這個「不科學」的問題，曾讓大數學家歐拉受到了反駁

在18世紀，科學家成功解釋了行星圍繞太陽的運動，就像當時的英國人約瑟夫·賴特（Joseph Wright）在這幅畫中描繪的那樣。但學者們仍在苦苦思索著這種運動的一個假想特例：一個質點向著引力中心（也是質點）的下落運動。

現在，科學家對「奇點」已經習以為常，他們知道，這些點是自己的理論不再適用的地方。但18 世紀的學者尚未意識到這一點，在探討經典力學中一個非常簡單的問題時，他們也遭遇了一個奇點。為了解決這個經典力學框架下實際上無法解決的問題，包括大數學家歐拉在內的學者們想出了一些稀奇古怪的方法，得出了十分荒謬的結論。科學家花費了一個世紀才認識到這種研究是徒勞的：在奇點，理論遭遇了其極限。

撰文 |雅克·加帕亞爾（Jacques Gapaillard）

翻譯 |鄧藝杭

在天體物理學中，黑洞是一個極為緻密的時空區域，沒有物質能從中逃逸，甚至連光都不行。這些特殊的天體代表了時空的奇點，它們是引力的數學理論——廣義相對論無法描述的區域。奇點存在於許多數學領域中，我們在研究曲線和曲面、複變函數以及微分方程時常會遇到它們。如今，科學家知道奇點通常是超出他們的理論適用範圍的。但過去並非如此，科學家最初遭遇奇點時，甚至給出了一些基於不合理論證的奇怪解決方案。18世紀時，著名數學家讓·勒朗·達朗貝爾（Jean Le Rond D'Alembert）和萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）在研究經典理論力學的一個簡單問題時就遇到了奇點，這類似於一維空間中的一個點狀黑洞，他們沒有想到這個奇點會帶來多大的困難。

棘手的問題

這個問題考慮的是一個質點向另一個質點下落的情況。在經典力學（也叫做牛頓力學）中，為了方便，我們往往藉助假想的質點來考慮問題，即一個具有質量的幾何點（沒有體積或形狀）。根據牛頓引力定律，空間中一個固定位置O（即引力中心）上的質點，對另一個與之相距r的質點P施加的引力與r²成反比。在r ≠ 0的情況下，這一點是成立的。但當r變為0時，質點P受到的引力就無法定義了，因此對於點P來說，點O便是奇點所在的位置。

在這裡，引力中心O被視為抽象的純粹幾何點，這個點上不存在任何物質實體。這是一種真實世界中不可能存在的情況。但這不妨礙我們考慮這樣一個數學問題：質點P在O的引力（反比於r²）作用下是如何運動的。

對於這種條件下的質點運動，牛頓在《自然哲學的數學原理》中已經給出了一個模型：假設在某個給定時刻，質點P在O點之外運動，速度不為0且不在直線OP方向上，那麼點P將會沿拋物線或雙曲線運動，或者以橢圓軌道圍繞O旋轉，就像那些繞太陽公轉的行星那樣，並且這三種圓錐曲線的焦點都在O上。但真正讓學者困擾的情況是，當質點P在質點O以外以0初速度釋放時，它會直接落向點O。計算顯示，點P會在有限時間內到達點O，此時它的速度會增加到無窮大。

這之後呢？點P到達點O之後會發生什麼呢？一方面，P似乎只能越過點O沿著這條直線繼續運動，因為它此時運動速度極快。還有什麼能比無窮大的速度更快呢？另一方面，隨著點P不斷接近點O，它受到點O的引力不斷增大。到點P達到點O時，引力會增長至無窮大，這時點P就無法從點O逃逸出來。那麼，無窮大的速度和並不亞於它的引力，哪一個會佔據上風呢？

經典力學領域的權威專家保羅·阿佩爾（Paul Appell）用他自己的方法解決了這個問題。在他的《經典力學教程》（Cours de mécanique rationnelle，1888），還有後來著名的《經典力學》（Traité de mécanique rationnelle，1893）中，他給了一個解釋，指出質點P是不可能到達引力中心的，因為「這個運動物體接近點O時，速度無限增加，這顯然是無法實現的：在這兩個物體距離為0之前，它們會先發生碰撞。」但是這一解釋根本沒有回答上文提出的那個純粹理論問題。我們都知道，在這個問題裡，引力中心僅僅是一個幾何學上的點。

達朗貝爾的答案

當時法國最偉大的數學家達朗貝爾，在他的《數學手冊》（Opuscules mathématiques，1780）第七卷中論述了這一棘手的問題：「很顯然，（質點P）會越過（引力中心），並不斷遠離，直到它與點O間的距離與它開始運動時的距離相等。之後，它將重複這個過程，不斷振蕩。」也就是說，運動物體P會在直線方向上以引力中心點O為中心來回振蕩。實際上，達朗貝爾剛接觸到該問題，就立刻毫不遲疑地得出了這樣的結論：運動物體將會越過引力中心繼續沿直線運動。他只從動力學方面考慮，由於物體在點O獲得無窮大的速度，這個運動必將持續下去。但他沒有考慮到，在點O，引力也會增加到無窮大。

讓·勒朗·達朗貝爾認為，在點A釋放的質點受到引力中心O的吸引而運動時，會穿過點O，繼續運動到點A關於點O的對稱點A'，然後再掉頭回來，在點A和點A'之間來回振蕩。

在1780年出版的著作中，達朗貝爾給出了質點振蕩這個答案，但在同一本書中他也介紹了歐拉得出的另一個答案。歐拉，這位18世紀最著名的瑞士數學家先於他的法國同行，得出了一個達朗貝爾本身沒有想到，但也不信服的結論。後者在書中寫道：「歐拉先生在《力學》（Mécanique）一書中提出，一個直接落向（加速中心O點）的物體，當中心對它的作用力與距離的平方成反比時，會在到達（O）後原路返回。但很顯然，這位偉大的幾何學家在這點上是錯誤的。」

毫無疑問，當時與歐拉關係疏遠的達朗貝爾很樂於否定歐拉的結果，他稱這個結論很荒謬。歐拉是怎樣得出這個結論的，確實讓人好奇，因它太反直覺了，竟然認為物體會在速度無窮大時突然掉頭。這個結論沒有考慮兩個引起爭議的無窮大量，不論是質點P在點O時沿下落方向的速度，還是它在這點受到的引力。

歐拉的奇特結論

藉助牛頓曾經用過的方法，歐拉在用拉丁語編寫的《力學》（Mechanica，1736）的第一卷中探討了這一問題。首先，他假設在初始時刻，質點P位於點A，且有一個垂直於OA方向的初速度VA，因此它的移動軌跡將會是一個橢圓，長軸為AA'，O是其中一個焦點。之後，歐拉假設垂直於OA的速度VA不斷減小直到零。這樣，橢圓就會不斷變扁，同時點A'會不斷接近點O，當VA減為零時，橢圓會與線段OA重合。

萊昂哈德·歐拉提出了一個與達朗貝爾不同的結論：他首先設想質點有一個垂直於OA且不為0的速度VA，因此它的運動軌跡會是一個焦點為O，長軸為AA'的橢圓。接著，他減小速度VA，直到它變成0，這樣橢圓就會不斷變扁，這時，點A'就會不斷接近點O。當橢圓扁到極限時，橢圓軌道上的運動就會變為點A和點O之間來回的直線運動，完全不一樣了。

通過把軌道的幾何形狀和點P的運動速度推向極限，歐拉得到了這個奇特的結論。當然，他這個取極限的方法也沒什麼根據。而且就像達朗貝爾那樣，歐拉也設定O是抽象的幾何點，沒有任何實在物體，而要有個物體的話，至少在某種程度上能夠證明點P回彈是合理的。此外，這個解釋顯然給引力中心賦予了一種斥力，一些牛頓力學的反對者指責橢圓運動中也存在這樣的悖論。他們不理解，為什麼每顆行星都會花費一半的時間遠離吸引著它的太陽。

拉普拉斯：模稜兩可的調和

像歐拉和達朗貝爾這樣兩個當時最傑出的理論學者，卻在這樣一個看起來十分普通的力學問題上得出了相反的結論。顯然，這個問題並不簡單。但毫無疑問，他們的後輩很快會嘗試終結這場科學爭論。1799年，皮埃爾·西蒙·拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace），這位世紀之交的重要數學家在他的《天體物理》（Traité de mécanique céleste）一書中闡述了他的觀點。

拉普拉斯先是回顧了不斷壓扁橢圓，通過取極限來計算物體落向引力中心的運動規律的方法。接下來，他強調：「朝向焦點的橢圓運動（原文如此）與被壓扁到極限的橢圓軌道上的運動有著本質的區別。在前一種情況下，物體會越過焦點，然後會飛到和起始位置同樣遠的地方；後一種情況下，物體會經過焦點，然後回到起始點。若在遠日點（點A），物體具有一個運動軌跡切線方向的速度，不管這個速度多小，它都會引起這種差異。但這種差異不會影響物體抵達焦點所用的時間。」

不論是原文，還是把筆誤「橢圓運動」更正為「直線運動」之後，這段話都顯得十分模糊。靠著不指名道姓地宣稱達朗貝爾（前一種情況）和歐拉（後一種情況）都是對的，拉普拉斯似乎完成了一個壯舉，調和了不可調和的矛盾。實際上，雖然他對達朗貝爾的結論沒有任何異議，但是他使用了歐拉的證明方式。他引入了無窮扁的橢圓這一有趣的概念，意思就是說，這是一種我們能想像到的最扁的橢圓，但它沒有徹底變扁，沒有變成歐拉所說的線段。拉普拉斯始終在他的言論中保持著一種模稜兩可，他說「物體達到焦點」，但嚴格來說物體不會經過焦點，因為它的軌跡是一個橢圓。最後，這個驚人的言論雖然有明顯的筆誤，但是人們認為他與達朗貝爾的觀點是一致的，後者的結論在很長時間內都是主流觀點。

在《數學史》（Histoire des mathématiques，1758）的第二卷中，讓·艾蒂安·蒙蒂克拉（Jean-Étienne Montucla）也對質點P向引力中心點O直線運動的問題進行了研究。他提到了牛頓，但沒有提及歐拉，他也認為這種運動是一種極限情況下的橢圓運動，並總結道：「物體不會越過（引力中心）。」但是又他補充道：「我們也能確定它不會回頭。因為沒有任何能讓它反向運動的因素。」蒙蒂克拉明確地反對了歐拉的結論，但是他也早就表達了對達朗貝爾結論的反對，因為在他看來，到達點O的質點P會停在那裡。

這個令人意想不到的觀點，甚至比歐拉的觀點更讓人困擾，因為這意味著要在瞬間消除一個理論上無窮大的速度。實際上，蒙蒂克拉發現，假設與點O相距r的點P在一個與r2成反比的力f的作用下，不斷靠近點O，那麼當r趨近於0時，它的速度V會比這個力f增長得慢。因為，這個速度僅與r成反比。最後這一步論證是錯誤的，因為速度V實際上近似地與√r成反比。不過這一修正並不影響蒙蒂克拉的結論，也就是說，在點O無窮大的引力和速度的較量中，引力佔據了上風。我們猜測，在蒙蒂克拉的時代，很少有人能夠接受這種可能。然而，在隨後的一個世紀他的結論被再次提起，依據是點P經過點O後速度變成了虛數，不過這一論證也被用來支持歐拉的結論，結果這個虛數速度是虛假的，因為計算出了錯。

點狀黑洞

這些理論討論一直乏人關心，因為引力作用下的直線運動，在天文學上沒什麼實際應用價值，所以力學研究者並不放在心上，更別說這個物體落到引力中心的純理論問題了。所以這個問題的最終答案很晚才被揭開，直到1930年，保羅·潘勒韋（Paul Painlevé）才在《巴黎綜合理工大學力學教程》（Cours de mécanique professé à l』École polytechnique）的第一卷中做出解釋。

對於以無窮大的速度到達引力中心的運動質點，他指出，在這一瞬間之後，「問題就無法繼續討論下去了。」他沒有像蒙蒂克拉那樣嘗試用數學方法證明質點會停止在引力中心，儘管後者看似在所有人之前找到了正確答案。質點會停止本身就是力學理論的一部分，而潘勒韋宣稱在動點到達引力中心之後，經典力學就無能為力了。對於這一問題，點必須在引力中心停止，而所有對於此後運動情況的猜測都不具有科學價值。

歐拉和達朗貝爾並沒有預見到這樣的結果，但要知道的是，即便到了潘勒韋的時代，稱霸了兩個世紀的牛頓力學在20世紀初遭到了相對論的挑戰後，人們依然很難相信牛頓力學在預測運動質點到達引力中心後的情況時是無能為力的。

經典力學無法預測引力中心會發生什麼的確切原因在於，它不允許質點的軌跡穿過一個速度和受力都無法定義（例如無窮大）的點。因為這一點上的數據有問題，不能充當確定質點之後運動軌跡的初始條件。經典力學的有效性並沒有什麼問題。前文提到的保羅·阿佩爾對這個問題的解釋，其實就是說，這個長久以來的「棘手的問題」，幾乎沒有困擾過力學家們，因為這已經超出了力學實際應用的範疇。在理性力學中，自由下落的質點的運動必然會停在這個奇點上，這個點就像一個點狀的黑洞，最終會「吸收」掉這個質點。

這樣一個純粹數學上的黑洞似乎與現代天體物理學關注的黑洞相去甚遠。牛頓力學體系下，18世紀時就有人預言了後者的存在，最著名的就是拉普拉斯在《宇宙系統論》（Exposition du système du monde，1796）第二卷中的預測。天體物理學中的黑洞通常很大，例如恆星轉化成的那些。它們甚至可能十分巨大，比如那些存在於星系中心的超大質量黑洞。但天體物理學也考慮到可能存在近乎點狀的黑洞，比如那些可能出現在宇宙誕生瞬間、具有量子特性的原初微型黑洞。

事實上，問題的關鍵在於如何理解這些奇點。質點以無窮大的速度到達引力中心，在那裡迎來了數學上的終結。18世紀的學者們沒有意識到，他們預測質點之後的運動，是在試圖讓質點重生。現在，不論遇到巨大的還是點狀的黑洞，科學家都知道他們的理論到了極限。如果有人想要知道黑洞的內部發生什麼，或是探究宇宙的誕生，他一定需要新的理論。

本文作者：雅克·加帕亞爾是法國南特大學榮譽教授，教授數學和天文學史。