發明數學，創造數學
像數學家一樣思考 數學精彩觀念的誕生
數學可以越學越容易嗎？南明數學告訴你：當然可以！
教學目標：
A類目標：學生獨立完成挑戰單，能探索、發現2和5的倍數特點。
B類目標：通過課堂對話達成共識：
（1）探索出3的倍數的特徵；
（2）能判斷一個數是否為2，3，5的倍數；
C類目標：在探索2，3，5倍數特徵的過程中，體會觀察、分析、歸納或猜測驗證等探索方法，發展探究問題和解決問題的能力。
第一板塊：自我挑戰，遭遇問題。
課前挑戰：
１． 在100以內的自然數中，哪些數是偶數？它們具備什麼樣的共同特徵？或者說，任意給你一個自然數，你能否「一眼就看出」它是否是偶數？
２． 在100以內的自然數中，哪些數能夠被5整除？它們具備什麼樣的共同特徵？或者說，任意給你一個自然數，你能否「一眼就看出」它是否能被5整除？
３． 在100以內的自然數中，哪些數能夠被3整除？它們具備什麼樣的共同特徵？或者說，任意給你一個自然數，你能否準確判斷它是否能被3整除？
４． 兩個偶數相加，或相減，或相乘，或相除，結果仍然是偶數嗎？為什麼？
５． 兩個奇數相加，或相減，或相乘，或相除，結果是奇數還是偶數呢？為什麼？
６． 請提出你感興趣的新問題。
分析：
從學生的挑戰單反饋來看，學生能探索、發現2和5的倍數特點，但對於3的倍數特點，多數學生遭遇了問題（得出的結論經不起驗證），需要課上交流，（舉反例）驗證，引導學生探索發現3的倍數特徵，進而應用發現的特徵，快速判斷一個數是否為2，3，5的倍數。
第二板塊：聚焦問題，展開對話。
（教師出示課前挑戰單）
師：這是某位同學發現的「偶數的特徵」，你認同他的觀點嗎？
生1：認同，我也發現了，只要個位上是2，4，6，8，0的數就是2的倍數。
師：普遍適用嗎？有沒有特例？
生2：普遍適用，他雖然沒有列舉100以內所有的偶數，但22，32，42，52，62，72，82，92都是2的倍數（都能被2整除），所以幾十二，幾十四，幾十六，幾十八，幾十都一定是2的倍數。
生3：對，沒有特例，我還專門列豎式算了一下，這些都能被2整除。不僅僅是100以內的偶數有這樣的特點，100以外的偶數也具備這樣的特點。
師：是不是所有的偶數都具備這樣的特點？我們都來舉個例子驗證一下……
生4：我舉個例子「518」的個位上是8，一定是偶數，可以這樣驗證：用518除以2，能被2整除（商是259），結論成立。
生5：我也來舉個例子，「979」的個位（不是2，4，6，8，0中的數字）是9，一定不是偶數，可以這樣驗證：用979除以2，不能被2整除（商是489餘1）結論979是奇數。
生6：我反覆驗證過，你任意給出一個自然數，我只需要看一眼（個位是不是0，2，4，6，8),就可以馬上判斷它是不是偶數。
（達成共識：個位上是2，4，6，8，0的自然數都是2的倍數）
師：2的倍數有這樣的特點，5的倍數呢？
生7：5的倍數個位上不是5就是0。
（隨即出示他的挑戰單）
師：都認同他的發現嗎？有沒有特例？
生8：認同，這個規律普遍適用！只要個位上是0或5的自然數都是5的倍數（都能被5整除）。
生9：同意，我還發現2的倍數和5的倍數個位上都出現了「0」，是不是只要「個位上是0的數」都是2和5的倍數（都能被2和5整除）。
師：這個發現很了不起，大家一起幫忙驗證一下!
生10：還真是這樣，10，20，30，40，50，60，70，80，90，100都既是2的倍數又是5的倍數。110，1100，11000……也都是2和5的倍數！任意一個自然數隻要個位上是0，一定既是2的倍數又是5的倍數！
生11：那當然了，2×5=10，個位上是0的數，一定是10的倍數，當然也一定是2和5的倍數了。
師：有道理！2和5的倍數特點我們都已經找到了，3的倍數有什麼特點？
生12：個位上是0，3，6，9的數都是3的倍數。
（隨即出示他的挑戰單）
師：大家認同嗎？
生13：不認同，這個規律不能普遍適用！我舉幾個特例：10，13，16，19（個位上是0，3，6，9）都不能被3整除。
生14：是呀，3的倍數個位上0~9十個數字都出現過，30，21，12，33，24，15，36，27，18，39，從個位上的數字來看，一切皆有可能，就沒有特徵！
生15：就是，從個位就找不出3的倍數的特徵！十位上也沒啥規律，十幾，二十幾，三十幾，四十幾，五十幾……也都是一切數字皆有可能，也發現不了什麼特點！
師：看來3的倍數特點沒那麼容易找出來，個位上的數字沒什麼規律，十位上的數字也沒什麼規律，個位上的數字與十位上的數字有沒有什麼關係？
生16：我試試看「12，15，18，21，24，33，39」好像個位上數字與十位數字有倍數關係，但「27，45，54，57」個位上數字與十位數字又沒有倍數關係，所以結論是個位上數字與十位數字沒啥特定的倍數關係。
（學生紛紛表示認同）
生17：沒有倍數關係，會不會有「和差的關係」，我試試：「12」（2＋1=3）個位與十位上的數字之和是3，「15」（1＋5=6）個位與十位上的數字之和是6，「18」（1＋8=9）個位與十位上的數字之和是9……我發現了，只要個位和十位上的數字之和是3，6，9的數就是3的倍數！
生18：是呀，你看「21，24，27」這些數個位與十位上的數字加起來也是3，6，9！
師：好像是這麼回事，普遍適用嗎？有沒有特例？
生19：有特例「39」個位與十位上的數字之和是12，（就不是3，6，9）它也是3的倍數。還有「57」，個位與十位上的數字之和也是12……
生18：那就把我們發現的規律再修改一下「只要個位和十位上的數字之和是3，6，9，12的數就是3的倍數」。
生19：那「99」呢？個位與十位上的數字之和是18，但也是3的倍數！
生20（舉手）：大家發現沒有「3，6，9，12，18」都是3的倍數，也就是說只要個位和十位上的數字之和是3的倍數，這些自然數就是3的倍數。
生19：我來驗證一下，「69」個位和十位上的數字之和是15，是3的倍數，69也能被3整除，結論應該可以成立。
師：還能不能找出特例？
生：沒有特例了！只要個位和十位上的數字之和是3的倍數，這個自然數就是3的倍數。
師：拓展到100以外的自然數，我們的這個發現，還普遍適用嗎？
生20：應該可以，比如「123」按照我們剛才的發現，把它百位、十位、個位上的數字加起來是6，是3的倍數，用123除以3來驗證，商是41（能整除），結論成立。
（同桌相互舉例，判斷，驗證。）
師：既然我們發現的這個特點（只要個位和十位上的數字之和是3的倍數，這個自然數就是3的倍數。）可以延伸到100以外的任意自然數，這個特點還可以怎樣修改，完善？
生21：各個數位的數字之和是3的倍數，這個數就是3的倍數。
第三板塊：基於共識，拓展延伸。
師：我出幾個自然數「123，234，345，456，567」，大家來判斷它們是不是3的倍數。
生22：它們都是3的倍數，它們各個數位上的數字之和分別是6，9，12，15，18，都是3的倍數，所以一定是3的倍數。
生22：對，都是3的倍數。我還發現它們數位上的數字都是三個連續的自然數。
師：是不是3個連續自然數組成的數一定是3的倍數？
生23：是的，我試了好多個數，都符合這個特徵，找不出特例！
生22：是呀，為什麼呢？
師：連續自然數有啥關係？
生22：相鄰的自然數一個比一個多1。
師：如果用n表示中間的自然數，前一個自然數該怎麼表示？（n－1）後一個自然數該怎麼表示？（n＋1）……
生23：我明白了！把三個連續自然數加起來，（n－1）＋n＋（n＋1）不就等於3n嗎？3n一定是3的倍數！
生24：對呀！三個連續自然數的數字之和，不就是中間那個數字的3倍嗎！
師：是的，所以3個連續自然數組成的數一定是3的倍數。
（出示挑戰單）
師：你認同這位同學得出的結論嗎？為什麼？
生25：認同，我也發現兩個偶數相加，或相減，或相乘都是偶數，兩個偶數相除，商可能是奇數也可能是偶數。我是試數試出來的，我能列舉的數字都符合這樣的規律，找不出特例。
師：大家能找出特例嗎？
生26：舉不出特例！至於為什麼，是不是可以這樣理解，n為任意自然數，偶數可以用」2n」來表示，兩個不同的偶數，就表示「n」的取值不同，用A和B來區分，2×A表示一個偶數，2×B表示第二個偶數，把兩個偶數加起來2×A＋2×B……
生27：對，再應用用乘法分配律把2×A＋2×B可以轉換成2×（A＋B），也就是說「（A＋B）」無論和是多少，乘2一定是2的倍數！
生26：就是這樣，這樣的話兩個偶數加起來一定還是偶數！同樣的道理，兩個偶數相減，就是2×（A－B），「（A－B）」無論差是多少，乘2一定還是偶數！偶數乘偶數就是2×A×2×B，積一定是偶數！至於偶數除以偶數，用（2×A）÷（2×B）就是A÷B，商就有可能是奇數，有可能是偶數。
師：能結合代數式來驗證結論，你們已經很不簡單了！兩個奇數相加或相減，或相乘，或相除，結果是奇數還是偶數呢？
師：你認同這個同學的結論嗎？
生28：我認同他的結論，我也列舉了好多例子比如「1＋3=4，3＋5=8，5＋7=12……」發現奇數＋奇數=偶數；「13－3=10，15－7=8，19－5=14……」奇數－奇數=偶數；「3×5=15，5×7=35，7×9=63……」奇數×奇數=奇數；「27÷3=9，21÷7=3，99÷9=11……」奇數÷奇數=奇數。
生29：認同，找不出特例！這個結論能不能也用代數式來驗證？
師：如果大家感興趣，可以試一試，課下繼續探究，以小論文、報告的形式與我們一起分享。不僅僅這個問題，還有下面這位同學提出的問題，「一個偶數和一個奇數相加，相減，相乘，相除，結果是奇數還是偶數呢？」期待你們的解答！
編輯：瑞潔
校對：曉萌
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