人類的眼睛只能通過三種視錐細胞來看到顏色，它們接收紅色、綠色、藍色的光，但通過這三種視錐細胞，我們可以看到數百萬種顏色。除了一個出色的、高效的生物學特徵外，它還說明了線性代數中的一個重要概念：擴張空間。為了直觀地解釋擴張空間，我將給你一個類比，就像我解釋線性相關一樣。
這是用色彩組合來解釋線性代數概念的第二部分。第一部分是關於線性相關的，你可以在這裡讀到用直觀的方法理解抽象的概念——線性相關（線性代數）。
紅色和黃色的跨度
想像你是一個畫家，面前有一張空白畫布的。我遞給你一把畫筆和紅色和黃色兩兩種顏料。你能畫出的所有可能的顏色是什麼？
顯然，你可以把紅色和黃色畫在畫布上。你也可以將不同數量的紅色和黃色結合在一起，創造出橘色。紅色和黃色的確切數量當然取決於你。紅色和黃色顏料的全部組合可以稱為紅色和黃色顏料的跨度（擴張空間）。
在線性代數中，我們用向量代替色彩。然而，我們可以「混合」向量，就像我們混合顏料一樣。向量可以被認為是空間中的坐標，至少對於線性代數來說，創建一個向量的線性組合是非常簡單的。給定一組向量，如v (v_1，v_2，v_3)，線性組合就是將多個v_1，多個v_2和多個v_3相加而得到的向量。確切的倍數可以是我們想要的任何數。向量v_1，v_2和v_3就像紅色，黃色和藍色的顏料，線性組合就是將這些向量混合在一起，以創建一些新向量。
以下是一些線性組合的例子：
v_1（1v_1+ 0v_2+ 0v_3）v_23 v_1+ v_2+ 10 v_3（1/2）v_1-v_2v_3下面是一些非線性組合的例子：
（v_1v_2）+ vv_1^2+ v_32 v_1+ v_2+ v_3+ 8v_1+ v_2+孔子這些線性組合中的每一個都可以認為是c_1v_1+ c _2 v_2 +c_3v_3，其中c是實數。所有這些線性組合的集合稱為（v_1，v_2，v_3）的擴張空間，有時僅寫為Span（v_1，v_2，v_3）。
向量擴張空間
假設在二維空間中有一個向量（數學術語中，可以看作是二維空間，同樣，可以認為三維空間，等等），擴張空間就是這個向量的任意倍數的集合。例如，假設這個向量是v（1,1），那麼這個向量的擴張空間就是span（v）=cv（c為實數），如下圖所示：
v（1,1）的擴張空間就像一條穿過v的直線，粉色線上的每一點都是v的一個有效的線性組合。
如果一個向量擴空間是一條直線，那麼兩個向量張成的空間呢？最明顯的答案可能是一個平面，但答案取決於這些向量是線性相關的還是線性無關的。
線性相關意味著一個向量是另一個向量的線性組合，例如向量（1,2）和向量（3,6）這兩個向量是線性相關的，因為（3,6）是（1,2）的倍數。
因為（3,6）已經是（1,2）的倍數，你可能會注意到這兩個向量的任何線性組合都是(1,2)的不同倍數。例如，（3,6）和（1,2）相加得到（4,8），相當於4乘以（1,2）。所以整個擴張空間看起來是這樣的：
這是一條直線。這兩個線性相關的向量對於擴張空間沒有太大的改變。但是如果我們讓向量線性無關呢？
假設我們有兩個線性無關的向量，v=（0,1），w=（1,0），下面是向量v和w圖示，還有一些v和w的線性組合的例子，很明顯，它們是線性無關的向量。
但是我們想知道這兩個向量的擴張空間，它是v和w的所有線性組合的集合。在任意（x,y）坐標下，取二維平面上的任意一點。它可以表示成v和w的組合嗎？通過嘗試，你會發現平面上每一個點都可以寫成v和w。換句話說span（v,w）就是整個二維空間，或。用下圖的紅色區域表示：
事實上，這個性質對任何向量集合都成立。假設有三個線性相關的向量（v_1，v_2，v_3）,那麼span（v_1，v_2，v_3）=span（v_1，v_2）甚至span（v_1，v_2，v_3）=span（v_1）。另一方面，假設有三個線性無關的向量，那麼span（v_1，v_2，v_3）=^3。如果你有n個線性無關的向量，span（v_1，v_2，v_3……v_n）=^n。
如果向量是線性相關的，那麼擴張空間就相當於我們移去其中一個向量。如果向量是線性無關的，那麼如果移去一個向量，擴張空間就會改變。線性相關向量如紅色、黃色和橙色，而線性無關向量如紅色和黃色。顏色的「擴張空間」，也就是我們可以選擇的顏色的總數，對兩者來說都是一樣的。
擴張空間的重要性
擴張空間的核心是線性代數中的一個非常基本的對象。它只是向量的所有線性組合的集合。但是，擴張空間是線性代數的基本構建塊之一。對擴張空間，基或線性相關性等概念有深刻的了解，可以解開線性代數中更複雜的部分。沒有擴張空間和基，理解「 仿射變換 」或「 正交投影 」就困難得多。線性代數作為數學的一個分支，被用於從機器學習到有機化學的各種領域。更不用說理解這些概念可以幫助你在線性代數課程中取得良好的成績。