彭羅斯：數學家得了物理學獎

廣義相對論是一個高度幾何化的理論，因此彭羅斯大量採用了拓撲幾何的手段來進行研究。

2020年10月6日，瑞典皇家科學院宣布了2020年諾貝爾物理學獎的得主。英國數學物理學家羅傑·彭羅斯由於「發現黑洞的形成是廣義相對論的堅實預言」獲得了一半獎金；德國天體物理學家賴因哈德·根策爾和美國天文學家安德烈婭·蓋茲則由於「在我們星系中心發現超大質量緻密天體」分享了另一半獎金。

這兩項獲獎研究都是關於黑洞的，前者是純理論研究，後者是觀測，可謂相得益彰。在本文中，我們將對前者作一個簡短介紹。

黑洞概念

作為背景，我們先介紹一下「黑洞」這個概念。這個概念的起源常被回溯到英國地質學家約翰·米歇爾。1783年，米歇爾在牛頓萬有引力定律的基礎上得到了一個如今中學生也能推導得出的結果，即一個密度跟太陽一樣的星球若直徑比太陽大幾百倍，引力就會強大到連光也無法從它的表面逃逸（從而看上去將是「黑」的）。1796年，法國數學家皮埃爾-西蒙·拉普拉斯也得到了同樣結果。這些結果通常被視為黑洞概念的萌芽。

不過，米歇爾和拉普拉斯的黑洞跟我們如今所說的廣義相對論中的黑洞除在「半徑」這一參數上恰好相同外，其實鮮有共同之處。比方說，前者的「黑」只是光無法逃逸到遠處，但在近處仍可看到，後者則不然；甚至就連所謂「恰好相同」的「半徑」這一參數，彼此的含義也完全不同，前者是從黑洞中心到表面的距離，後者則不具有這樣的意義，而只是視界（下文將會介紹這一概念）周長除以2π的簡稱（這在廣義相對論中跟前者不是一回事）。至於各種微妙得多的其他特性，則更是廣義相對論中的黑洞（以下將簡稱為「黑洞」）所獨有的。因此，彭羅斯就曾說過，「黑洞的概念實際上只能從廣義相對論的特殊性質裡得出，而並不出現在牛頓理論中。」

施瓦西解

那麼，黑洞的概念是如何「從廣義相對論的特殊性質裡得出」的呢？這得回溯到1916年1月。那時距愛因斯坦提出廣義相對論雖才不到兩個月，一位名叫卡爾·施瓦西的德國物理學家就得到了廣義相對論的一個嚴格解——如今被稱為施瓦西解。

施瓦西解描述的是一種球對稱的時空，它有兩個非常引人注目的特點——都表現為「0」出現在分母上，從而使數學表達式失去意義：其中一個出現在球對稱的中心處，另一個則出現在一個球面上，這個球面的半徑被稱為「施瓦西半徑」。在經過很長時間的研究後，物理學家們才逐漸理解了這兩個特點的真正含義：其中前者被稱為「奇點」，具有諸如時空無限彎曲之類的「病態」性質，並且會讓物理定律失效；後者則被稱為「事件視界」，簡稱「視界」，它雖然一度也被視為奇點，實際上卻只是施瓦西所用的特定坐標的缺陷。

奇點和視界是黑洞的兩個主要特徵，因此施瓦西解的問世在一定意義上可視為廣義相對論對黑洞的最早預言。但這種預言只說明了廣義相對論原則上可以描述黑洞的主要特徵，可以允許奇點和視界那樣的東西，卻並不能告訴我們實際上是否會有任何物理過程真正產生出那樣的東西。如果沒有，則所謂「原則上可以」依然不過是鏡花水月。

那麼，實際上到底有沒有什麼物理過程能產生黑洞呢？1939年，美國物理學家羅伯特·奧本海默及其學生哈特蘭·辛德的一項研究向著回答這一問題邁出了重要一步。

奧本海默和辛德研究了恆星在耗盡核燃料（從而不再有輻射壓來抗衡引力）之後的坍塌過程，結果發現，對遠方的觀測者來說，當恆星坍塌到接近視界時，從恆星表面發出的光的波長會變得越來越長，坍塌過程會顯得越來越慢，直至「凍結」。由於這個奇異的效應，黑洞有一個早期的名字叫作「凍結星」。但這個效應並不說明黑洞無法形成，而只是如同一盒放了一半就慢慢停下的錄像帶，使人無法看到結局，卻並不意味著結局沒有發生。更何況，奧本海默和辛德同時還發現，對跟隨恆星一同坍塌的觀測者來說，坍塌會毫不停滯地穿越視界，並且在有限時間內產生奇點，從而顯示出黑洞是可以形成的。

有了這些研究，是不是可以認為黑洞的形成已經是廣義相對論的預言了呢？還不能。因為無論施瓦西解還是奧本海默和辛德的研究，都依賴於一個在現實世界裡無法嚴格實現的對稱性——球對稱性。

更糟糕的是，由於廣義相對論是一個非常複雜的理論，對稱性對當時幾乎所有的同類研究都是必不可少的。比如紐西蘭數學家羅伊·克爾於1963年得到了廣義相對論的一個描述旋轉黑洞的解——被稱為克爾解，這個解比施瓦西解普遍得多，卻也依賴於一種對稱性——軸對稱性。雖然恆星大都接近軸對稱甚至球對稱，卻絕不可能是嚴格軸對稱或球對稱的。類似地，廣義相對論的很多宇宙學解也依賴於對稱性——比如均勻及各向同性。這些對稱性在現實世界裡都是無法嚴格實現的。

蘇聯學派

通常來說，物理學家們是不會在對稱性無法嚴格實現這一點上吹毛求疵的，因為對稱性是他們研究現實世界最有力的工具，說是朋友亦不為過。但黑洞的形成是一個例外，因為如前所述，黑洞的主要特徵之一乃是奇點，而奇點會讓物理定律失效。由於物理定律是物理學家們的「吃飯家什」，面對物理定律失效那樣的嚴重後果，就連對稱性這位朋友也變得可以捨棄了。

因此，很多物理學家將問題歸因於對稱性，認為奇點是不存在的，所有貌似能產生奇點和黑洞的過程都是因為引進了對稱性，只要捨棄對稱性，奇點和黑洞就能被「消滅」——即不會形成。持這種觀點的代表人物是蘇聯物理學家E. M. 慄弗席茲和I. M. 卡拉特尼科夫等人——姑且稱之為「蘇聯學派」。

20世紀60年代初，「蘇聯學派」在捨棄對稱性的情形下對廣義相對論進行了深入研究，試圖證明奇點不會形成。他們甚至一度以為自己完成了證明，將之寫入了列夫·朗道與慄弗席茲合撰的名著《理論物理教程》中。而自施瓦西解問世以來，出於其他種種考慮，對奇點和黑洞的存在持懷疑態度的物理學家則為數更多，其中包括了愛因斯坦本人。

學數學的彭羅斯

正是在這種背景下，彭羅斯——據他自己回憶——於1964年秋天（時年33歲）實質性地介入了黑洞研究。

美國物理學家基普·索恩曾經講述過一些彭羅斯年輕時的趣事，我們分享一則作為對其人的介紹。彭羅斯父母的職業領域都跟醫學有關（父親是人類遺傳學教授，母親是醫生），也因此，他們希望自己的四個孩子中起碼有一人能以醫學為職業。但是等到彭羅斯選擇專業時，他的兩個兄弟一個已選了物理（後來成為了知名的統計物理學家），一個已選了西洋棋（後來獲得過十次英國冠軍），他妹妹還太小，他自己想選的則是數學。眼看著「起碼有一人能以醫學為職業」的希望就要落空，彭羅斯父母對他的專業選擇進行了幹預。在彭羅斯父親的要求下，他所報考的大學對他進行了一次特殊的數學能力測試。測試總計有12道題，普通學生能做出一兩道就算不錯，而彭羅斯12道全做對了。這樣他就從父母那裡贏得了學數學的「許可證」。（順便說一下，彭羅斯那位當時還太小的妹妹後來終於當了醫生，圓了父母的希望。）

作為數學系學生的彭羅斯於1957年以一項幾何領域的研究獲得了數學博士學位。但早在拿到學位之前，他就因為聽了英國天體物理學家弗雷德·霍伊爾的廣播講座，以及與英國物理學家丹尼斯·夏馬相識，而對天文和物理也產生了興趣。霍伊爾是當時流行的宇宙模型之一「穩恆態模型」的主要支持者，夏馬對之亦有所涉獵。受他們影響，彭羅斯對穩恆態模型也進行了研究。此外，跟夏馬的相識還為他後來跟史蒂芬·霍金的合作埋下了伏筆——因為霍金的博士生導師正是夏馬。

穩恆態模型是一個很快就失敗了的宇宙模型，於20世紀60年代被多數天文學家所放棄。在那之前，它雖然流行，卻也已面臨一些問題。由於穩恆態模型也依賴於對稱性，因此跟奇點的情形相類似，穩恆態模型的一些支持者也將問題歸因於對稱性，只不過努力的方向正好相反，是希望通過捨棄對稱性來「挽救」穩恆態模型。受這種希望影響，彭羅斯也在捨棄對稱性的情形下對穩恆態模型進行了研究，結果卻並未發現實質差別——也就是說穩恆態模型的問題無論有沒有對稱性都依然存在。這段經歷對彭羅斯後來的黑洞研究有很大的啟示，因為它顯示了捨棄對稱性未必能起到人們所希望的作用。既然如此，那麼會不會無論對稱性存在與否，奇點都依然存在呢？這種考慮使彭羅斯後來的黑洞研究與「蘇聯學派」截然不同。

介入黑洞

1964年秋天，彭羅斯開始實質性地介入黑洞研究。誘使他介入的是前一年——也即1963年——剛剛發現的一種奇異天體，這種很快被稱為「類星體」的天體比星系還「亮」得多，線度卻只有星系的百萬分之一（因而看上去類似於星星——「類星體」之名由此而來），從而必然包含了高度緻密的結構。

初步的分析表明，這種「類星體」最有可能的「發光機制」是一個巨型黑洞吞噬包括恆星在內的物質（物質在被吞噬之前會發射出強烈的輻射）。這個對黑洞存在構成某種支持的新發現，以及上文提到的由研究穩恆態模型得來的啟示，使彭羅斯從一個與「蘇聯學派」相反的目標介入了黑洞研究——即試圖在不依賴於對稱性的情形下探究奇點形成的普遍性（而不是試圖證明奇點不會形成）。

彭羅斯的研究不僅目標與「蘇聯學派」相反，手段也截然不同。「蘇聯學派」的研究偏於例證，致力的是在捨棄對稱性的情形下求解廣義相對論，以便尋找奇點不會形成的例子；而彭羅斯由於探究的是奇點形成的普遍性，而非具體的例子，故而並不致力於求解廣義相對論。既然不求解廣義相對論，那麼諸如星球的形狀、大小等等因素也就都不重要了。

由於廣義相對論是一個高度幾何化的理論，奇點的形成則是時空性質方面的一個高度幾何化的問題。熟悉數學的人都知道，在幾何問題中，如果形狀、大小等等因素都不重要，那麼剩下的就是所謂拓撲性質了。因此彭羅斯的研究大量採用了拓撲手段——他自己稱之為「光線拓撲學」，這恰好也是他作為數學家——而且是以幾何領域的研究獲得博士學位的數學家——的強項。

靈感降臨

目標雖已確定，手段雖屬強項，對奇點的研究依然很是艱深，需要一定的靈感。彭羅斯後來記敘過他在這一研究中的一個重要靈感的由來。那是在1964年晚秋，他開始探究奇點問題之後不久的某一天，彭羅斯與數學物理學家艾弗·羅賓遜一邊走在街上，一邊討論著問題（那問題與奇點和黑洞並無關係）。在穿越一個路口時，他們遇到紅燈停了下來——並且也暫停了討論，就在那短短的間歇裡，證明奇點定理的一個重要靈感出現了。那天晚些時候，彭羅斯在辦公室裡細細回想自己的思路，終於將那個靈感清晰地「發掘」了出來。

藉助那個靈感，經過幾個月的努力，彭羅斯證明了一個重要的結果——是如今被稱為「奇點定理」的一大類定理中最早的一個，以「引力坍塌和時空奇點」為題發表於1965年。簡單地說，彭羅斯的奇點定理包含這樣幾個組成部分——也是之後所有其他奇點定理的基本結構：首先是假定物質具有一定的性質，其次是對時空本身施加一定的要求，最後是假定物質分布滿足一定的條件；在這三類前提之下，彭羅斯證明了奇點的形成是普遍而必然的——尤其是，不依賴於對稱性。

彭羅斯並不是最早採用拓撲手段研究時空結構的人。比他早十幾年，兩位蘇聯數學家就在這方面展開了研究，且發展出了一套強大而漂亮的方法。可惜的是，這兩位數學家後來一位職位高升（擔任了行政領導，將越來越多的時間花在了行政事務上），另一位鋃鐺入獄（被打成了「反蘇維埃集團」的成員），最終都停止了這一方向的研究，也並未產生影響。彭羅斯的研究則不同，不僅得到了漂亮的結果，而且很快引起了關注。

大論戰

就在彭羅斯證明奇點定理的那一年——即1965年，「第三屆國際廣義相對論與引力大會」在英國倫敦召開。這屆會議聚集了全世界最頂尖的廣義相對論專家，就連「蘇聯學派」的慄弗席茲和卡拉特尼科夫也跨越「冷戰」鴻溝來到倫敦，報告了他們本質上是否定性的奇點研究。這次會議也因此成為了彭羅斯的奇點定理與「蘇聯學派」的否定結果之間的首次「碰撞」。

「碰撞」雖未即刻分出勝負，但彭羅斯的研究吸引了幾位在幾何和拓撲上有深厚功底的年輕物理學家的興趣，其中包括夏馬的研究生霍金——他當時也在研究奇點，只不過研究的是宇宙學奇點而非黑洞奇點；以及與霍金同齡的美國理論物理學家羅伯特·傑羅奇。之後的幾年間，彭羅斯、霍金、傑羅奇等人在各種不同的前提下，輪番證明了更多的奇點定理，使奇點定理及奇點和黑洞的存在獲得了越來越多的認同。

這種認同終於撼動了「蘇聯學派」。

1969年9月，美國物理學家索恩訪問了蘇聯。趁這個機會，慄弗席茲交給索恩一份手稿，讓他秘密帶到美國去發表（因為——據索恩記敘——當時蘇聯的一切學術手稿被自動視為秘密文件，非經冗長的解密審核不能與國際同行交流）。在那份手稿裡，「蘇聯學派」承認了他們對奇點的否定是錯誤的，並表示會對《理論物理教程》作出修訂。

與霍金合作

「蘇聯學派」的認錯掃清了對奇點和黑洞存在的主要懷疑。但彭羅斯的奇點定理本身卻仍有一些不足之處。

這不足之處體現在前提上。如前所述，奇點定理的前提共分三類，這其中物質具有的性質本質上只是能量密度不能為負，這在廣義相對論所屬的經典物理裡是沒有爭議的；物質分布滿足的條件在諸如大質量恆星的坍塌過程中是可以實現的，因而也沒什麼問題；但對時空本身施加的要求則顯得太強。事實上，這個要求——具體地說，是要求時空中存在一個所謂的柯西超曲面——是如此之強，不僅極不可能被觀測所證實，理論上也大有爭議，甚至彭羅斯本人在與奇點定理幾乎同時發表的另一篇論文中就包含了一個反例。

這個不足之處彭羅斯自己，以及步他後塵研究奇點定理的霍金和傑羅奇也都知道。比如霍金在自傳中就曾表示，彭羅斯以及他自己的早期奇點定理所證明的有可能只是柯西超曲面的不存在，而非奇點和黑洞的存在；彭羅斯本人也在後續研究中承認，在廣義相對論中假定柯西超曲面的存在是缺乏理由的。奇點定理之所以會成為一大類定理，很大程度上正是為了消除前提上的不足之處。在1965年之後的那些奇點定理中，彭羅斯、霍金、傑羅奇等人嘗試變通的主要就是定理的前提。

最終，彭羅斯與霍金合作，於1970年發表了一篇題為「引力坍塌及宇宙學中的奇點」的論文，提出了如今被稱為「霍金-彭羅斯奇點定理」的新「版本」。這個「版本」用更有經驗基礎、從而物理上更現實的前提表述了奇點定理，且同時涵蓋了黑洞奇點和宇宙學奇點。

學過邏輯的人都知道，一個邏輯推理要想確保結論正確，不僅推理必須嚴密，前提也必須成立。完全類似的，一個描述物理世界的定理的堅實性不僅取決於推理的嚴密性，也有賴於前提的現實性，兩者缺一不可。從這個意義上講，「霍金-彭羅斯奇點定理」由於前提更現實，結論也就更堅實。在所有奇點定理中，若問哪一個最稱得上「發現黑洞的形成是廣義相對論的堅實預言」，答案非「霍金-彭羅斯奇點定理」莫屬。

數學定理

值得指出的是，彭羅斯的這一黑洞研究跟獲得諾貝爾物理學獎的其他研究，乃至絕大多數其他物理研究相比，有一個非常獨特的地方，那就是它遠比那些其他研究更接近於純數學的定理——只不過是以廣義相對論為框架而已。

這是因為，彭羅斯的這一黑洞研究只是替廣義相對論作出了一個「堅實預言」——那預言無論被推翻還是證實，影響的都是廣義相對論而不是彭羅斯的研究，後者的正確性只取決於它的數學推理的正確性。2020年的諾貝爾物理學獎被一些人戲稱為是天文研究獲得了物理學獎，但實際上，彭羅斯的這一半更可以說是數學研究獲得了物理學獎。天文研究獲得物理學獎早已屢見不鮮，數學研究獲得物理學獎則幾乎是開先河的。

南方周末特約撰稿 盧昌海