這是《機器學習中的數學基礎》系列的第2篇。
鋪墊在介紹各種「高大上」的名詞之前，我們先來看下向量的幾何意義。現在有一個2維向量w=（2,1），把它畫在坐標軸上就是這個樣子的：
我們可以把它看成是從原點（0，0）出發，終點是（2,1）的一段路徑或者一個箭頭，也可以把向量w抽象為1個點（因為所有的向量都是從原點出發，可以忽略掉路徑），這個點的坐標（2,1）就是它的向量坐標。
接下來我們來看向量加法，用公式表示是這樣子的：
就是把兩個向量對應的元素相加，很容易理解，對吧。那向量加法的幾何意義是什麼呢？假設另一個向量y=（1，-2），我們把w+y畫在坐標軸上：
這次我們用動態的觀點來看w+y：首先我們進行向量w的運動，從O點跑到A點；再進行向量y的運動，從A點跑到D點（我們把向量y從OB平移到了AD），最後向量OD就是w+y的結果了。
思路是有了，那到底該怎麼計算呢？我們把w和y的運動分解成水平方向的運動和垂直方向的運動。那從水平方向上看，w運動了2，y運動了1，一共運動了2+1=3；從垂直方向看，w運動了1，y運動了-2，一共運動了1-2=-1.所以D點的坐標就是（3，-1）。
加法搞定之後，我們再來看乘法。確切地說，是數乘。啥意思呢？就是向量和一個數相乘。我們還是以向量w為例，來看看2w和1/2w的幾何含義：
可以看到，2w就是沿著w的方向把它拉伸了2倍，而1/2w就是沿著w的方向把它壓縮了一半。
精彩的部分來了有了上面長長的鋪墊，神奇的一幕馬上就要發生了！我將用一個公式來理清基、線性組合和向量空間這三個概念。
在此之前，讓我們先平復一下心情，再回過頭來看看向量w（2,1）：
現在，需要一個思維跳躍，我們把w也看成是兩個向量的和。是哪兩個向量的和呢？從上圖中可以看出，w可以被認為先水平運動2個單位，再垂直運動1個單位。所以w是水平方向的向量2i和垂直方向的向量j的和。其中，向量i=（1,0），向量j=（0,1）。因此，w可以表示為：
我們把i，j就叫做構成平面的一組基（可以看出，任意向量都可以由i和j構造）。而2i+j就叫做i和j的一種線性組合。為了更加一般化，我們把i和j的係數分別設為a和b（a、b可取任意值），那麼ai+bj就被叫做i和j的線性組合。從幾何上說，ai+bj所張成（形成）的空間就叫做向量空間，也叫做線性空間。對於二維向量來說，所形成的向量空間就是整個平面。
以上就是全部內容，你都看明白了嗎？有不清楚的地方可以及時評論哦。