【Dr.Yu】A Level 物理系列-波的幹涉

筆者：喻麟祐

亞利桑那大學物理學博士

世紀橋國際教育集團學術校長

近幾天，收到一個微信，是一位家長反映孩子學習A Level物理方面遇到的問題，是屬于波的幹涉 (theinterference of waves) 的問題，更具體的來講，是有關楊氏雙狹縫實驗(Young’sdouble-slit experiment) 的問題，她說孩子對於這個實驗上的內容（應該是指設置、現象等等的）有所了解，但是在這些變量上的關係、與運用，希望我能講解一下。

我估計，在整個原理上的來龍去脈，需要要一個比較透徹的理解，完全理解到這個楊氏雙狹縫幹涉的公式，是怎麼得到的，然後，就比較能夠活用了。

所謂活學活用，就是這個道理。如果，我們只知道背公式，卻不知道怎麼來的，那麼將來要活用，或更進一步來講，做研究、做創新，就會遇到比較大的困難。謝謝這位家長的反饋與提問。

 

首先，為什麼會有幹涉 (interference) 現象呢？

 

其實，幹涉現象，就是波的「疊加原理(Principeof superposition)」。這個疊加原理是說：兩個波相遇時，它們形成之波 (resultant wave) 之位移，就是它們位移的和 (the sum of displacements)。這是最基本的原理，我們必須明白。但是用語言來說，很不容易明白，有圖就很容易理解。我們可以看下圖：

 

如上圖，這兩個波，基本上有相同的波長，它們之間如果像上圖那樣，我們稱之為「in phase」，簡單來講，就是他們的「步伐很一致」，峰對峰、谷對谷，當然，加起來幅度最大，這都是疊加的原理。所以，我們稱之為「建設性幹涉 (constructive interference)」。我們接下來看另一種特殊情況：

它們之間如果像上圖那樣，我們稱之為「out of phase」，簡單來講，就是他們的「步伐很不一致」，甚至於說，完全相反！峰對谷、谷對峰，當然，加起來抵消掉了，幅度為零，這也是疊加的結果。所以，我們稱之為「破壞性幹涉 (destructive interference)」。

 

我們現在，再形象化一些，好比兩個波（相同的波長），來自於兩個波源 (wave sources)，S1與S2，它們發出的波在某個點（如圖，在點P）相遇，那麼，它們相遇的地方，是建設性(constructive) 的還是破壞性 (destructive) 的呢？我們看手稿：

我們參考之前的道理，如果他們的「步伐很一致」也就是說，他們的波程差（pathdifference）是波長的整數倍，那麼，也就是建設性的幹涉了；如果他們的「步伐很不一致」，最極端的情況，是：他們的波程差（pathdifference）是波長的「半整數倍」，那麼這兩波就是，峰對谷、谷對峰，當然，加起來抵消掉了，也就形成了破壞性幹涉了（如上圖所示）。

 

在劍橋A Level 的物理裡面，運用數學較嚴密的推導，就相對的比較少，但是如果我們多用一些比較嚴密的數學來推理，那麼就可以理解的更透徹些，我們來看以下老師的手稿：

現在，我們有了比較數學化的原理基礎，再來研究楊氏雙狹縫實驗(Young’s double-slit experiment) 的問題，就會比較清晰，而易於理解了。我們先看楊氏雙狹縫實驗的示意圖：

 

看圖，其實這兩個通過狹縫的波源S1與S2 到了屏幕上的某一個位置，會有一段波程差（path difference），在數學上的處理，如老師以下的手稿：

 

另外，在楊氏雙狹縫實驗的示意圖中，我們可以運用相似三角形的原理，表達出在屏幕上某一位置離中心點的坐標值x ：

 

在手稿中，比較難理解的是，當角度很小的時候（事實上，是如此，通常這個角度是非常的小，遠小於1度），那麼tan θ 與 sin θ 是非常接近的（近似的），如果能了解這一點，就好辦了。

 

在劍橋的教材裡面，特別重要的是，兩個相鄰的亮紋或暗紋，之間距離，Δx的一個表達式。我們來看是怎麼得到的。

 

最主要的是：每一個符號代表的是什麼？參考楊氏雙狹縫實驗的示意圖，我們要熟悉：

 

a  : 兩個狹縫之間分隔的距離

D : 狹縫與屏幕之間的最短距離

λ : 波長

Δx : 兩個相鄰的亮紋或暗紋，之間的距離

 

由以上的關係式，如果波長λ，以及狹縫與屏幕之間的最短距離D給定，測出Δx，我們可以運用基本的代數，求得一個未知狹縫之間的分隔距離a （一般這是非常小的一個距離，遠小於毫米），這個在半導體積體電路之技術的研發與測定，有很重要的用途。

 

如果兩個狹縫之間的分隔距離 a，以及狹縫與屏幕之間的最短距離D給定，測出Δx，我們可以（運用基本的代數）精密地求得波長的值，這在科學研究的領域裡，具有舉足輕重的大用。

記得嗎？最近可說是諾貝爾級別的研究：重力波的測定，也是必須利用波的幹涉實驗才能夠測定的，其基本原理，與今天的幹涉有類似的地方，都是利用波之波程差形成幹涉的現象，來推算出波長的。

 

最後，由以上關係式衍生出來的考題不少，我們必須善於觀察關係式，加以獨立思考以及理解到：Δx是與波長λ成正比的，與狹縫與屏幕之間的最短距離D成正比，以及與兩個狹縫之間分隔的距離a成反比。考題時常會問：如果要增加兩個相鄰的亮紋或暗紋之間的距離（即Δx）在實驗的設置上應該怎麼做呢？相信同學們應該能夠很清晰地回答了。

 

篇幅已長，今天這個話題，就談到這裡。

 

祝

 

老師們，教學順利、愉快；

 

同學們，學業進步、學習愉快！

 

~Dr. Yu

2017-12-27

於廣州