你所知道的三角函數和反三角函數的之間的關係和定義域、值域嗎?

大家好，我是專升本數學學霸，這次我們繼續來討論三角函數和反三角函數的之間的關係和定義域。那你知道有哪些三角函數和反三角函數以及它們之間的關係和定義域呢？學霸來幫你來了。

首先，我們來看看有哪些三角函數，正弦函數sin α, 餘弦函數cos α，正切函數 tan α，餘切函數cot α，正割函數sec α,餘割函數csc α。

接下來，我們來看看有哪些反三角函數，反正弦函數arcsin α，反餘弦函數 arccos α,反正切函數arctan α，反正割函數 arcsec α, 反餘割函數 arccsc α。

繼續。我們來看看它們之間的關係。

反三角函數和三角函數互為反函數。一般來說，設函數y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一個函數g(y)在每一處g(y)都等於x，這樣的函數x= g(y)(y∈C)叫做函數y=f(x)(x∈A)的反函數，記作x=f-1(y) 。反函數x=f -1(y)的定義域是函數y=f(x)的值域，反函數x=f -1(y)的值域是函數y=f(x)的定義域。正函數與反函數的圖像是關於y=x對稱，最具有代表性的互為反函數就是對數函數與指數函數。有關反函數的內容下次具體討論。三角函數的之間關係：三角形函數的關係可以用六邊形表示，如圖1所示。

圖1 三角函數的六邊形法則

①平方關係，在六邊形中，紅色區域的倒三角形成平方關係。

圖2 平方關係

②比值關係，在六邊形中，任意一點的值是前面相鄰兩個函數的比值。

圖3 比值關係

③倒數關係，在六邊形中，六邊形的對角線的兩個三角函數成倒數關係。

圖4 倒數關係

④ 乘積關係，在六邊形中 任意一點的值等於緊挨著這一點的兩個端點值的積

圖5 乘積關係

3.三角函數的定義域：

我們一起分別來討論它們的定義域和值域：

①正弦函數sin α的定義域是一切實數R，值域是[-1,1]，其函數圖象如圖6所示：

圖6 正弦函數圖像

由圖象可知，正弦函數是奇函數，周期 T=2π，其對稱性是關於原點對稱，單調性：單調遞增區間：[-π/2±2kπ，π/2±2kπ] ，（K∈Z） ；單調遞減區間：[π/2±2kπ，3π/2±2kπ]，（K∈Z）。正弦函數的定義域是反正弦函數的值域，正弦函數的值域是反正弦函數的定義域。

②餘弦函數cos α的定義域是一切實數R，值域是[-1,1],其函數圖象如圖7所示：

圖7 餘弦函數圖像

由圖象可知，餘弦函數是偶函數，周期 T=2π，其對稱性是關於y軸對稱，單調性：單調遞增區間：[π±2kπ，2π±2kπ] ，（K∈Z） 單調遞減區間：[0±2kπ，π±2kπ]，（K∈Z）。餘弦函數的定義域是反餘弦函數的值域，餘弦函數的值域是反餘弦函數的定義域。

③正切函數 tan α的定義域是α ≠ π/2+kπ，（K∈Z），值域是一切實數R，其函數圖像如圖8所示：

圖8 正切函數圖像

由圖象可知，正切函數是奇函數，周期 T=π，其對稱性是關於原點對稱，單調性只有單調遞增，單調遞增區間為[-π/2±kπ，π/2±kπ] ，（K∈Z），沒有單調遞減。正切函數的定義域是反正切函數的值域，正切函數的值域是反正切函數的定義域。

④ 餘切函數cot α的定義域是 α≠kπ，（K∈Z） 值域是一切實數R，其函數圖象如圖9所示：

圖9 餘切函數圖像

由圖像可知，餘切函數是奇函數，周期 T=π，其對稱性是關於原點對稱，單調性只有單調遞減，單調遞減區間為[0±kπ，π±kπ] ，沒有單調遞增。餘切函數的定義域是反餘切函數的值域，餘切函數的值域是反餘切函數的定義域。

由於正割函數sec α、餘割函數csc α、反正割函數arcsec α、反餘割函數arccsc α，專升本數學不考，加上正割函數、餘割函數、反正割函數、反餘割函數的圖像麻煩，就不進行研究了。

今天的討論到此為止，以上內容是我個人見解，不代表官方的意見，下次我們來討論其他函數的五種性質：單調性、奇偶性、對稱性、周期性、有界無界性。

謝謝觀看！