Everyone knows that it is easy to do a puzzle if someone has told you the answer. That is simply a test of memory. You can claim to he a mathematician only if you can solve puzzles that you have never studied before. That is the test of reasoning.
到目前為止，在試著解決桌上撞球的運動軌跡這一謎題時，我們已經有了一些發現。
從我們考慮過的例子來看，如果桌子的尺寸是整數，並且球從左下角與側面成45°角擊中，它最終會落在另外三個角之一。
撞球的路逕取決於桌子的形狀，而球最終到達的角落似乎在某種程度上與桌子的尺寸有關。
最簡單的路徑顯然是在一張正方形的撞球桌上。在這樣的桌上，球從一個角斜向另一個角移動，而不會從任何一邊反彈。路徑如此簡單，與方桌的長寬比為1有關。
對於這樣同樣的模式，我們或許可以這樣認為：
我們一直用長方形來表示撞球桌的內部尺寸。長寬比相同的矩形具有相同的形狀，稱為相似。由於相似撞球的運動軌跡是相同的，大尺寸撞球的運動軌跡可以通過用最小值表示這些尺寸的比值來發現：在下面的練習中，我們將在尺寸最小的桌子上畫出球的路徑。
1 畫一組七張撞球桌，寬度為1個單位，長度為1、2、3、4、5、6和7個單位。在每一張桌子上顯示球的路徑，用一個大圓點標記出球結束的角落。前兩個表和路徑顯示在左側。 注意，因為寬度是1，所以所有這些桌子的尺寸都是最簡單形式的。球在哪個角落結束取決於長度是奇數還是偶數。4 畫一組七張撞球桌，寬度為2個單位，長度為1、2、3、4、5、6和7個單位。在每個不能縮減為最簡比例項的桌子上顯示球的路徑，並在球結束的角上用一個大點標記。前兩張表顯示在右側。（第二個桌子上的路徑沒有繪製，因為它的尺寸比不是最簡的形式。） 5 如果球的寬度是2個單位，並且長寬尺寸不能減少到最簡的形式，那麼球會在哪個角結束？ 6 畫一組七張撞球桌，寬度為3個單位，長度為1、2、3、4、5、6和7個單位。在每一張桌子上畫出球的路徑，這些桌子的尺寸不能減少到更低的項。 8 畫一組七張撞球桌，寬度為4個單位，長度為1、2、3、4、5、6和7個單位。在每一張桌子上畫出球的路徑，這些桌子的尺寸不能減少到更低的項。
綜合我們以往經驗，你所了解的撞球最終將在哪個角落結束的規則是基於最簡單形式桌面尺寸（也就是桌子的長寬比值）。
在下面的練習中，我們將考慮尺寸可以降為最簡項的桌子。
你能用你的認知（第一部分10-12問的歸納）來預測下面桌子的正確落腳點嗎？解釋每種情況下的原因或原因。
5 為什麼沒能總結長度和寬度都是偶數的的桌子的規律？
這裡有三張長寬相等的桌子。如果沒有繪製路徑，如何預測每種情況下的正確角點？
下面的數字代表巨大的撞球桌尺寸。你認為球會在每張桌子的哪個角落結束？請解釋每種情況。
假設我們把撞球從 起杆開始 算第一次撞擊，落入角落的球洞 算最後一次撞擊，則中間每次在桌子邊緣反彈次數加上起始和入洞的兩次就是不同桌面尺寸會產生的不同「撞擊」次數。
那麼在上面的第一個桌面上有三次「撞擊」，在第二個桌子上有五次「撞擊」。
1 看下面的兩張桌子尺寸，計算每一張桌子所產生的「撞擊」次數；2 參考這四個例子，編寫一個規則，根據桌子的尺寸來預測每個桌面會發生的「撞擊」數。