一、「一動碰一靜」的彈性碰撞公式
問題：如圖1所示，在光滑水平面上，質量為m1的小球，以速度v1與原來靜止的質量為m2的小球發生對心彈性碰撞，試求碰撞後它們各自的速度？
圖1
設碰撞後它們的速度分別為v1＇和v2＇，在彈性碰撞過程中，分別根據動量守恆定律、機械能（動能）守恆定律得：
m1v1=m1v1＇+m2v2＇ ①
②
由① ③
由② ④
由④/③ ⑤
聯立①⑤解得
⑥
⑦
上面⑥⑦式的右邊只有分子不同，但記憶起來容易混。為此可做如下分析：當兩球碰撞至球心相距最近時，兩球達到瞬時的共同速度v共，由動量守恆定律得：
m1v1= （m1+m2） v共
解出v共=m1v1 /（m1+m2）。
而兩球從球心相距最近到分開過程中，球m2繼續受到向前的彈力作用，因此速度會更大，根據對稱可猜想其速度恰好增大一倍即，而這恰好是⑦式，因此⑦式就可上述推理輕鬆記住，⑥式也就不難寫出了。如果⑥式的分子容易寫成m2－m1，則可根據質量m1的桌球以速度v1去碰原來靜止的鉛球m2，碰撞後桌球被反彈回，因此v1＇應當是負的（v1＇<0），故分子寫成m1－m2才行。在「驗證動量守恆定律」的實驗中，要求入射球的質量m1大於被碰球的質量m2，也可由⑥式解釋。因為只有m1>m2，才有v1＇>0。否則，若v1＇<0，即入射球m1返回，由於摩擦，入射球m1再回來時速度已經變小了，不再是原來的v1＇了。
另外，若將上面的⑤式變形可得：，
碰撞前兩球相互靠近的相對速度v1－0等於碰撞後兩球相互分開的相對速度。
由此可輕鬆記住 式。再結合m1v1=m1v1＇+m2v2＇ 式也可很容易解得⑥⑦式。
二、「一動碰一動」的彈性碰撞公式
問題：如圖2所示，在光滑水平面上，質量為m1、m2的兩球發生對心彈性碰撞，碰撞前速度分別為v1和v2，求兩球碰撞後各自的速度？
圖2
設碰撞後速度變為v1＇和v2＇，在彈性碰撞過程中，分別根據動量守恆定律、機械能守恆定律得：
m1v1+m2v2=m1v1＇+m2v2＇ ①
②
由① ③
由② ④
由④/③ ⑤
由③⑤式可以解出
⑥
⑦
要記住上面⑥⑦式更是不容易的，而且推導也很費時間。如果採用下面等效的方法則可輕鬆記住。m1、m2兩球以速度v1和v2發生的對心彈性碰撞，可等效成m1以速度v1去碰靜止的m2球，再同時加上m2球以速度碰靜止的m1球。因此由前面「一動碰一靜」的彈性碰撞公式，可得兩球碰撞後各自的速度+；+，即可得到上面的⑥⑦式。
另外，若將上面的⑤式變形可得：，
碰撞前兩球相互靠近的相對速度v1- v2等於碰撞後兩球相互分開的相對速度。
由此可輕鬆記住式，再結合m1v1+m2v2=m1v1＇+m2v2＇ 式可解得⑥⑦式。
例題：如圖3所示，有大小兩個鋼球，下面一個的質量為m2，上面一個的質量為m1，m2=3m1。它們由地平面上高h處下落。假定大球在和小球碰撞之前，先和地面碰撞反彈再與正下落的小球碰撞，而且所有的碰撞均是彈性的，這兩個球的球心始終在一條豎直線上，則碰後上面m1球將上升的最大高度是多少？
圖3
解法1：
設兩球下落h後的速度大小為v1，則
v12=2gh ①
選向上為正方向，m2球與地面碰撞後以速度v1反彈並與正在以速度－v1下落的m1球發生彈性碰撞，設m1和m2兩球碰撞後瞬間的速度分別變為v1＇和v2＇，在彈性碰撞過程中，分別根據動量守恆定律、機械能（動能）守恆定律得：
m1（－v1）+m2v1=m1v1＇+m2v2＇ ②
③
將m2=3m1代入，得
2v1=v1＇+3v2＇ ④
⑤
由④⑤式消去v2＇得:
即
故解出v1＇=v1（捨去，因為該解就是m1球碰前瞬間的速度）
v1＇=2v1 ⑥
設碰後上面球m1上升的最大高度為h＇，則
0－v1＇2=－2gh＇ ⑦
聯立①⑥⑦式解出h＇=4h。
解法2：
在解法1中，列出②③式後，可根據前面介紹的用等效法得到的「一動碰一動」的彈性碰撞公式，求出m1球碰撞後瞬間的速度v1＇。
選向上為正方向，m1、m2兩球分別以速度－v1和v1發生對心彈性碰撞，可等效成m1以速度－v1去碰靜止的m2球，再同時加上m2球以速度v1碰靜止的m1球。因此m1球碰撞後的速度+
將m2=3m1代入得v1＇=2v1。
以下同解法1。
解法3：
在解法1中，列出②③式後，也可根據前面介紹的用等效法得到的「一動碰一動」的彈性碰撞公式，求出m2球碰撞後瞬間的速度v2＇。
選向上為正方向，m1、m2兩球以速度－v1和v1發生的對心彈性碰撞，可等效成m1以速度－v1去碰靜止的m2球，再同時加上m2球以速度v1碰靜止的m1球。因此碰撞後m2球的速度
+
將m2=3m1代入解得v2＇=0。
從m1球開始下落到m1球上升的最大高度，對m1、m2兩球組成的系統，由能量守恆得：
（m1+m2）gh= m1gh＇
故解出h＇=4h。
解法4：
設兩球下落h後的速度大小為v1，則
v12=2gh ①
選向上為正方向，m2球與地面碰撞後以速度v1反彈並與正在以速度－v1下落的m1球發生彈性碰撞，若以m2球為參考系，則m1球以相對m2球為－2v1的速度去碰靜止的m2球，由「一動碰一靜」的彈性碰撞公式得：
由於碰前m2球對地的具有向上的速度v1，
故碰後m1球對地的速度為：+ v1=2v1。
以下同解法1。
上面的解法1屬於常規的數學解法，求解比較麻煩，用時間也比較長而且容易出錯。而解法2、3、4直接應用巧記得到的彈性碰撞速度公式求解，簡單而不易出錯，是比較好的選擇。