老想的是，在三維四維或者更高維度的世界裡，能不能保證有一個平面上的四邊形是純色。
所以，生活在三維世界的我們，想遇見葛立恆數，也需要先體會一下多維空間的樣子。
在多維世界相識
從二維空間開始，是幾維空間，就能畫出幾條兩兩垂直的坐標軸。
二維空間裡，有x軸和y軸互相垂直：
圖丨Igsims96
三維空間裡，有x,y,z三條坐標軸兩兩垂直：
圖丨Igsims96
四維空間裡，就有x,y,z,w四條坐標軸兩兩垂直：
圖丨Igsims96
五維六維七維八維……多少維都適用。
繼續類比，二維空間有正方形，三維空間有立方體，那四維空間裡的「立方體」什麼樣？
從一維到四維丨Vitaly Ostrosablin
正方形有4個頂點，立方體有8個頂點，四維超立方體有16個頂點......n維超立方體，就有2^n個頂點。
一個四維超立方體，包含了8個三維立方體（看起來像稜台的都是立方體）。
四維超立方體在三維空間的投影丨Mouagip
現在，終於可以開始描述葛老當年研究的題目了：
在一個n維立方體裡面，把每兩個頂點都連接起來，就會得到有2^n個頂點的完全圖。連接用的線或紅或藍。至少要在多少維的空間裡，才能保證不論怎樣選色，必有一面純紅或純藍？
用三維立方體舉個例子，一面純色代表4個頂點對應的6條邊都是同種顏色（不是4條邊）：
面也不一定是（超）立方體自帶的面，可以是後期兩兩連接頂點形成的丨SiBr4
1971年，葛老和小夥伴一起證明了，的確存在最小的維度，可以保證一面純色。
雖然沒有證明究竟是多少維，但他們給出了一個非常巨大的上界：
這就是葛立恆數，代表那個最小的維度一定比這個數要小。
看到這裡，關鍵問題出現了，這個數有多大？
「宇宙放不下」
葛立恆數，大就大在那些箭頭（↑）上。
這個運算符號，是計算機科學家、圖靈獎得主高德納老爺爺發明的。
單箭頭沒有什麼特別，就是「次方」的意思：
單箭頭丨作者供圖
雙箭頭可以分解成單箭頭，肉眼可見地迅速變大：
二箭頭丨作者供圖
三箭頭可以分解成雙箭頭，到這裡已經是大到難以想像的大數了：
三箭頭丨作者供圖
四箭頭可以分解成三箭頭：
四箭頭丨作者供圖
假如再把三箭頭分解成雙箭頭，這個式子就會變出3↑↑↑3個項，後果不堪設想，所以就在這停頓吧。不過，四箭頭也只是整個塔的第一層而已。
再來欣賞一次64層塔的全貌：
你能想像它有多大麼？
可觀測的宇宙大約是個直徑920億光年的球體，而宇宙間最小的有意義的可測量長度普朗克長度大約是1.6×10^(-35) 米，一旦超過這個極限，現有的一切物理定律就都不適用了。
假設1個直徑為普朗克長度的小球可以裝下一位數，那麼這部分宇宙可以裝下1.6×10^185位數。看上去不少了，但對葛立恆數來說，這到底算多大呢？
找個參照物：有一個數叫做googolplex（簡稱GP），是10^(10^100)。也就是說，它有10^100+1這麼多位數。但3↑↑↑3的大小已經超過了GP，3↑↑↑↑3的大小更超過了GP↑↑GP：
3↑↑↑↑3是塔的最底層丨作者供圖
GP^(GP^GP)的位數應遠遠超過了可觀測宇宙能容納的1.6*10^185位，但還不及葛立恆塔的第一層3↑↑↑↑3。這樣看來，可觀測的宇宙能容納的位數，在葛立恆數面前過於渺小。
於是，葛立恆數在1980年獲得了「數學證明中出現過的最大的數」這項金氏世界紀錄。
假如講到這裡，你依然沒感覺到它究竟有多大，還有一種著名的說法可以參考：大腦如果要儲存這個數，便會因為信息熵過大而坍縮成一個黑洞。
一數更比一數高
不過，這個傳奇般的大數，還是在後來的日子裡被更大的數擊敗了。
比如TREE (3) ，自它誕生之後，葛立恆數也顯得微不足道。
而它除了大之外，還有一個更迷人的特質，就是可玩性。可以說，這是個從一個畫樹遊戲裡畫出來的大數，而樹葉的顏色有3種。
畫樹四個回合丨Numberphile
第一回合畫的樹只能有一片葉，第二回合最多兩片，第三回合最多三片......並輔以一些有趣的附加條件，比如後面畫的那棵樹，如果去掉一些葉片後成了之前的樹，那就是犯規了。
並且，如果你覺得TREE(3) 太難，還可以從TREE(1) 開始玩。祝各位成功打開大數之門。
參考文獻
[1] Graham's Number. (n.d.). Retrieved from https://mathworld.wolfram.com/GrahamsNumber.html
[2] Ramsey Theory. (n.d.). Retrieved from https://mathworld.wolfram.com/RamseyTheory.html
[3] 大老李聊數學. (2017, December 12). 畫樹畫出一個大數. Retrieved from https://dalaoliblog.wordpress.com/2017/12/12/%E7%94%BB%E6%A0%91%E7%94%BB%E5%87%BA%E4%B8%80%E4%B8%AA%E5%A4%A7%E6%95%B0-
作者：慄子
編輯：odette
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禁止套娃。
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