拉馬努金,給世界留下了璀璨的瑰寶?

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我沒有遵循大學裡的常規課程，但我正在為自己開闢一條新的道路。1913年1月，拉馬努金（Srinivasa Ramanujan）在一封信中，向備受尊敬的英國著名數學家哈代（Godfrey Harold Hardy）這樣介紹自己。拉馬努金於1887年出生在一個距離馬德拉斯（現在的金奈）約400公裡的小村莊裡，很早的時候，他就對數學產生了濃厚的興趣。到15歲時，他已經常能解決一些遠遠超出同齡人正試圖處理的數學問題。例如，他發明了自己獨有的求解四次方程的方法，甚至嘗試過求解五次方程（當然結果雖然失敗了，因為一般五次方程是不可解的）。拉馬努金忽視了數學以外的所有其他學科，他從未上過大學，只能獨自一人在貧困中繼續鑽研數學。

拉馬努金在32歲的時候去世，並留下了三本寫滿了公式的筆記本。在他短暫的一生中，他在組合學、數論和特殊函數領域發表了30篇論文。在給劍橋大學的哈代寫信時，他正在印度的一家港務局工作。接下來發生的則是一個鼓舞人心的故事——一個未經訓練的天才成為了他的時代中最偉大的數學天才之一。

在哈代的邀請之下，拉馬努金於1914年3月17日啟航前往英國劍橋，開始了數學史上最迷人的一段合作。數學家（也是一部關於拉馬努金的電影《知無涯者》的顧問兼副製片人）Ken Ono說：「拉馬努金是可能性的榜樣。（他的故事證明）你可以從極其困難的條件或環境中走出來，成為一個重要的人。但他需要幫助，他需要哈代。而哈代並不是一個完美的導師，他是個脾氣乖戾的人，他不喜歡別人。但在他的幫助下，這一切發生了。」

電影《知無涯者》講述了拉馬努金和哈代之間的故事。拉馬努金在抵達劍橋後，他和哈代一起研究了一系列的數學問題。起初，由於拉馬努金並沒有受過多少正規的訓練，因此他有著一套其他數學家從未見過的數學寫作方法。在劍橋期間，拉馬努金很快學習了很多正規的數學，從一個業餘愛好者到寫出了世界級的數學論文。

Ono說：「拉馬努金沒有使用世界上其他人都在用的符號。剛到英國時，他對現代數學一無所知，總是在犯錯。很快，在一兩年內，他就接受了正式的訓練。他很聰明，所以能很快趕上來。他在英國寫的論文，按各種專業標準來看，都是世界級的論文。這也證明了他是多麼有天賦。」

在拉馬努金與哈代合寫的論文中，其中有一篇震驚了整個數學界，這篇論文為困擾了數學家幾個世紀的整數分拆，提供了一種可靠的計算方法。正是因為這篇論文，拉馬努金才被提名為皇家學會會員。（對於任何科學家來說，能夠當選皇家學會會員都是至高的榮譽。）當時，一些偉大的數學家都籤署了他的提名，包括J. E. Littlewood、Alfred Whitehead、哈代以及很多其他人。1918年5月2日，年僅30歲的拉馬努金被評選為英國皇家學會會員，成為有史以來最年輕的會員之一。

拉馬努金被提名為皇家學會會員的證明。分拆數的概念非常簡單。你可以把任何自然數寫成自然數之和。例如，3可以用三種不同的方式寫成自然數之和：

數字4可以用五種不同的方式寫成自然數之和：

分拆數P(n)是數字n可被寫成自然數之和的方式的數量（不考慮它們相加的順序）。正如我們剛才看到的：P(3)=3，P(4)=5。

看起來，將一個數字n寫成自然數之和，然後再數一數共有多少種方式，似乎是很簡單的事。但事實上，隨著n的變大，情況很快就無法掌控。也許你可以自己算出 P(5)=7，P(6) =11，但是再往下，你很快就會用光所有的草稿紙。下面的表格顯示了直到 P(10)=42 的分拆數，這個數字已經非常大了。

可以看出，隨著n從1增加到10，分拆數P(n)隨n的增加呈指數增長。

這使數學家們不禁想知道，是否存在一種無需將每一種n寫成自然數之和的方式都一一列舉，就能計算分拆數P(n)的方法。在研究這個問題時，哈代、拉馬努金與被譽為「人類計算器」的Percy MacMahon一起工作，MacMahon計算了許多數字的分拆數的表格。

儘管乍看之下，這些表格似乎毫無規律和道理，但拉馬努金注意到了其中的有趣模式。他發現並證明了，對4、9、14… 或者任何其他形式為n=5k+4的數字，它們的分拆數總是能被5整除。類似地，任何形式為n=7k+5的數字的分拆數都能被7整除；任何形式為n=11k+6的數字的分拆數都能被11整除。現在，這些模式被稱為拉馬努金同餘式（Ramanujan's congruences）。

幫助拉馬努金獲得皇家學會獎學金的是他與哈代共同發現的分拆數的漸近式。這個公式不能給出分拆數P(n)的精確值，但是非常接近。隨著n增大，P(n)和漸近式之間的差異會變得任意小。這個公式是：

哈代和拉馬努金將公式右邊給出的w(n)值與MacMahon計算出的P(n)值進行比較：

從結果看來這個公式是與預期相符的。Ono說：「它適用於所有的n，你只需要將n代入公式就能得到答案。能找出這樣一條捷徑使得我們無需再一個個數的人，必定是極致聰明的。」Ono說：「當時，這被認為是一個無法解決的問題。我相當肯定的是，正是這個公式很大程度地決定了他的當選。但毫無疑問，這個公式現在只是拉馬努金的數學遺產的很小一部分。」

這份數學遺產確實值得驚嘆：與拉馬努金的工作相關的有計算機科學、電氣工程、物理，當然還有數學等各個領域。Ono表示，拉馬努金的公式掀開了一些他自己無法構建出的理論的一角。那是些不被需要的理論——直到被人們需要。例如，一些關於黑洞的研究就用到了拉馬努金的一些數學。但拉馬努金在世時，人們甚至不知道黑洞的存在。但他已經發展了一些最初的可以用來解釋黑洞性質的公式。令人驚嘆的是，類似的事情不止發生過一次（比如，拉馬努金的工作還影響了弦理論、月光、拓撲不變量的發展等等）。

Ono說他不是一個輕易使用「天才」這個詞的人，但他認為拉馬努金就是一個天才：「如果你寫下一些你認為美麗而重要的公式，直到幾十年後才有人知道這些公式為什麼重要 …… 這是相當精神性的東西。」

2018年10月15-16日，皇家學會在倫敦舉辦了一場科學研討會，以紀念拉馬努金當選學會會員100周年。他們邀請了眾多傑出的科學家來介紹拉馬努金的數學成就，以及這些結果對計算機科學、電氣工程、數學和物理等許多領域的發展產生的深遠影響

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