阿堯找到更加簡潔的彈性碰撞末速度表達式

2019年2月26日，周二。阿堯利用中午的時間，仔細研究了本公號昨日推送的《運用質心參考系速解二球對心彈性正碰問題》一文，受推文的啟發，找到了彈性碰撞末速度公式的另一種表達方法，更加便於速記。

一、昨日推文的分析思路

利用質心參考系求解彈性碰撞問題，可以避開複雜的數學運算，表達式具有明顯的物理意義，末速度公式可以達到略加思考就直接書寫的程度。

由於在質心參考系下，系統的動量之和必然為零，相互碰撞的兩球由於是彈性碰撞，碰撞前的靠攏速度必然等於碰撞後的分離速度，且分離速度的大小必然與質量成反比。更為重要的是，兩物體的相對速度與參考系選取無關。

在質心參考系下，易得兩球碰撞後的末速度為

（1）式

由於質心參考系的速度為

（2）式

則兩球在地面參考系下碰撞後的末速度必然為質心參考系速度與兩球在質心參考系下速度的合成，由（1）、（2）兩式可得

（3）式

末速度公式（3）式表面上十分複雜，但卻十分好記。如（4）式所示，二球彈性正碰之後的速度由兩部分組成，第一部分是質心系速度，它等於系統總動量與系統總質量的比；第二部分為質心系下的末速度，兩球質心系下的末速度將相對速度按照質量的反比分配。

（4）式

二、阿堯發現的便於速記的彈性碰撞末速度表達方式

當天晚上，阿堯就有了發現，昨日推文中的的表達式可以進一步優化，優化後的表達式更加簡潔，更加方便速記。

先上結論：

在一維彈性碰撞中，小球碰撞後的末速度為二倍質心速度與其初速度之差。

阿堯指出：設彈性碰撞前A、B兩球的初速度分別為v1和v2，質心參考系速度為vc，則在質心參考系下，兩球的初速度分別為

（5）式

由於在質心參考系中，動量和為零，兩球各自發生等速反彈，速度等值反向，由（5）式得碰撞後的速度為

（6）式

將（6）式轉換到地面參考系中，需要再加上一個質心速度，即

（7）式

對（7）式變形可得

（8）式

由（2）、（8）式可得，地面參考系中兩球彈性碰撞之後的末速度表達式為

（9）式

雖然（9）式表面上也較為複雜，但卻十分好記。如（10）式所示，二球彈性正碰之後的速度由兩部分組成，第一部分是質心速度的二倍，第二部分地面參考系中小球的末速度。

（10）式

檢驗（3）式和（9）式，發現兩式是等價關係。

三、四種速度表達式的易記性對比

第一種形式

第二種形式

第三種形式

第四種形式

顯然，第四種表達方式物理量更少，物理意義更明顯，形式更簡潔，更易記。

四、結論

兩種表達方式相比較而言，第二種思路更為簡便，而且具有明顯的物理意義，無需死記硬背，無需複雜推算，可以直接書寫正確答案。

其實，方法優劣是仁者見仁，智者見智的事情，方法不是最重要的，最重要的是，這是阿堯本人自行推導發現的表達方式，自己理解起來會更透徹，應用起來也更加得心應手。

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