亞里斯多德「輪子悖論」困擾當時數學界幾百年,現在看很容易理解

2021-01-13 李論科學

亞里斯多德是希臘哲學家暨科學家，是柏拉圖的弟子，同時也是亞歷山大大帝的老師。《工具論》（Organon)是亞里斯多德彙編一套六冊、有關邏輯分析的論文集，包括：《範晴篇》《前分析篇》《解釋篇》《後分析篇》《辨謬篇》和《論辯篇》,以上順序是約公元前40年由羅得島的安德羅尼古斯(Andronicus of Rhodes)所排定。雖然柏拉圖、蘇格拉底對於邏輯分析也有相當鑽研，但是亞里斯多德才是以系統性整理邏輯學的第一人，並從此引領西方世界科學論證長達兩千多年。今天說下亞里斯多德的《工具論》和輪子悖論。

亞里斯多德的《工具論》

《工具論》的功用並不在於告訴讀者何者為真，而是告訴讀者該採用什麼方式探索真理、該如何用有意義的方式理解世間萬物。三段論法是亞里斯多德最主要的分析工具之一，臂如以下這三段的論證句子：「所有女人都會死亡，埃及豔后是個女人，所以，埃及豔后也會死亡。」只要兩個前提為真，我們就可以確信接下來的結論也一定為真。亞里斯多德也區分了通相(廣義範疇)與殊相的不同，埃及豔后是一個特殊項，女人和死亡則屬於通項，而我們通常會在通項之前加上「所有」「部分」「沒有」之類的用詞。亞里斯多德分析了很多種三階段的論證方式並指出其中哪幾種才是有效的推論。

亞里斯多德還把包含模態性質的論證一也就是那些包含「可能」和「必定」用詞的模態邏輯——納入三段論法的分析中。近代數學邏輯可以從亞里斯多德的方法論為起點，再把他的思路延伸到其他種類的句型結構，像關聯性更為複雜的表達方式，或像「沒有任何女人喜歡那些總會不喜歡某些女人的所有女人」這種在一個句子中包含數個量詞的句型。無論如何，亞里斯多德試圖以系統性方式所發展出來的邏輯分析，已經被公認是人類最偉大的成就之一，提供遠古時代與邏輯有緊密關係的數學領域一塊發展的基石，甚至也影響了神學家理解實在的探索方式。

亞里斯多德輪子悖論

記述在古希臘教科書《論力學》上的亞里斯多德輪子悖論，是一個好幾百年以來讓不少最偉大數學家們感到困惑的謎題。一個小輪以同心圓方式固定在另一個大輪上，則大輪圓周上的每一點，都可以在小輪的圓周上找出一對一的對應關係。也就是說，對大輪圓周上的任何一點而言，在小輪圓周上都只能找到唯一一個對應點，反之亦然。接下來，不論是以小輪在一根橫杆上滾動，或者是讓大輪直接在地面滾動時，這個組合輪的水平位移距離應該一樣；可是這怎麼可能呢？我們明明就非常清楚知道這兩個輪子的圓周長是不一樣的。

如今數學家們已經知道，存在一對一的對應關係並不表示兩條曲線的長度相同；康託爾(Georg Cantor)就證明出不論線段長短，在上面可以取得的點基數都是一樣的。他稱點的這種超限數為「連續統」。舉例而言，所有存在於0與1這個區間中的點，都可以用一對一的對應方式擺進另一條無限長的直線上，而在康託爾之前的數學家顯然就是對這個問題百思不得其解。不過，在此也要用物理學的觀點說明一下，當大輪真的在地面滾動時，被拖行的小輪其實並不會完整滾過與其接觸的橫杆。

雖然普遍認為《論力學》出自亞里斯多德之手，但有些學者懷疑這本最古老的工程教科書的作者恐怕另有其人，也就是亞里斯多德的學生、朗普薩克斯的斯特拉圖(Straton ofLampsacus Strato Physicus)。斯特拉圖早在約公元前270年就離開人世，因此，這本教科書確切問世的時間和真正的作者恐怕會永遠覆上一層謎一樣的面紗。

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