設x、y是直角三角形的兩條直角邊長，z是斜邊長，根據勾股定理，必有x2+y2=z2.這裡x、y、z，可以是任意實數，當然要滿足如上等式. 如果x、y、限定必須是自然數，我們把滿足勾股定理的這樣一組數叫做一個勾股數組。
我們常見的勾股數有3、4、5；5,12,13；7,24,25；8,15,17；9、40、41。
如果a，b，c為一組勾股數，則na，nb，nc也是一組勾股數，其中n為自然數。例如3，4，5是一組勾股數，那麼6，8，10也是一組勾股數9，12，15也是一組勾股數。而普林頓322裡面出現的較大的勾股數除去是常見的勾股數的倍數外，其他一些數據是怎麼得來的呢？到底存在多少組勾股數呢？
探尋「勾股數」
在西方，提出求勾股數組式子的是畢達哥拉斯。他提出了如下求勾股數組的式子：
這組公式可以求出不少勾股數組，但是局限性很大。後來古希臘著名學者柏拉圖（Platon，公元前427-前347）了類似式子。他們的式子均不能給出全部勾股數組.例如8、15、17三數不在式子之中，但卻是一組勻股數組.
再後來，古希臘數學家丟番圖（Diophantus，約250-約334）給出了如下一組公式：
利用這一組公式算得前面的幾組勾股數組如下表：
他的功績在於，這組公式能求出全部勾股數組.
和丟番圖同時代的我國數學家劉徽（約225一約295），在數學上的主要成就是為《九章算術》做註解，於公元263年成書，名《九章算術注》.他曾用幾何方法找到了如下求勾股數組的公式，就載於該書中：
這是迄今為止求勾股數組最完美的公式組之一。
美國哥倫比亞大學普林斯頓收藏館收藏了一塊很古怪的泥板，這款泥板是在巴比倫挖掘出來的，編號322，考古學家相信這塊泥板是公元前18世紀的成品，泥板上有三列文字，沒有人能解釋，直至1945年，Neugebauer和Sachs經過細心考究，發現泥板上是三列數字，你知道這些數字間的關係嗎？藉助計算器進行探索。
對於古巴比倫人手稿，據考證，其年代遠在中國商高和古希臘畢達哥拉斯之前，大致在公元前1900年到公元前1600年之間.手稿列出了以下15組勾股數：
其數之大和年代之早令人難以置信.如果是確實的，說明古巴比倫人的燦爛文化，在此方面先於他國.這或許是一個難以考證的千古之謎。
如何構造勾股數？
用現代數學知識，構造勾股數，就要尋找3個正整數，使它滿足「兩個數的平方和（或差）等於第三個數的平方」，既滿足以下形式：
我們可以從乘法公式的變形入手。我們知道：
如何記憶呢？
規律一：在勾股數（3，4，5）、（5，12，13）、（7，24，25）、（9，40，41）中我們發現：在一組勾股數中，當最小邊是奇數時，它的平方剛好是另外兩個連續正整數的和。
我們還總結出來一個方便理解和記憶的方法：在一組勾股數中，若第一個數是奇數，則另外兩個數，一個數是它的平方減1的一半，一個數是它的平方加1的一半。
這是最經典的一個套路，而且由於兩個連續自然數必然互質，所以用這個套路得到的勾股數組全部都是互質的。
規律二：在勾股數（6，8，10）、（8，15，17）、（10，24，26）中我們發現：
在一組勾股數中，當最小邊是偶數時，它的平方剛好等於兩個連續奇數，或者兩個連續偶數的和的2倍。
規律二的補充記憶方法：
在一組勾股書中，當一個數是偶數時，則另外兩個數，一個數是它的一半的平方減1，另一個數是它一半的平法加1.
中國關於「勾股數」的歷史梳理
我國對於「勾股數」的探尋中，做出了重大貢獻。很多數學著作都有不同程度的結論記載：如前面提到的最古老的《周碑算經》，標誌著中國傳統數學形成的《九章算術》（大約公元前1世紀），唐代《輯古算經》（約公元626年），宋元時期《測圓海鏡》（1248年）、
《四元玉鑑》（1303年），清代《數理精蘊》（1723年）等。特別值得一提，清末《算表合壁》一書中記錄了沈立民（浙江烏鎮人，清代算學家、火器發明家）對勾股數的研究，列有「整數勾股弦表」，利用公式列出了弦長不超過1000的所有勾股數。