彈性碰撞的公式推導

2021-01-20 高中物理每日一題

動碰靜

如圖所示，在光滑水平面上，質量為m1的小球，以速度v1與原來靜止的質量為m2的小球發生對心彈性碰撞，試求碰撞後它們各自的速度？

設碰撞後各自的速度為V1′和V2′，則由機械能守恆和動量守恆可得：

m1V1=m1V1′+m2V2′➡m1(V1-V1′)=m2V2′

m1V12/2=m1V1′2/2+m2V2′2/2➨

m1(V12-V1′2)=m2V2′2

上面兩個推導式子相比（關鍵），可以得到：

V1+V1′=V2′

這個推導式和m1V1=m1V1′+m2V2′聯立就可以比較容易的得出：

V1′=V1（m1-m2）/(m1+m2)

V2′=2m1V1/(m1+m2)

動碰動

如圖所示，在光滑水平面上，質量為m1、m2的兩球發生對心彈性碰撞，碰撞前速度分別為v1和v2，求兩球碰撞後各自的速度？

等效法：我們可以把兩個運動的物體碰撞等效為m2靜止m1運動去碰和m1靜止m2運動去碰，這樣就等效為兩個動碰靜模型了。

設碰撞後m1的速度為V1′，m2的速度為V2′，則由等效我們知道：

V11′=V1（m1-m2）/(m1+m2)

V12′=2m2V2/(m1+m2)

V1′=V11′+V12′=[2V2m2+V1(m1-m2)]/(m1+m2)

同理可得：

V2′=[2V1m1+V2(m2-m1)]/(m1+m2)

1.用輕彈簧相連的質量均為m=2㎏的A、B兩物體都以v=6m/s的速度在光滑的水平地面上運動，彈簧處於原長，質量M = 4㎏的物體C靜止在前方，如圖所示。B與C碰撞後二者粘在一起運動，在以後的運動中，求： 

（1）當彈簧的彈性勢能最大時物體A的速度。

（2）彈性勢能的最大值是多大？

1.如圖所示，在長約100cm一端封閉的玻璃管中注滿清水，水中放一個用紅蠟做成的小圓柱體（小圓柱體恰能在管中勻速上浮），將玻璃管的開口端用膠塞塞緊．然後將玻璃管豎直倒置，在紅蠟塊勻速上浮的同時使玻璃管緊貼黑板面水平向右勻加速移動，你正對黑板面將看到紅蠟塊相對於黑板面的移動軌跡不可能是下面的 （         ）

這是一道速度的合成問題，我們看到的紅蠟燭相對黑板的運動可以看成是蠟塊延豎直方向的勻速運動和玻璃管延水平方向加速運動的和運動，那麼曲線應該是AC裡面選擇了，又由於初始速度豎直向上，即運動軌跡開始的切線方向應該是豎直向上的，所以正確地軌跡應該是C。答案是ABD。


2.如圖，汽車通用跨過定滑輪的輕繩提升物塊A。汽車勻速向右運動，在物塊A到達滑輪之前，關於物塊A，下列說法正確的是 （ ）

A．將豎直向上做勻速運動    

B．將處於超重狀態 

C．將處於失重狀態     

D．將豎直向上先加速後減速

這種連接體的運動合成分解問題關鍵在於找到合速度，比如此題繩上的速度大小是相同的，A物塊速度就是豎直向上，大小隨繩變化，(注意思考車拉物體和物體拉車的區別)。對於車來說，速度V水平向右，勻速，也就是繩連接車處的速度V也是水平向右（合速度），分解為延繩收縮方向的速度V1和垂直繩方向的速度V2，設繩於水平方向夾角為θ，（θ取0到90度）則由矢量運算，易得：V1=Vcosθ，隨著車向右運動，θ變小，V1變大，即物塊A向上加速運動。答案為B。


3.已知河水的流速為v1，小船在靜水中的速度為v2，且v2>v1，圖中用小箭頭表示小船及船頭的指向，則能正確反映小船在最短時間內渡河、最短位移渡河的情景圖示依次是（ ）

A．①②       B．①⑤        C．④⑤        D．②③

這顯然是一道小船過河問題，小船過河有兩種問題：時間最短和位移最短；兩種模型：船速大於水速和船速小於水速。本質是速度的合成，即船速與水速的合速度為實際的運動軌跡。此題V2>V1,最短位移肯定是垂直河岸的，船頭指向上遊側，最短時間不管水速與船速的大小，船頭一定垂直河岸，所以此題答案是B。


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