本篇是是上一篇文章
微積分的思維，是對傳統方法的降維打擊，大道至簡其實不難！的延續閱讀。
之前，我們已經了解了從微分到積分的轉換過程。其實，我們也可以反向推演從積分到微分的轉換過程。
對任一可導的函數y=f(x)，在區間x∈[a，b]上，有f(b) -f(a)，這是曲線y=f(x)在Y軸上的一段投影的長度。
把區間x∈[a，b]分割成無限個無限小，每個無限小記為△x，則有b-a=∞*△x。
那麼：
f(b) -f(a)=[f(b) -f(b-△x)]+[f(b-△x) -f(b-2*△x)]+......+[f(a+2△x) -f(a+△x)]+[f(a+△x) -f(a)]
因為△x/△x=1，又得到：
f(b) -f(a)=[f(b) -f(b-△x)]/△x*△x+[f(b-△x) -f(b-2△x)]/△x*△x+......+[f(a+2△x) -f(a+△x)]/△x*△x+[f(a+△x) -f(a)]/△x*△x
=f'(b)△x+f'(b-△x)△x+......+f'(a+2△x)△x+f'(a+△x)△x
因為函數y=f(x)可導，我們把f'(b)~f'(a)，記作f'(x)，於是得：f(b) -f(a)=∫f'(x)dx，x∈[a，b]。
拿出式中一項，單獨表達：[f(x+△x) -f(x)]/△x=f'(x)。因為[f(x+△x) -f(x)]/△x要進行極限運算，表達式記作：
從上述的推演來看，導函數f'(x)是可以由原函數f(x)計算得出的，而原函數f(x)是由導函數f'(x)逆向推導得來的。為了能在微積分計算時，收放自如地推導原函數f(x)，我們需要先做好準備工作：求導數f'(x)。
下面，我們一起來了解幾個常見函數的求導過程。
1、常數函數y=C求導:
也可以記作：（C）'=0。
2、比例函數y=ax+b求導，a、b為實數:
也可以記作：(ax)'=a。它也可以視為冪函數y=x^μ當μ=1時的一個特例。
3、指數函數y=a^x求導：
初中學數學的時候，我們先學的冪次方運算後學的指數運算，但求導數不一樣，指數函數能用正常的方法求，但冪函數需要藉助指數函數的求導結果來求導。所以，我們先來了解指數函數的求導。
也可以記作：（a^x）'=a^x*lna。
當指數函數的底取自然對數e，也就是a=e時，因為lne=1，所以（e^x）'=e^x。
4、冪函數的y=x^μ求導：
我們可以先求一個μ為正整數時的特例。取x=a，當x無限趨近於a時，就可以求出y=x^μ在x=a處的導數。
把a替換成x，就有（x^μ）'=μx^(μ-1)，把μ從正整數域推廣到實數域，這個結論也是成立的。但這是類比推論，（x^μ）'=μx^(μ-1)還需要去證明。這就需要藉助指數函數y=e^x和對數函數y=lnx的求導結果以及複合函數的求導方法。我們先把證明貼出來，有需要補對數函數和複合函數求導課的同學，可以回頭再來看。
首先我們做一個很有意思的轉換：x=e^lnx。有的同學可能忘了對數的運算，那我們先證明一下這個等式。令e^lnx=y，則lnx=lny，x=y，所以x=e^lnx。那麼有：
了解了這幾個基本函數的導數，反過來求積分，一般的求面積或路程的問題，就不在話下了。
如果把微積分當作一門武功，那求導數就相當於打開了「任督二脈」。為了學好微積，讓我們來愉快地求導數吧！