1．選擇題的解題技巧
高考數學選擇題是高考考查的三大題型之一，有12 題之多，總分有60 分．因此，研究選擇題的解答技巧就顯得十分必要．數學選擇題有4個選項，其中僅有一個是正確的，因此，其解答方法除了正面直接推理、計算以外，也可以採用排除法，排除3個錯誤選項，從而獲得正確選項．採用數形結合取特值、代入驗證、範圍估計、等價轉化等特殊方法，巧妙解答選擇題也是必須靈活掌握的，只有方法加技巧才能達到「快、巧、準」地解答選擇題的目的．
選擇題一般是容易題或中檔題，個別題屬於較難題，且大多數題的解答過程可用特殊方法快速解答．一般來說，能定性判斷的，就不再使用定量計算；能使用特殊值判斷的，就不必採用常規解法；能使用間接法解的，就不必直接解答；對於明顯可以否定的選項應及早排除，以縮小選擇的範圍；對於具有多種解題思路的，宜選最簡解法等．
從考試角度來看，解選擇題只要選對就行，至於用什麼「策略」「手段」都是無關緊要的，所以有人戲稱處理選擇題可以「不擇手段」，即解答選擇題時要靈活運用非常規手段、方法處理問題．總的來說， 解選擇題的原則是：小題巧解．
數形結合法和等效轉化法這兩種方法分別是以數形結合思想和轉化與化歸思想為指導的一種解題策略．
下面僅對直接求解法、特殊值法、排除法、估算法、推理分析法作以分析．
※直接求解法
直接解答型選擇題可以直接從題設條件出發，利用相關概念、定理、性質、公式和法則等知識，通過變形、推理、運算等過程，直接得出結論，與選項對照，選擇正確選項．直接解答型選擇題相對來說比較簡單．
【典例1】(2017全國Ⅱ)若是函數的極值點，則
的極小值為
A． B． C． D．1
【解析】∵，∵，∴，
所以，，
令，解得或，所以當，，單調遞增；當時，，單調遞減；當，，單調遞增，所以的極小值為，選A．
【典例2】(2016全國Ⅰ)平面過正方體ABCDA1B1C1D1的頂點A，∥平面CB1D1，平面ABCD=m，平面ABB1A1=n，則m，n所成角的正弦值為
A． B． C． D．
【解析】因為過點的平面與平面平行，平面∥平面，所以∥∥，又∥平面，所以∥，則與所成的角為所求角，所以，所成角的正弦值為，選A．
【典例3】設，，且，則
A． B． C． D．
【解析】由條件得，即，
得，又因為，，
所以，所以．故選B．
【典例4】已知為雙曲線：的一個焦點，則點到的一條漸近線的距離為
A． B． C．3 D．
【解析】由已知得雙曲線方程為：，則，，則可設，的一條漸近線方程為，即，
所以，焦點到此漸近線的距離為．故選A．
【歸納總結】直接法是解答選擇題最常用的基本方法．直接法適用的範圍很廣，只要運算正確必能得出正確的答案．平時練習中應不斷提高用直接法解選擇題的能力，準確把握題目的特點．
※特殊值法
該類題目可以通過取一些特殊數值、特殊點、特殊函數、特殊數列、特殊圖形、特殊位置、特殊向量等對選項進行驗證，從而否定並排除不符合題目要求的選項，間接地得到符合題目要求的選項．
【典例1】(2017山東) 若，且，則下列不等式成立的是
A． B．
C． D．
【解析】取，，則，，，所以， 選B．
【典例2】(2016浙江)已知實數a，b，c
A．若+≤1，則<100
B．若+≤1，則<100
C．若+≤1，則<100
D．若+≤1，則<100
【解析】取a=10，b=10，c=110，可排除選項A；取a=10，b=100，c=0，可排除選項B；取a=10，b=10，c=0，可排除選項C．故選D．
【典例3】設、是實數，則「」是「」的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不必要條件
C．充分必要條件 D．既不充分不必要條件
【解析】可採用特殊值法進行判斷，令，滿足，但不滿足，即條件「」不能推出結論「」；再令，滿足，但不滿足，即結論「」不能推出條件「」，故選D．
【典例4】已知若，，均不相等，且，則的取值範圍是
A．(1，10) B．(5，6) C．(10，12) D．(20，24)
【解析】解法一（特值法）
不妨設，取特例，如取，則易得，，，從而．故選C．
解法二（圖象法）
不妨設，則由，，畫出的圖象易得．實際上，，中較小的兩個數互為倒數，故的取值範圍是(10，12)．選C．
【典例5】定義在上的函數關於點(2，0)對稱，且在[2，+∞）上單調遞增．如果，且，則與0的大小關係是
A． B．
C． D．無法判斷
【解析】如圖所示，利用圖中直線（特殊圖形）對應的一次函數求解．不妨設，則由知，，又由，可知，且，由圖可知，故選A．
【歸納總結】特殊值法是「小題小做」的重要策略，要注意在怎樣的情況下才可使用，特殊情況可能是：特殊值、特殊點、特殊位置、特殊函數等．用特殊值法解題時要注意：(1)所選取的特例一定要簡單，且符合題設條件；(2)特殊只能否定一般，不能肯定一般；(3)當選取某一特例出現兩個或兩個以上的選項都正確，這時要根據題設要求選擇另外的特例代入檢驗，直到找到正確選項為止．
※排除法
該類型題目中的條件一般多於一個，可利用排除法先根據某些條件在選項中找出明顯與之矛盾的，予以否定，再根據另一些條件在縮小的選項範圍內找出矛盾，逐步排除，直到得出正確的選項． 將排除法與特例法、圖解法等結合使用是解選擇題的常用而有效的方法．
【典例1】(2017浙江)函數的導函數的圖像如圖所示，則函數的圖像可能是
A． B．
C． D．
【解析】根據題意，已知導函數的圖象有三個零點，且每個零點的兩邊導函數的符號相反，因此函數在這些零點處取得極值，排除A、B；記導函數的零點從左到右分別為，，，又在上，在上，所以函數在上單調遞減，排除C．故選D．
【典例2】(2016北京)袋中裝有偶數個球，其中紅球、黑球各佔一半．甲、乙、丙是三個空盒．每次從袋中任意取出兩個球，將其中一個球放入甲盒，如果這個球是紅球，就將另一個球放入乙盒，否則就放入丙盒．重複上述過程，直到袋中所有球都被放入盒中，則
A．乙盒中黑球不多於丙盒中黑球 B．乙盒中紅球與丙盒中黑球一樣多
C．乙盒中紅球不多於丙盒中紅球 D．乙盒中黑球與丙盒中紅球一樣多
【解析】若袋中有兩個球，則紅球、黑球各一個，若紅球放在甲盒，則黑球放在乙盒，丙盒中沒有球，此時乙盒中黑球多於丙盒中黑球，乙盒中黑球比丙盒中紅球多，故可排除A，D；若袋中有四個球，則紅球、黑球各兩個，若取出兩個紅球，則紅球一個放在甲盒，餘下一個放在乙盒，再取出餘下的兩個黑球，一個放在甲盒，則餘下一個放在丙盒，所以甲盒中一紅一黑，乙盒中一個紅球，丙盒中一個黑球，此時乙盒中紅球比丙盒中紅球多，排除C；故選B．
【典例3】在同一直角坐標系中，函數()，的圖象可能是
A B C D
【解析】當時，函數單調遞增，函數單調遞增，且過點(1，0)，由冪函數的圖象性質可知C錯；當時，函數單調遞增，函數單調遞減，且過點(1，0)，排除A，又由冪函數的圖象性質可知B錯，因此選D．
【典例4】設函數，若，則實數的取值範圍是
A．(1，0)(0，1) B．(∞，1)(1，+∞)
C．(1，0)(1，+∞) D．(∞，1)(0，1)
【解析】取驗證，滿足題意，排除A，D．取驗證，不滿足題意，排除B．故選C．
【典例5】在△中，設、、分別是角A、B、C所對邊的邊長，且直線與平行，則△一定是
A．銳角三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰或直角三角形
【解析】若是等腰三角形，滿足(A，B與C是否相等是無法確定的，根據題意給出的是A，B的關係，因此若是等腰三角形一定可得到A=B)，這時兩直線重合，不滿足題意，故可排除B，D；由兩直線平行可得，可取特殊的直角三角形，，，可知這個三角形滿足題意，故可排除A．選C．
【歸納總結】排除法適用於不易直接求解的選擇題．當題目中的條件多於一個時，先根據某些條件在選項中找出明顯與之矛盾的，予以否定，再根據另一些條件在縮小的選項範圍內找出矛盾，這樣逐步排除，直到得出正確的選項．
※數形結合法
該類問題一般通過命題條件中的函數關係或幾何意義，作出函數的圖象或幾何圖形，藉助圖象或圖形的作法、形狀、位置、性質等，綜合圖象的特徵，得出結論．
【典例1】(2017山東)已知當時，函數的圖象與的圖象有且只有一個交點，則正實數的取值範圍是
A． B．
C． D．
【解析】當時，，由圖1知函數，在上單調遞減，函數，在上單調遞增，因為，，
，，所以，，
此時與在有一個交點；當時，，
由圖2知函數，在上單調遞減，在上單調遞增，
此時，在無交點，要使兩個函數的圖象有一個交點，
需，即，解得．選B．
圖1 圖2
【典例2】設滿足約束條件，則的最大值為
A．10 B．8 C．3 D．2
【解析】作出可行域如圖中陰影部分所示由得，作出直線，
平移使之經過可行域，觀察可知，當直線經過點時，對應的值最大，故，選B．
【典例3】已知函數是定義在上的奇函數，當時，
．若，，則實數的取值範圍為
A． B． C． D．
【解析】當時，，又為奇函數，可得的圖象如圖所示，由圖象可得，當時，，當時，令，得，又，，可知，得，選B．
【歸納總結】運用此法解題時一定要對有關函數圖象、方程曲線、幾何圖形較熟悉，否則，錯誤的圖象會導致錯誤的選擇．
※正難則反法
正難則反型問題是指問題的正面設置使人感到無法入手，無章可循，或從問題的正面入手，頭緒繁多，難以處理，常利用問題的反面來達到解決問題的目的．
【典例1】4位同學各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動，則周六、周日都有同學參加公益活動的概率為
A． B． C． D．
【解析】常規解法由已知，4位同學各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動有=16種結果，而周六、周日都有同學參加公益活動有兩種情況：①一天一人，另一天三人，有=8種；②每天各兩人，則有=6種，故周六、周日都有同學參加公益活動的概率為，故選D．
正難則反法由已知，4位同學各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動有=16種結果，設「周六、周日都有同學參加公益活動」為事件，則事件的對立事件為「4位同學均在周六或均在周日去參加公益活動」，共2種情況，即，則，故選D．
【典例2】已知，若在上存在使得，則的取值範圍是
【解析】此題從反面分析，採取補集思想解題比較簡單．若在 上不存在使得，即當時，恆成立，
則，則，
其補集是．故選D．
【歸納總結】當問題的正面設置無從入手，或是從問題的正面入手比較麻煩，則常尋找問題的反面情形．針對所尋找的問題的反面情形，利用學過的定義、公式、定理、法則等知識進行解決．把問題的反面情形解決好後，回歸到原來的問題給予解決，從而得出正確選項．一般否定式與至多、至少性的問題，常首選正難則反法;有關古典概型、幾何概型的概率求解問題，常利用正難則反法，先求其對立事件的概率，再利用對立事件的概率公式，得所求事件的概率．
※估算法
估算型問題，一般屬於比較大小或者確定位置的問題，我們只要對數值進行估算，或者對位置進行估計，就可以避免因為精確計算和嚴格推演而浪費時間．
【典例1】已知與之間的幾組數據如下表：
假設根據上表數據所得線性回歸直線方程為．若某同學根據上表中的前兩組數據(1，0)和(2，2)求得的直線方程為，則以下結論正確的是
A．，B．，
C．，D．，
【解析】畫出過點(1，0)和(2，2)的直線，畫出散點圖，大致畫出回歸直線(如圖所示)，
由兩條直線的相對位置關係可估計，．
【典例2】設，，，則
A． B． C． D．
【解析】因為，，，所以，故選B．
【典例3】已知，，則
A． B． C． D．5
【解析】由於受條件的制約，為一確定的值，進而推知也為一確定的值．又，所以，故．故選D．
【歸納總結】估算法就是把複雜問題轉化為較簡單的問題，求出答案的近似值，或把有關數值擴大或縮小，或把有關圖象大致地畫出，從而對運算結果（圖象）確定出一個範圍或作出一個估計，進而作出判斷的方法． 估算法的關鍵是確定結果所在的大致範圍，否則「估算」就沒有意義．估算法往往可以減少運算量，但是加強了思維的層次．
※推理分析法
【典例1】(2017浙江)如圖，已知平面四邊形，，，，與交於點，記，，，則
A．<< B．<< C．< < D．<<
【解析】如圖所示，四邊形是正方形，為正方形的對角線的交點，易得，而，∴與為鈍角，與為銳角．根據題意
，∴，同理．
做於，又．
∴，而，
∴，即，
∴，選C．
【典例2】(2016全國Ⅲ)在封閉的直三稜柱內有一個體積為的球，若ABBC，AB=6，BC=8，，則的最大值是
A．4π B． C．6π D．
【解析】由題意可得若最大，則球與直三稜柱的部分面相切，若與三個側面都相切，可求得球的半徑為2，球的直徑為4，超過直三稜柱的高，所以這個球放不進去，則球可與上下底面相切，此時球的半徑，該球的體積為
，故選B．
【典例3】下列敘述中正確的是（ ）
A．若，則的充分條件是
B．若，則的充要條件是
C．命題「對任意，有」的否定是「存在，有」
D．是一條直線，是兩個不同的平面，若，則
【解析】由推不出，因為與的符號不確定，所以A不正確；當時，由推不出，所以B不正確；「對任意，有」的否定是「存在，有」，所以C不正確．選D．
【歸納總結】對於新定義問題以及空間線面位置關係的判斷、充要條件的判斷、定理性判斷的問題，都需要根據相關的定義、定理、法則等進行嚴密的推理．如本題，在推理分析過程中，要正確利用充要條件的定義判斷選項A、B 的正誤，利用空間線面位置關係的判定定理判定選項D 的正誤．
2．填空題的解題技巧
填空題是一種只要求寫出結果，不要求寫出解答過程的客觀性試題．因而求解選擇題的有關策略、方法有時也適用於填空題．
根據填空時所填寫的內容形式，可以將填空題分成兩種類型：
一是定量型，要求填寫數值、數集或數量關係，如方程的解，不等式的解集，函數的定義域、值域、最大值或最小值，線段長度，角度大小等．由於填空題和選擇題相比，缺少選項的信息，所以高考題多以定量型問題出現．
二是定性型，要求填寫的是具有某種性質的對象或者填寫給定數學對象的某種性質，如給定二次曲線的焦點坐標、離心率等，近幾年又出現了定性型的具有多重選擇性的填空題．
在解填空題時要做到：細——審題要細，不能粗心大意；穩——變形要穩，不可操之過急；快——運算要快，力戒小題大做；全——答案要全，力避殘缺不全；活——解題要活，不要生搬硬套．合情推理、優化思路、少算多思是快速、準確地解答填空題的基本要求．
同選擇題一樣，這裡僅對特殊值法、構造法、推理法、綜合分析法作一分析．
※直接法
直接求解型試題的特點是必須根據題目中給出的條件，通過數學計算得出正確結論．解決此類問題需要直接從題設條件出發，利用有關性質或結論等，通過巧妙變化，簡化計算過程．解題過程中要靈活地運用相關的運算規律和技巧，合理轉化、巧妙處理已知條件．
【典例1】(2017山東) 已知，是互相垂直的單位向量，若與的夾角為，則實數的值是．
【解析】∵，
，
，解得：．
【典例2】(2016全國Ⅱ)若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，．
【解析】設與和的切點分別為和
．
則切線分別為，，
化簡得，，
依題意，，解得，
從而．
【典例3】設函數是定義在上的奇函數，且對任意都有，當時，，則．
【解析】由是定義在上的奇函數可知，．
由可知，函數是周期為4的周期函數，
所以．
【典例4】橢圓：(a>b>0)的左、右焦點分別為，，焦距為．若直線與橢圓的一個交點滿足∠=2∠，則該橢圓的離心率=．
【解析】直線過點，且傾斜角為60°,所以∠=60°，
從而∠=30°，所以⊥．在Rt△中，，，所以該橢圓的離心率．
【歸納總結】從已知條件入手，運用有關概念、性質、定理、法則和公式等知識解決問題，得出結論．用直接法解填空題，應對教材中的定義及其性質、定理及其推論、公式及其變形熟練掌握，還要做到:快、穩、全、細、回，其中「回」是指解答之後要回顧，即再審題，這是最基本的一個環節，可以避免審題上帶來的某些明顯錯誤．
當已知條件中含有某些不確定的量，但結論唯一或題設條件中提供的信息暗示結果是一個定值時，可以從題中變化的不定量中選取符合條件的恰當的特殊值(特殊函數、特殊角、特殊數列、特殊位置、特殊點、特殊方程、特殊模型等)進行處理，從而得出探求的結論．為保證結果的正確性，一般應多取幾個特例．
【典例1】(2017北京)能夠說明「設，，是任意實數．若，則」是假命題的一組整數，，的值依次為________．
【解析】取，，，滿足，但，不滿足，故「設，，是任意實數．若，則」是假命題的一組整數，，的值依次為．
【典例2】已知函數滿足：，(x，y∈R)，則f(2 018)=．
【解析】令，，則
令，則．
用替換，令，
則
整理，得， ①
同理可得．②
由①+②得，，
所以，
即是以6為周期的周期函數，
於是．
【典例3】在△中，角A、B、C 所對的邊分別為a、b、c，若a、b、c 成等差數列，則．
【解析】由題意，所求數值是一個定值，故可利用滿足條件的直角三角形進行計算． 令a=3，b=4，c=5，則△ABC 為直角三角形，且，，
則．
【典例4】如圖，在△中，點是的中點，過點的直線與直線、分別交於不同的兩點、，若，，則=
【解析】由題意可知，的值與點P、Q 的位置無關，而當直線BC 與直線PQ重合時，則有，所以=2．
【歸納總結】用特殊值法求解僅限於結論只有一種情況的填空題，對開放性的問題或有多種結論的填空題，就不能使用這種方法．
※構造法
在立體幾何中補形構造是最為常用的解題技巧，它能將一般幾何體的有關問題通過補形構造成特殊的幾何體進行求解，此種方法適用於已知幾何體中的長度、角度等部分幾何度量問題．
【典例1】(2017天津)在△ABC中，，AB=3，AC=2．若，
（），且，則的值為．
【解析】以點為坐標原點，的方向為軸正方向，建立平面直角坐標系，不妨假設點在第一象限，則，，．由，得，
由，得，
則，則．
【典例2】(2016北京)某網店統計了連續三天售出商品的種類情況：第一天售出19種商品，第二天售出13種商品，第三天售出18種商品；前兩天都售出的商品有3種，後兩天都售出的商品有4種，則該網店
①第一天售出但第二天未售出的商品有______種；
②這三天售出的商品最少有_______種．
【解析】設第一天售出的商品為集合A，則A中有19個元素，第二天售出的商品為集合B，則B中有13個元素，第三天售出的商品為集合C，則C中有18個元素，由於前兩天都售出的商品有3種，則A∩B中有3個元素，後兩天都售出的商品有4種，則B∩C中有4個元素，所以該網店第一天售出但第二天未售出的商品有19-3=16種，這三天售出的商品種數最少時，第一天和第三天售出的種類重合最多，由於前兩天都售出的商品有3種，後兩天都售出的商品有4種，故第一天和第三天都售出的商品可以有17種，即A∩C中有17個元素，如圖，即這三天售出的商品最少有2 +14 +3+1+9 =29種．
【典例3】設四面體的六條稜的長分別為1，1，1，1，和，且長為的稜與長為的稜異面，則的取值範圍是．
【解析】依題意，構造四面體ABCD，使AB=，CD= 2，AD=AC=BC=BD=1，如圖所示，取CD 的中點E，連接AE，BE．
因為AC=AD=1，CD=，所以．故AC⊥AD．
在等腰直角△ACD 中，E 為斜邊CD 的中點，
所以．同理可得，
因為AE+BE>AB，所以，即0<<．
故的取值範圍是(0，)．
【歸納總結】構造法實質上是轉化與化歸思想在解題中的應用，需要根據已知條件和所要解決的問題確定構造的方向，通過構造新的函數、不等式或數列等新的模型，從而轉化為自己熟悉的問題．
※推理法
【典例1】(2017北京)某學習小組由學生和教師組成，人員構成同時滿足以下三個條件：
（ⅰ）男學生人數多於女學生人數；
（ⅱ）女學生人數多於教師人數；
（ⅲ）教師人數的兩倍多於男學生人數．
①若教師人數為4，則女學生人數的最大值為__________．
②該小組人數的最小值為__________．
【解析】令男學生、女學生、教師人數分別為，且，①若教師人數為4，則，當時，取得最大值6．②當時，，不滿足條件；當時，，不滿足條件；當時，，，，滿足條件．所以該小組人數的最小值為．
【典例2】已知,，若,，
則 的表達式為________．
【解析】由，得，
可得，故可歸納得．
【歸納總結】類比推理法多用於新定義型填空題，起點較高，落點低，只要能讀懂題，認真地歸納、類比即可得出結論．但在推理的過程中要嚴格按照定義的法則或者相關的定理進行，歸納推理和類比推理也要依據自身的推理法則，不能妄加推測．
※綜合分析法
【典例】數列滿足，=2，則=_________．
【解析】將代入，可求得；
再將代入，可求得；
再將代入得；
由此可知數列是一個周期數列，且周期為3，所以．
【歸納總結】對於規律總結型與綜合型的填空題，應從題設的條件出發，通過逐步計算、分析與總結探究其規律性．