在新冠病毒流行疫情下，如何在辦公室、學校或其他公共場所安全地身體保持一定隔離，這實際上是數學家們研究了幾個世紀的數學問題，也成為了當今全世界數百萬人在考慮的問題。
確定如何在疫情下的公共場所身體隔離，在某種程度上是一種幾何問題：如果每個人都必須與其他人保持一定的距離，那麼弄清楚有多少人可以容納在一個餐館飯廳或學校教室裡，可簡化為是一個將多少非重疊圓容納在一個平面中的幾何問題。
就像在化學中對晶體結構建模和資訊理論中的抽象消息空間建模一樣，這是一個看起來很簡單的問題，一些歷史上最偉大的數學家對其進行了研究，並且今天仍在進行激動人心的研究，尤其是在更高維度上。
讓人們在一定空間間隔一定距離，就如是將橘子裝在盒子裡的問題一樣，容器的尺寸和形狀是問題的關鍵。但是對於大多數數學家來說，球體填充理論是關於填充所有空間的。在二維中，這意味著用大小相同且不重疊的圓覆蓋平面，猶如一箱飲料罐排列的頂視圖：
可以想像此圖案在各個方向上都重複，就像平鋪瓷磚一樣。圓圈之間的微小縫隙意味著平面並未完全覆蓋。問題是對有效的平面所佔的百分比感興趣，這被稱為「堆積密度」。上面的排列稱為正方形堆積，可以將圓心想像為正方形的頂點。
這些正方形以規則的方式覆蓋整個平面，因此圓圈所覆蓋的平面百分比與圓圈所覆蓋的任何一個正方形的百分比相同。因此，仔細看看其中一個正方形。
假設每個圓的半徑為r。這意味著正方形的邊長為2r。正方形的四個頂點中的每個頂點都被一個四分之一圓覆蓋，因此，每個正方形所覆蓋的百分比就是一個完整圓的面積與一個正方形的面積之比：
每個正方形大約有78.54％的圓圈覆蓋，因此根據平鋪視圖，整個平面大約有78.54％的圓圈覆蓋，這即為平面方形容納的密度。注意半徑r如何從這個答案中消失的，因為無論圓有多大，正方形仍將包含四個四分之一圓，與半徑r無關。
現在，如果你曾經嘗試過將飲料罐這樣堆疊在一個盒子裡，知道它們會滑入空隙間，所以還有另一種在平面上堆積圓圈的方法。與上述方法相似，我們可以將這種排列中的圓心想像為正六邊形的頂點。
這種安排似乎比方形包裝更有效地填補了空白。為了進行驗證，比較一下它們的包裝密度。就像正方形一樣，六邊形平鋪在平面上，因此我們可以通過分析單個六邊形來確定這種排列的堆積密度。
這個六角形有多少被圓覆蓋？由於正六邊形的內角為120度，因此在六邊形的六個頂點中的每個頂點處都有一個圓的三分之一，總共相當於兩個完整的圓。因此，每個六角形都被三個圓圈覆蓋。如果每個圓的半徑為r，則總面積為3πr^2。邊長為s的六邊形實際上是邊長為s的六個等邊三角形，由於包裝中六角形的邊長為2r，因此其面積為：
因此，被圓覆蓋的六邊形面積的百分比，即通過將三個圓的面積除以六邊形的面積，有：
每個六邊形大約有90.69％被圓形覆蓋，這使得容納密度比方形排列更有效。注意，圓弧的半徑又如何從這個答案中消失的。實際上，這種布置更有效。
拉格朗日和高斯等著名數學家，於18世紀末至19世紀初開始了上述研究，但直到1940年代，所有可能的安排，包括常規和不規則安排等，才得到了嚴格的處理。在可視化的兩個維度上解決這些看起來容易的問題，實際上花了很長時間，這警示了當在更高維度上延伸時並不是那麼容易。
如此類推，可以考慮三維填充球體這一更為複雜的問題，儘管它確實具有與其二維相對體相同的特徵。有所謂的「面心立方」或「立方密排」問題。這兩種相似但本質上不同的排列方式在化學中顯示出來，它們描述了不同材料中原子的排列方式。例如，諸如銀和金之類的金屬具有面心立方結構，而諸如鋅和鈦之類的金屬具有立方密排結構。
實際上，可以通過混合樣式來創建無限多個包裝，但是「面心立方」或「立方密排」模式最引人注目的是它們都能產生最佳包裝！它們不僅具有相同的堆積密度π/(3x2^(1/2)) ≈ 0.7405，而且是三維空間中球體中最密集的堆積。
著名數學家和天文學家克卜勒於1611年對此進行了推測，但直到1998年，數學家託馬斯·海爾斯（Thomas Hales）才提供了完整的證明。
一般來講，隨著空間維度n的增加，n維球體佔據的n維空間越來越少，從而產生了超密堆積的高維空間。這些特殊的、被認為是最佳的排列的球體堆積問題，一直是懸而未決的數學難題。
直到2016年，才由著名的80後、年輕的烏克蘭美女數學家、瑪麗娜·維亞佐夫斯卡（Maryna Viazovska），解決了8維空間的球體堆積問題，之後又與其他數學家合作解決了24維空間的球體堆積問題。
以前，這個問題只在三維或更少的維度上才有解，而且三維的證明還需要冗長的計算機演算。維亞佐夫斯卡對8維和24個維空間中該問題的證明卻具有"驚人的簡潔"。她所證明的將球體包裝到8維和24維空間中的最佳方法，是手機優化中所使用的糾錯碼或在空間探測器中進行通信所必需的技術。