這個巧妙的證明,讓你領略數學家拉馬努金的天才數感

自學成才的數學天才

說起傳奇數學家，就不得不提自學成才的印度數學家拉馬努金了。他以超強的數感聞名於世！他出生於印度的一個並不富裕的婆羅門家庭。他憑著對數學的興趣自學成才，提出了很多奇妙的全新的數學公式，並在伯樂哈代的幫助下來到劍橋大學做研究，並最終成為了皇家學會會員。

有一則趣聞或許可以讓我們認識到拉馬努金的驚人數感：在拉馬努金生病時，他的伯樂兼合作夥伴哈代曾去探望他，哈代對拉馬努金說：「我剛才座的計程車的車牌號是1729，感覺這個數字很無趣，希望這不是不祥之兆！」拉馬努金卻回答：「1729是一個很有趣的數！它是可以用兩個數的立方的和表示的最小的數！」

圖1

從一道找規律問題談起

下面我們以拉馬努金研究過的一個數學問題為例子來感受一下拉馬努金的驚人的數學能力：

讓我們先來看一個例子：

圖2

你能根據圖2所示的內容總結出一般的規律嗎？你可以先思考一下！上述內容的一般規律由拉馬努金提出並證明，證明過程展現了拉馬努金的驚人的數學天賦。

求和符號的基本使用舉例

在寫出圖2問題的一般情況之前我們先學習一下累和計算符號是如何使用的，觀察圖3可以知道用累和符號可以把級數的和用簡單的方式表達出來：

圖3

我們分析圖3級數和的規律可以得到如下的結論，並將其推廣到累和項數等於n的情況：

圖4

那麼用累和表示的方法可以將圖2的一般規律寫為如圖5的形式：

圖5

一個重要的恆等式的應用

拉馬努金基於一個有趣的恆等式證明了圖5所示的等式是成立的，這個恆等式以及驗證過程如圖6所示：

圖6

這樣我們可以對圖5等式左邊做如下變形：

圖7

兩組級數和相加的規律

觀察圖7最後一行的式子，我們思考如圖8的規律 ：

圖8

經過思考，我們可以得到圖8更一般的情況，如圖9所示：

圖9

根據圖9第3行的等式，我們得到了一個重要的結論，如圖10所示：

圖10

最終的證明

接著我們對圖10的結論做如下變形，這樣做的確是非常巧妙地讓式子變為更容易分析的形式，如圖11所示：

圖11

看到如圖11所示最後一行的式子的形式我們聯想之前推出的圖3的結論，我們把圖3的結論寫在下方，如圖12所示：

圖12

我們可以得到最終的證明，如圖13所示：

圖13

最後我們把整體的推導過程寫一遍，這就是拉馬努金證明的過程：

圖14

拉馬努金在數學上的感覺的確令人讚嘆！可惜的是拉馬努金只活了32歲。如果他能夠活更久，也許會做出更多有意義的貢獻！最後我們用拉馬努金提出的一個等式作為結尾：

拉馬努金提出的一個等式

談談你對拉馬努金的看法吧！

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