女士們，先生們：
今天我所要討論的問題，是彎曲空間及其與引力現象的關係。你們當中任何一個人都能夠很容易地想像出一條曲線或一個曲面，對於這一點，我是一點也不懷疑的；但是，一提到三維的彎曲空間，你們的臉就全拉長了，你們大概認為，這是某種極不尋常的、幾乎是超自然的東西。為什麼人們這樣普遍對彎曲空間懷有 「惡感」，難道這個概念真的比曲面的概念更難以理解嗎？要是你們稍稍多想一想，大概就有許多人會說，你們之所以覺得難以想像出一個彎曲空間，是因為你們無法像觀察一個球的曲面，或者像觀察馬鞍那類二維的曲面那樣，「從外面」對它進行觀察。但是，那些說這種話的人，只不過是暴露出他們自己不懂得曲率的嚴格數學意義罷了，事實上，這個詞的數學含義同它的一般用法是有相當大的區別的。我們數學家說某個面是彎曲的，那是說，我們在這個面上所畫的幾何圖形的性質，不同於在平面上所畫的同一幾何圖形的性質，並且，我們用它們偏離歐幾裡得古典法則的程度來衡量曲率的大小。如果你在一張平坦的紙上畫一個三角形，那麼，正如你從初等幾何學所得知的那樣，這個三角形三個角的總和等於兩個直角。你可以把這張紙彎成圓柱形、圓錐形，或者甚至彎成更複雜的形狀，但是，畫在這張紙上那個三角形的三個角之和，必定永遠保持等於兩個直角。
這種面的幾何性質不隨上述形變而改變，因此，從「內在」 曲率的觀點看來，形變後所得到的各種面（儘管在一般概念中是彎曲的），事實上是和平面一樣平坦的。
但是，你要是不把一張紙撕破，你就無法把它貼切地貼在球面上或鞍形面上；不僅如此，如果你想在一個球面上畫一個三角形（即所謂球面三角形），那麼，歐幾裡得幾何學那些簡單的定理就不再成立了。事實上，我們可以用北半球上任何兩條半截的子午線（即經線）與兩者之間那段赤道所構成的三角形作為例子，這時，三角形底邊的兩個角都是直角，而頂角則可以具有任意大的角度，這三個角之和顯然大於兩個直角。
同球面的情形相反，在鞍形面上，你會驚訝地發現，三角形三個角之和永遠小於兩個直角。
可見，要確定一個面的曲率，必須研究這個面上的幾何性質，而從外面來觀察常常會產生錯誤。僅僅依靠這種觀察，你大概會把圓柱面同環面劃為一類，其實，前者是平面，後者卻是無法矯正的曲面。你一旦習慣於曲率的這種新的、嚴格的數學概念，你就不難明白，物理學家們在討論我們所居住的空間到底是不是彎曲的時候，他們所指的是什麼東西了。我們不需要跑到我們所居住的三維空間的「外面」去「看看」它是否彎曲；而可以留在這個空間中進行一些實驗，去查明歐幾裡得幾何學的普通定律是不是還能成立。
但是，你們也許會覺得奇怪：為什麼我們在一切場合下都應該指望空間的幾何性質與已經成為「常識」的歐幾裡得幾何有所不同呢？為了表明這種幾何性質確實取決於各種物理條件，讓我們設想有一個巨大的圓形舞臺，像唱片那樣繞著自己的軸勻速地轉動著。再假設有一些小量尺，沿著從圓心到圓周上某一點的半徑，頭尾相接地排成一條直線；另一些量尺則沿著圓周排成一個圓。
在相對於那個安放舞臺的房間靜止不動的觀察者A 看來，當舞臺在轉動時，那些沿著舞臺為圓周擺放的量尺是在其長度方向上運動，因此，它們會發生尺縮（正像我在第一次演講中說過的那樣）。這樣一來，為了把圓周補全，所用的量尺就必須比舞臺靜止不動時更多一些。而那些沿著半徑擺放的量尺，它們的長度方向正好同運動方向成直角，所以就不會發生尺縮，這樣一來，不管舞臺是不是在轉動，都要用同樣多的量尺去擺滿從舞臺的中心到圓周上某一點的距離。
可見，沿著圓周測出的距離C（用所需要的量尺數目表示）必將大於一般情況下的2πr，這裡r 是所測出的半徑。
我們知道，在觀察者A看來，這一切都是合情合理的，因為沿著圓周擺放的量尺的運動產生了尺縮效應。但是，對於站在舞臺中心而且隨著舞臺轉動的觀察者B，情形又是什麼樣呢？她會怎樣看待這個問題呢？由於她所看到的兩組量尺的數目和觀察者A相同，她同樣會下結論說，這裡的周長與半徑之比不符合歐幾裡得幾何學的定理。但是，假如舞臺是處在一間沒有窗子的封閉房子裡，她就看不出舞臺是在轉動。那麼，她會用什麼原因來解釋這種反常的幾何性質呢？
觀察者B可能並不知道舞臺在轉動，但是卻會意識到在她周圍正在發生某種奇怪的事情。她會注意到，放在舞臺上不同地方的物體並不保持靜止不動，它們全都從中心向外圍進行加速運動，其加速度取決於它們的位置和中心的距離。換句話說，它們看起來都受到一種力（離心力）的支配。這是一種很奇怪的力，不管物體處在什麼特定的位置，質量有多大，這個力總是以完全相同的加速度使它們向外圍進行加速運動。換句話說，這種「力」似乎能夠自動調整自己的強度去配合物體的質量，因而總是能產生物體所處位置特有的加速度。因此，觀察者B會作出結論說，在這種「力」與她發現的非歐幾裡得幾何性質之間，必然存在著某種關係。
不僅如此，我們還可以考慮一束光線前進時的路徑。對於靜止的觀察者A 來說，光線總是沿著直線傳播的。但是，如果有一束光線貼著旋轉舞臺的表面穿過舞臺，又會怎麼樣呢？儘管在觀察者A 看來、這束光線一直是沿著直線行進的，但是，它在旋轉舞臺的表面上劃出的路徑卻並不是直線，這是因為這束光需要一定的時間才能穿過舞臺。而在這段時間內，舞臺已經轉過一定的角度（這就像你用快刀在旋轉的唱片上劃一條直線時，唱片上的劃痕會是一條曲線而不是直線那樣）。因此，站在旋轉舞臺中心的觀察者B會發現，那束光線在從舞臺的一側穿到另一側時，並不是沿著直線、而是沿著曲線行進。她會像前面提到的周長與半徑之比的場合那樣，把這種現象歸因於在她周圍起作用的特殊物理條件所產生的那個特殊的「力」。
這種力不僅影響到幾何性質（包括光線行進的路徑），並且還影響著時間的進程。把一個鐘錶放在旋轉舞臺的外圍，就可以把這種情況演示出來。觀察者B 會發現，這個鐘錶比放在舞臺中心的鐘表走得慢。從觀察者A 的觀點看，這個現象是最容易理解不過了，因為他注意到，那個放在外圍的鐘表在隨著舞臺的轉動而運動，所以比起放在舞臺中心。位置保持不變的鐘表來，它的時間便延長了（鍾慢效應）。而觀察者B 由於沒有意識到舞臺的轉動，就必定把那個鐘錶走得慢歸因於前面所說的那個「力」的存在。這樣一來，我們便可以知道，不論是幾何性質還是時間進程，都能夠成為物理環境的函數。
現在我們再來討論一種不同的物理場合——這是我們在地面附近發現的情形：一切物體都被地心引力吸向地面。這同旋轉舞臺上的一切物體都被甩向外圍的情形有點相似。如果我們注意到下落的物體所得到的加速度只與其位置有關而與其質量無關時，這種相似性便更明顯了。從下面要介紹的事例，我們甚至可以更加清楚地看到引力與加速運動之間的這種對應關係。
假設有一艘專門進行星際航行的宇宙飛船，它自由自在地在空間中某個地方漂浮著，不管離哪一顆恆星都非常遠，因而在飛船中不存在任何引力。結果，在這樣一艘飛船裡的一切物體，包括乘坐它旅行的實驗者在內，就都沒有任何重力，他們會像凡爾納著名的幻想小說中的阿爾丹及其旅伴在飛往月球的旅途中那樣，自由自在地在空氣中漂浮著。
現在，發動機開動了，我們的飛船開始運動，並且逐漸增大速度。這時在飛船內部會發生什麼情況呢？很容易看出，只要飛船處在加速狀態，飛船內部的一切物體就會顯示出朝著飛船底部運動的傾向，或者是說，飛船底部將朝著這些物體運動——這兩種說法是一碼事。舉個例子吧，要是我們的實驗者手中拿著一個蘋果，然後撒手把它放開，那麼，這個蘋果必將以固定不變的速度——即飛船在放開蘋果那一瞬間的運動速度——相對於周圍的恆星繼續運動。但是，飛船本身卻在加大速度，結果，船艙的底部由於在整個時間裡運動得越來越快，它最後必將趕上那個蘋果，並且撞上它。從這個瞬時起，這個蘋果就會永遠同底部保持接觸狀態，並且靠穩定的加速度而壓在底部上。
但是，在飛船內部的實驗者看來，這種情況卻好像是那個蘋果在以固定的加速度「下落」，並且在擊中底板以後，繼續靠它自身的重力壓在底板上。如果他再讓別的物體掉下，他就會進一步發現，所有這些物體全都以完全相同的加速度落下（如果忽略掉空氣的摩擦力的話），於是他就會想起，這恰好就是伽利略所發現的自由落體定理。事實上，他根本不能夠發現在加速船艙中的現象與一般重力現象之間有一點點最細微的差別。他完全可以使用帶鐘擺的時鐘，可以把書放在書架上而不必擔心它們飛掉，還可以把愛因斯坦的照片掛在釘子上。大家知道，正是愛因斯坦最先指出，參考系的加速度是與重力場等效的，他還在這個基礎上提出了所謂廣義相對論。
但是，正像轉動舞臺那個例子一樣，在這裡，我們也會發現一些伽利略和牛頓在研究重力時所不知道的現象。這時，穿過船艙的光線將發生彎曲，並且隨著飛船加速度的不同，而投射在對面牆上屏幕的不同地方。當然，在船艙外的觀察者看來，這可以解釋成光的勻速直線運動同飛船船艙的加速運動相疊加的結果。在船艙內的幾何圖形也必定是不正常的，由三條光線構成的三角形，它的三個角的總和並不等於兩個直角，而一個圓的圓周與其直徑之比則將大於通常的 π 值。在這裡，我們所考慮的是加速系統的兩個最簡單的例子，但是，上面所說的等效性，對於任何一個指定的剛性的（或不可變形的）參考系的運動也同樣成立。
現在我們就要接觸到最重要的問題了。我們剛才已經看到，在一個加速的參考系中，可以觀察到許多在一般萬有引力場中未曾觀察到的現象。那麼，像光線彎曲或鐘錶走慢這樣的新現象，在由可測質量所產生的引力場中，是不是同樣存在呢？
要量度光線在引力場中的曲率，利用前面提到的宇宙飛船那個例子比較方便。如果l 是船艙的跨距，那麼，光線走過這段距離所需的時間就是
在這段時間內，以加速度g 運動的飛船所飛過的距離為L，從初等力學的公式，我們知道
因此，表示光線方向改變的角度具有如下的數量級
光在引力場中走過的距離越大，Φ 的值也越大。當然，現在應該把宇宙飛船的加速度解釋成重力加速度。如果我現在讓一束光線穿過這個演講廳，我可以粗略地取L＝10 米。地面上的重力加速度g＝9.81米/秒2，c＝3×108米/秒，所以
這樣，你們可以看出，在這種條件下，光線的曲率是肯定無法觀察到的。但是，在太陽表面附近，g＝270 米/秒 2，並且光線在太陽的引力場中走過的路程是非常長的。有一些精確的計算表明，一束光線從太陽表面附近經過時的偏轉值應該等於1.75 弧秒。天文學家在日全蝕時觀察到的。太陽旁邊的恆星視位置的位移值就正好是這樣大。現在由於天文學家利用了從類星體發出的強射電輻射，就不必再等到日全蝕時再進行測量了。從類星體發出並從太陽旁邊穿過來的射電波，就是在大白天也可以毫無困難地探測到。正是這些測量使我們能夠最精確地測出光線的彎曲。因此，我們可以作出結論說，我們在加速系統中發現的光線彎曲，實際上是和它在引力場中的彎曲相同的。那麼，觀察者B 在旋轉舞臺上發現的另一個奇怪的現象——放在舞臺外圍的鐘表走得比較慢，會不會也是這樣呢？在地球重力場中，放在地面上空某個地方的鐘表，會不會有類似的表現？換句話說，加速度所產生的效果與重力所產生的效果是否不僅非常相似，而且完全等同呢？
這個問題只能靠直接的實驗來解答。事實上，這樣的實驗已經證明，時間是可以受到普通重力場的影響的。通過加速運動與引力場的等效關系所預料的效應是非常小的，這正是直到科學家們開始專門探索它們以後才能發現它們的原因。
用旋轉舞臺這個例子，很容易確定鐘錶速率變慢的數量級。從初等力學得知，作用在離中心的距離為r。質量為1 的粒子上的離心力，可由下面公式算出：
式中 ω 是轉動舞臺的固定的角速度。因此，這個力在粒子從中心運動到邊緣時所作的總功是
式中R 是舞臺的半徑。
按照上面所說的等效原理，我們應該把F 看做是舞臺上的引力，而把W 看做是舞臺中心與邊緣之間的引力勢之差。
我們應該記得，正像我在上一次演講中所談到的那樣，以速度v 運動的時鐘要比不運動的時鐘走得慢一些，兩者相差一個因子
如果v 同c 比起來非常小，我們可以把第二項以後的各項都略去不計。按照角速度的定義，v＝Rω，這樣，「減慢因子」就變成
這是用兩個地點的萬有引力勢差來表示的時鐘速率的改變。
如果我們把一個時鐘放在艾菲爾鐵塔（300 米高）的底部，再把另一個時鐘放在塔頂，由於它們之間的勢差非常之小，所以，放在底部的那個時鐘走慢的因子只有
0.999 999 999 999 97
但是，地球表面上和太陽表面上的重力勢差卻大得多了，由此產生的減慢因子等於0.999 999 5，這是用很精密的測量所能探測到的。當然，從來沒有人想把普通時鐘搬到太陽表面上去，看看它走得怎麼樣。物理學家們有一些更妙的辦法，利用分光計，我們可以觀察太陽表面上各種原子的振動周期，並把它們與同一種元素的原子在實驗室本生燈火焰中的振動周期相比較。在太陽表面上，原子的振動應該比地面上慢一些，兩者相差一個由公式（11）所給出的減慢因子，因此，它們所發出的光應該比地面光源的光稍紅一些，也就是說，它們發出的光的頻率會向光譜的紅端移動。這種「紅移」確實已經在太陽的光譜中觀察到了，對於其他一些能夠精確測定其光譜的恆星，也同樣觀察到這種效應，並且觀察到的結果同我們的理論公式所給出的值相符。
現在，我們可以再回頭討論空間曲率的問題了。你們大概還記得，我們曾經利用直線的最合理的定義得出結論說，在非勻速運動的參考系中所得到的幾何圖形是與歐幾裡得幾何學不同的，因此，應該認為這樣的空間是彎曲空間。既然任何一個重力場都同參考系的某種加速度等效，這也就意味著，任何一個有重力場存在的空間都是彎曲空間。我們還可以進一步說，重力場只不過是空間曲率的一種物理表現。因此，每一點上的空間曲率都應該由質量分布所決定，並且在重的物體（或天體）近旁，空間曲率應該達到其極大值。由於描述彎曲空間的性質及其與質量分布的關係的數學公式相當複雜，我無法在這裡進行介紹。我只想提一提，這個曲率一般不是取決於一個量，而是取決於幾個不同的量，這些量通常稱為重力勢的分量gμν，它們是我們前面用W 表示的古典物理學重力勢的推廣。與此相應，每一點上的曲率也由幾個不同的曲率半徑來描述，後者通常寫成Rμν，這些曲率半徑同質量分布的關係由愛因斯坦的基本方程來描述：
式中R 是另一種曲率，代表曲率起因的源項Tμν 取決於密度、速度和質量所產生的引力場的其他性質。G 是大家熟悉的引力常數。
這個方程已經通過研究水星的運動而得到驗證。這顆行星最靠近太陽，因此，它的軌道最靈敏地反映出愛因斯坦基本方程的細節，已經發現，它的軌道的近日點（也就是這顆行星在沿其扁長橢圓形軌道運行時最接近太陽的那一點）在空間並不是固定不變的，而是每轉一圈都會系統地改變它相對於太陽的取向，這種進動，有一部分來源於其他行星的引力場對水星所起的攝動作用，有一部分可以用水星的質量由於其運動而產生的狹義相對論性增大來解釋。但是，還剩下一個很小的剩餘量（每世紀43 弧秒）是無法用舊的牛頓萬有引力理論來說明的，不過卻很容易用廣義相對論來解釋。
對水星的觀察連同前面所提到的其他實驗結果，都證實了我們關於廣義相對論的判斷是正確的——它是能夠最好地解釋我們在宇宙中實際看到的各種現象的引力理論。
在結束這篇演講之前，我想再指出方程（12）的兩個很有意義的結論。如果我們所考慮的是一個均勻分布著質量的空間，比如像我們這個分布著恆星和星系的空間，那麼，我們將得出這樣一個結論：除了在各個分開的恆星附近偶爾出現很大的曲率以外，這個空間在正常情況下總是傾向於在大距離上均勻地彎曲。從數學上說，方程（12）有幾種不同的解，其中有一些解相當於空間本身最後是封閉的，因而具有有限的體積；另一些解所代表的則是類似於鞍形面的無限空間，後者我已經在這篇演講的開頭提到過了。方程（12）的第二個重要的結果是：這樣一些彎曲空間應該總是處在膨脹（或收縮）的狀態中，從物理學上說，這就意味著分布在這種空間中的粒子應該不斷彼此飛離（或者正好相反，應該不斷相互靠攏）。不僅如此，我們還可以證明，對於體積有限的封閉空間來說，膨脹和收縮是周期性地相互交替著的——這就是所謂脈動宇宙。但是，無限的「類鞍形」空間則始終不變地處在膨脹（或收縮）狀態中。
在數學上各種不同的可能解當中，究竟哪一個解同我們所居住的空間相適應呢——這個問題只能依靠對星系團的運動（包括它們彼此飛散的速度減慢的情況）進行實驗觀察來解答，或者也可以把宇宙現有的全部質量加在一起，再計算出減慢的效果會有多大。目前，天文學所得到的證據還不太明確。但是，有一點是肯定的——我們這個空間目前正在膨脹著。不過，這種膨脹是不是有朝一日會轉變成收縮？我們這個空間的大小究竟是有限的還是無限的——這兩個問題現在都還沒有明確的答案。
∑編輯 | Gemini
選自 | 物理世界奇遇記
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