經典運動力學:圓周運動

一、定義

質點沿圓周運動，如果在任意相等的時間裡通過的圓弧長度相等，這種運動就叫作勻速圓周運動。

二、描述勻速圓周運動的物理量

1.線速度

圓周運動的線速度為邊緣速度

所謂線速度，就是做勻速圓周運動的物體的即時速度。作勻速圓周運動的物體，在圓周上各點的線速度方向是圓周上各點的切線方向。作勻速圓周運動的物體在圓周軌跡上各點的線速度大小都相等，若物體沿半徑為r的圓周作勻速圓周運動，運動一周的時間為T(稱為周期)，則線速度的大小為：v＝2πr/T。雖然作勻速圓周運動的物體線速度的大小不變，但線速度的方向時刻在改變。所以勻速圓周運動是變速運動。

2.角速度

單位時間內所掃過的角度

用連接物體和圓心的半徑轉過的角度θ跟轉過這個角度所用時間t的比值來表示，即：ω＝θ/t，比值ω叫作勻速圓周運動的角速度。在國際單位制中角度的單位是弧度，時間單位是秒，角速度單位是弧度/秒。角速度ω與周期T的關係是：ω＝2π/T，角速度和線速度的關係是v＝ωr。在實際應用中，人們也常用轉速來描述作勻速圓周運動物體的快慢。所謂轉速是指作勻速圓周運動的物體每秒轉過的圈數，用符號n來表示。角速度與n的關係是：ω＝2πn。

3.周期、頻率、轉速

周期是連續性與間斷性的統一

①.做勻速圓周運動的物體運動一周所用的時間叫作周期。其公式表達式為T＝2πr/v＝2π/ω，單位是秒，即s。

②.做勻速圓周運動的物體在1秒時間內所轉過的圓周數叫作頻率。頻率和周期互為倒數關係：f＝1/T。

③.轉速是指做勻速圓周運動的物體單位時間內轉過的圈數。

④.周期、頻率和轉速都是描述勻速圓周運動的快慢程度的物理量。

⑤.描述勻速圓周運動的各物理量間的關係T＝1f，ω＝2πT＝2πf，v＝2πrT＝2πrf＝ωr。T、f、ω三個量中任一個確定，其餘兩個也就確定了，但v還和半徑r有關。

4.向心加速度

沒有向心加速度，物體將不可能作圓運動

向心加速度是描述線速度變化快慢的物理量。作勻速圓周運動的物體線速度的大小是不變的，僅線速度的方向發生變化。若軌跡圓的半徑一定，線速度越大，顯然速度方向變化越快，若線速度一定，顯然軌跡半徑越小，線速度方向變化越快。向心加速度的大小跟線速度大小和圓周半徑的關係為：a＝v/r，又由於v＝ω r和ω＝2π/T，所以有a＝ωr＝4πr/T。向心加速度a的方向始終指向作勻速圓周運動的物體軌跡圓的圓心。

5.向心力

①.作用：產生向心加速度，只改變速度的方向，不改變速度的大小。因此，向心力對圓周運動的物體不做功。

②.大小：F向＝ma向＝mv/r＝mωr＝m4πr/T。

③.方向：總是沿半徑指向圓心且時刻在變化，即向心力是變力。

④.做圓周運動的物體，所受合外力沿半徑指向圓心的分量即為向心力。正確理解向心力：

a. 在受力分析時不能說物體受到一個向心力。

b. 向心力是變力。

c.向心力不做功。

三、離心現象和向心現象

沒有離心與向心，航工就是個笑話

1.離心現象

做勻速圓周運動的物體，在合外力突然變為零，或者不足以提供做圓周運動所需要的向心力時，即：F＜mv/r，物體將做逐漸遠離圓心的運動，這種現象叫作離心現象。

2.向心現象

做勻速圓周運動的物體，在合外力突然增大或速度減小，使所受合外力大於做圓周運動所需要的向心力時，即：F＞mv/r，物體將做逐漸向圓心靠近的運動，這種現象叫作向心現象。

總之，離心現象和向心現象是在「供」「需」關係發生矛盾時所發生的現象，當做圓周運動的物體在半徑方向上所受合外力提供的向心力小於物體做圓周運動所需的向心力時就發生離心現象，而所提供的向心力大於所需要的向心力時就發生向心現象。

四、圓周運動的動力學問題分析

1.向心力的來源

向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、彈力、摩擦力等各種力，也可以是幾個力的合力或某個力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一個向心力。

2.向心力的確定

①.確定圓周運動的軌跡所在的平面，確定圓心的位置。

②.分析物體的受力情況，找出所有的力沿半徑方向指向圓心的合力就是向心力。

3.解決圓周問題的主要步驟

①.審清題意，確定研究對象；

②.分析物體的運動情況，即物體的線速度、角速度、周期、軌道平面、圓心、半徑等；

③.分析物體的受力情況，畫出受力示意圖，確定向心力的來源；

④.據牛頓運動定律及向心力公式列方程；

⑤.求解、討論。