制約宇宙的定律是否允許我們準確地預測到將來會有什麼發生在我們身上？
「簡短的回答即是否定的，也是肯定的。在原則上，定律允許我們預測未來。但在實踐中，通常計算都太難了。」
——《十問：霍金沉思錄》
1
我們能夠預測未來嗎？這是一個許多人都在試圖回答的問題。
如果這個未來是之後的一秒，那麼對我們周圍的大多數事物來說，一秒並不會發生太多變化。
如果這個未來是接下來的一小時，我們可以非常確定地說，我們的房子還在，我們所在城市不會突然消失，我們會變得稍微老一點點。
如果這個未來是一天，我們仍然可以成功地預測一些事情。例如，火車時刻列表是一樣的，這個世界還在。但有些事情卻可能已經發生了很大的變化，比如股市可能在一天內崩盤了，一場風暴可能來襲。
如果這個未來是一個月，甚至一年，我們就會發現時間越久遠，不確定性就越大。例如，你會相信一個月後的天氣預報嗎？你能精確地預測一年後的經濟狀況嗎？
量子力學的奠基人之一玻爾（Niels Bohr）曾說過：「預測任何東西都是極其困難的，尤其是關於未來。」
能解釋事物如何變化是我們預測事物的關鍵。變化往往是緩慢的，比如在生物學的進化系統；有時，變化又非常快，比如火山爆發。在某種意義上，兩者都是可預測的事件。難以預測的是突然的變化——比如一個看似穩定的系統突然發生災難性的變化。
這種重大的變化可能是由一個突然的外部因素引起的，也可能是由許多微弱的原因積累而致的。前者的例子有6500萬年前因小行星撞擊地球而導致的恐龍滅亡，後者的例子常被描述為是壓垮駱駝的最後一根稻草，比如雪崩以及戰爭的爆發等等。
關於預測，有一個在哲學上似乎矛盾的問題，那就是：我們能否預測不可預測的事？
或許，數學能幫我們回答這個問題。
2
這個宇宙是全然隨機的嗎？還是說它具有某些秩序與模式？
很顯然，大自然背後的確存在著基本的模式。正是因為意識到了這一點，人類才走上了通往現代化的道路，帶來了科學的革命。可以說，科學所尋找的正是宇宙的秩序與模式。而數學不僅是這些模式的基礎，它還為我們提供了一種描述宇宙的方法。
如果你仔細觀察，你能看到在我們的周圍充滿了秩序與模式。例如雪花就是一個例子，雖然每一片雪花都不一樣，但它們都有著精確的六倍對稱。
自然界中遍布著高度規律的模式，我們早已習以為常，卻鮮少停下來去思考它們為什麼存在。然而，無論是雪花的形狀，還是晶體的原子排列，又或是巖石的摺疊，它們背後都有著非常基本而又了不起的成因。而更令人驚嘆的是，一些偉大的頭腦觀察到了恆星和行星運動的秩序和模式，從而打開了通往現代世界的大門。
在這裡，有一位不得不提到的科學家，那就是伽利略（Galileo Galilei）。1581年，伽利略在比薩大教堂中觀察青銅吊燈的擺動時，他意識到吊燈的擺動是受可預測的規律支配的。他發現在氣流影響下晃動的吊燈，無論其擺動的幅度為何，來回擺動一次所花的時間都是一樣。然後，他用自己的脈搏來計時，在家裡用大小不同但長度相同的鐘擺來進行試驗。最終證實了鐘擺的擺動時間並不取決於它的大小，也不取決於它的位置，只取決於它的長度。
從此，鐘擺的擺動成為了可預測的信息。不過當時的伽利略並不知道為什麼會是這樣，在他去世後不久，另一位偉大的科學家誕生了，那就是牛頓（Issac Newton）。
牛頓發現了許多隱藏在宇宙模式背後的定律，而且還發明了微積分等數學技術，這為我們理解宇宙的基本定律提供了重要工具。牛頓用他的三大運動定律清楚地描述了運動物體的運動方式。這些定律全部可以用數學來描述，特別是微分方程，可以精確地描述運動如何隨時間演化。
利用微分方程在動力系統理論中所起的核心作用，最終可以得到鐘擺的長度（l）與擺動周期（T）之間的精確數學關係：
如果鐘擺的長度l=1m，那麼T=2.00607，其中g=9.81ms.
這與伽利略的觀測完全吻合。
牛頓成功地將運動規律轉化成了數學，然後用數學的解來預測系統在未來的行為。這為理解宇宙的一般方法提供了一個思路：
寫下描述物理系統的數學方程；解方程；再用方程的解來預測未來。
這是一個真正的開創性想法，是科學發展史中轉折性的時刻。
1781年，在赫歇爾（Herschel）發現天王星之後，利用牛頓的引力理論計算出了它的軌道。在此之前，天文學家已經用這種方法很完美地對其他行星的位置進行了預測。因此當他們發現牛頓理論的預測和天王星的位置之間存在一點小小的偏差時，他們非常震驚。
問題到底出在哪？數學家亞當斯（John Couch Adams）和勒威耶（Urbain le Verrier）推測可能存在另一顆行星影響了天王星的軌道。他們再次使用牛頓的理論，準確地預測出了這顆未知行星的位置。1846年，天文學家加勒（Galle）將望遠鏡對準了正確的方向，正如預測的那般，他發現了海王星的存在。
在數學的幫助下，天文學家發現了海王星。
這個巨大的勝利給了數學家們莫大的信心，這表明通過將觀察到的宇宙模式轉化成數學，就可以對未知事物的存在作出預測。到了1860年，麥克斯韋（John Clerk Maxwell）通過將法拉第（Faradays）的電和磁定律寫成數學方程再求解之後，預言了電磁波的存在。
現在，我們預測未來天氣也有著類似的工作原理，我們會利用當天的天氣，然後求解納維-斯託克斯大氣運動方程和熱力學方程以觀察大氣的演變。這些都是複雜性極高的方程，需要用計算機才可以求解。目前，我們已能夠足夠精確地完成這些計算，以較高的精度預測未來的天氣。
納維-斯託克斯方程組。
在19世紀，人們認為宇宙是由服從牛頓定律的原子組成的，因此我們可以高度精確地預測原子的運動。法國數學家拉普拉斯（Pierre Simon Laplace）在1814年發表了一則大膽的聲明，他說：
我們可以把宇宙現在的狀態視為其過去的果以及未來的因。假如一位智者能知道在某一時刻所有促使自然運動的力和所有構成自然的物體的位置，假如他也能夠對這些數據進行分析，那麼在宇宙中，從最大的物體到最小的粒子，它們的運動都包含在一條簡單的公式裡。對於這位智者來說，沒有任何事物會是含糊的，並且未來只會像過去般出現在他眼前。
這個智者被後人稱為「拉普拉斯妖」。
拉普拉斯時代以來，宇宙在一個時刻的狀態確定其他所有時間的狀態的思想一直說是科學的中心信條。這意味著我們至少在原則上可以預測未來......
——《十問：霍金沉思錄》
我們很難把拉普拉斯的大膽預測以及拉普拉斯妖與我們所觀察到的現實世界相提並論，因為對人類而言，許多事件都是不可預測的。事實上，人類的行為本質上是不可預測的，我們能夠行使自由意志。
不可預測也發生在物質世界。比如我們無法準確預測10天之後的天氣，同樣我們也很難預測氣候現象，厄爾尼諾南方濤動現象（ENSO）就是一個很好的例子。
不可預測性的無處不在似乎與拉普拉斯預測的有序宇宙相矛盾。伴隨著牛頓定律在預測未來方面上的許多成功案例，我們不禁要問這樣一個問題：
我們在自然界中看到的許多不可預測性真的是因為自然界的複雜性和無法解釋性導致的嗎？還是說，看似不可預測的行為實際上能從受牛頓定律支配的系統中產生？
3
我們可以通過一個相對簡單的系統來回答這個問題，那就是雙擺系統。雙擺系統是由兩個單擺耦合在一起形成的，它是伽利略對單擺研究的延伸，顯然，這個系統也受牛頓運動定律的支配。
這個系統只有兩個運動的部分，即上半部分的單擺和底部的單擺，每個部分都有位置和角速度這兩個變量。因此這個系統可以簡化為4個自由度。這比有著數十億個自由度的天氣要少得多。但即便如此，雙擺的行為仍然非常複雜，我們可以將它的運動劃分為三類。
如果上半部分和下半部分的單擺以較小的角度被拉到同一邊（下圖左），那麼它們會像單擺一樣以規律的方式同步擺動；如果這兩個部分以較小的角度被拉向相反的方向（下圖右），那麼當它們被釋放時則會繼續朝著相反的方向運動，這種異相的運動會一直周期性地持續下去。
最後，如果我們給鐘擺一個大大的擺動，那麼雙擺將以一種最不穩定的幾乎隨機的方式運動。下圖所示的就是這樣一個例子，一盞燈被連接到了雙擺最低的部分，圖中記錄的便是它在這種情況下它隨時間的運動軌跡。不難看出，它的運動不僅複雜，而且極難預測。這樣的運動已經完全不符合我們前面所描述的可預測性，而是成為了混沌運動。
可能有人會說這種混沌運動之所以看似隨機，是因為雙擺只是對隨機氣流做出反應。然而事實卻並非如此。根據牛頓運動定律，我們可以用一對耦合的非線性二階常微分方程來描述這樣一個雙擺系統的運動：
θ：角度，l：長度，m：質量。
如果夾角較小，則可以用線性逼近，對系統進行精確求解，預測上述的同相和異相行為。但如果夾角很大，則只能使用計算機來進行數值求解了。在完全基於牛頓運動定律的基礎上，計算機可以給出與物理系統完全相同的行為，這表明混沌行為確實可以作為牛頓方程的解存在。
那麼我們應該如何定義混沌行為呢？數學家Chris Budd將其描述為：
混沌運動是一種複雜、不規則且不可預測的行為，它產生於一個「簡單」的系統，可以用「簡單」的數學定律進行精確描述。
混沌運動的一個關鍵特徵在於它們對初始條件的敏感性，兩個非常接近的初始狀態會以非常不同的方式進化，然後產生混沌。這種現象有一個通俗易懂的名字——蝴蝶效應。蝴蝶效應的概念引發了公眾的無限想像，它表明即使是微小的變化也會對未來產生巨大的影響，這種觀點似乎能與我們對宇宙如何運行的一些看法產生共鳴。
這種混沌行為存在於許多物理系統中。比如一張混亂的撞球桌，撞球在桌子上撞來撞去，它們的運動模式是高度複雜的，然而，就像雙擺一樣，它產生於非常簡單的運動定律。
這個場景在光學、聲學以及高頻WiFi中都有非常實際的應用。就拿WiFi來說，上圖中的線就對應於電磁輻射射線。這張複雜非凡的圖片意味著真正的混沌行為無處不在，我們很難預測一個房間內的WiFi覆蓋強度。
…… 然而，在實踐中，我們預測未來的能力受限於方程的複雜性以及它們通常具有稱為混沌的屬性這一事實。
——《十問：霍金沉思錄》
4
混沌理論起源於洛倫茲（E. Lorenz）在1963年發表的一篇論文，當時他正在試圖研究大氣的運動。經過大量簡化之後，他將系統簡化為三個常微分方程：
在20世紀60年代以前，要準確地解出這個方程組是不可能的。但之後快速數字計算機的出現，使求解成為可能，其結果讓洛倫茲非常驚訝。他得到的結果並沒有出現他以為會出現的周期行為，而是以一種不穩定的方式出現，他稱之為混沌。
下圖顯示的是用一組具有氣象意義的固定參數所繪製的x(t)演化圖，圖中顯示了隨著時間的推移具有複雜軌跡的混沌行為。這張圖採用了x(0)的兩個稍微不同的初始條件（圖中用黃線和藍線表示），在 t=24 時，它們的軌跡都非常接近，但在 t=24 之後，它們開始出現顯著的差異。
將x(t)和y(t)繪製在一起更能說明問題。在下圖中，點(x, y)圍繞一個蝴蝶形狀的集合運動。這個集合被稱為奇異吸引子，因為它能吸引所有的軌跡，但它既不是周期性的，也不是一個定點。雖然吸引子周圍的點都是混沌的，但吸引子本身的形狀卻是確定的。奇異吸引子本身具有良好的結構，它是分形集的一個例子。
上世紀60年代發現的混沌在當時引發了很大的轟動，它吸引了許多學者的關注，也掀起了大眾媒體對此的報導熱情，其中還包括大量的炒作。不過，混沌動力學的發現其實發生在更早的時候，它的發現很大程度上要歸功於偉大的法國數學家龐加萊（Henri Poincare）。
三體模擬。
當時，龐加萊正在研究太陽系的穩定性。我們知道，如果一顆行星繞著太陽旋轉，那麼它的運動是周期性的，而且可以用牛頓定律精確地預測出來。然而，龐加萊證明了一個由三個質量相似的物體組成的系統在萬有引力作用下只會在不規則軌道上運動。
5
我們很難看出洛倫茲系統中的混沌行為是如何產生的，因此我們可以研究一個更為簡單的系統，它也具有類似的混沌行為，那就是著名的邏輯斯諦映射（Logistic Map）。假設我們要預測一個城鎮從一年到來年的人口，我們設xn為這個城鎮在未來第n年的人口數，也就是說 n=0 為已知的當前年份的城鎮人口數（x0）。
1798年，馬爾薩斯（Malthus）在《人口原理》一文中提出了一個簡單的人口增長模型。他假設，任何一年的出生人口比例是固定的，死亡人口比例也是固定的。這意味著在n+1年的人口將與n年的人口成比例：
a是比例常數。
這是一個離散動力系統的例子。在這種情況下，馬爾薩斯模型給出了簡單且可預測的解：
如果 a<1，則人口數量減少；如果 a=1，人口數量保持不變；如果 a>1，則人口數量呈現無限制地增長，即所謂的馬爾薩斯增長。馬爾薩斯本人也意識到這是種不現實的模型，因為人口最終會耗盡資源，然後開始下降。一種解決方法是引入人口的上限M，以便將資源的有限程度納入考量，於是修正過的馬爾薩斯模型變成了：
將以上等式稍做變形，便得到了著名的人口增長邏輯斯諦映射模型：
這個系統只有在 r=0 和 r=4 兩種情況下才有精確解。
下圖所示的是 2.4<r<4 的邏輯斯諦映射圖。從這個圖中我們可以清楚地看到當 r<3 時存在一個固定的點，在r趨近於3的時候，一個點變成了兩個點的雙循環，當 r>3.56995 時，混沌行為出現了。不過在 r=3.828 附近也存在一個穩定的三循環。數學家一直在為了更好地理解這張圖而努力。
動力系統其實就是一個會隨時間演化的系統，它可以由一個狀態向量x(t)描述。它可以是一個連續的時間函數（如雙擺系統），也可以是離散時間的函數（如邏輯斯諦映射）。隨著動力系統的參數發生變化，它的狀態也會發生變化。一個狀態可以被創造，可以消失，可以失去它的穩定性，也可以變成另一種狀態，就如我們在邏輯斯諦映射圖中所看到的那樣。
我們常聽人說到「壓死駱駝的最後一根稻草」這句話，其實在這個場景下，駱駝——或者更確切地說是駱駝的背部，就是一個動力學系統的解，這個系統的參數是它背上的稻草量。如果稻草的量少，那麼駝背就是這個動力系統的一個穩定的固定點。但在隨著加載參數逼近臨界值，固定點變得不再穩定，其結果就是導致駝背斷裂。
在這裡，我們看到了一個臨界點，超過這個臨界點，控制這個系統的參數發生的一點微小的變化就能導致系統最終狀態出現一個不可逆的巨大變化。數學家已經對這些狀態的轉換進行了非常詳細的研究，它們可以用「分歧理論」來解釋。就如上圖所示的邏輯斯諦映射圖中出現的分歧點就顯示了許多與其相關的特徵，包括著名的「通往混沌的周期倍增路線」。
6
混沌理論有用嗎？
沒錯，許多數學理論在一開始時都很抽象，你很難想像它的用途，但它們卻能在後來成為科學和技術的核心。混沌理論就是很好的例子。洛倫茲在20世紀60年代的工作在很大程度上都是理論性的，但人們很快意識到，許多物理系統確實有非常混沌的行為。許多其他重要系統也被認為是混沌的，比如天氣、汽車尾氣、電力供應系統、摩擦剎車、氣候變化、WiFi、腦電圖信號、心電圖信號以及小行星的運動等等。混沌理論使我們能夠理解、測量，並在某些情況下控制這些混沌系統表現出的不確定性行為。
現在我們認識到，混沌行為是由複雜的、非線性的、確定性過程控制的任何事物的自然模式的一部分。小行星就是一個很好的例子，它們有著非常複雜的軌道，這是我們必須理解的事實，否則我們可能無法預測小行星是否以及何時會撞擊地球。從這個角度看，混沌理論在拯救人類方面還具有至關重要的意義！
當然混沌還有一些不這麼聳人聽聞的應用。例如，混沌理論在計算機圖形學中扮演著越來越重要的作用。混沌理論幾乎有著無限的應用，雖然它帶來的似乎是混亂和不可預測性，但它卻是我們理解世界的一種至關重要的方法。
擴展閱讀：
https://www.gresham.ac.uk/lectures-and-events/maths-chaos-theory-change
https://www.quantamagazine.org/hidden-heroines-of-chaos-ellen-fetter-and-margaret-hamilton-20190520/
《十問：霍金沉思錄》，作者：霍金
來源：新原理研究所
編輯：GUOmazing