宇宙的幾何是什麼？本文對智商一般的打擊太大，一旦讀懂受益無窮

您凝視夜空時，空間似乎永遠向各個方向延伸。那是我們對宇宙的心理模型，但不一定正確。畢竟，有一段時間，每個人都認為地球是平坦的，因為我們的星球的曲率太微妙以至於無法檢測到，而球形的地球卻是不可思議的。

今天，我們知道地球的形狀像球形。但是我們大多數人很少考慮宇宙的形狀。正如球體提供了扁平地球的替代方案一樣，其他三維形狀也提供了「普通」無限空間的替代方案。

我們可以問兩個關於宇宙形狀的獨立但相互關聯的問題。一種是關於其幾何形狀：對諸如角度和面積之類的東西進行細粒度的局部測量。另一個與它的拓撲有關：如何將這些局部片段縫合在一起形成一個總體形狀。

宇宙學證據表明，我們可以看到的宇宙部分是光滑且均勻的，至少近似。空間的局部結構在每個點和每個方向上看起來都差不多。只有三種幾何形狀符合此描述：平面，球形和雙曲線。讓我們探索這些幾何形狀，一些拓撲注意事項，以及宇宙學證據說明哪些形狀最能描述我們的宇宙。

平面幾何

這是我們在學校中學到的幾何。三角形的角度加起來為180度，和一個圓的面積是π - [R 2。平面三維形狀的最簡單示例是普通的無限空間-數學家稱之為歐幾裡德空間-但也可以考慮其他平面形狀。

這些形狀更難以可視化，但是我們可以通過二維而不是三維思考來建立直覺。除了普通的歐幾裡得平面外，我們還可以通過切出一部分平面並將其邊緣貼在一起來創建其他平面形狀。例如，假設我們切出一張矩形紙並將其相對的邊緣用膠帶粘住。貼上頂部和底部邊緣會給我們一個圓柱體：

接下來，我們可以在左右邊緣上貼上一個甜甜圈（數學家稱之為圓環）：

現在，您可能會想，「這對我來說並不平坦。」 而且你會是對的。我們在描述扁平圓環的工作原理時有些作弊。如果您實際上試圖以此方式在一張紙上製作圓環紙，就會遇到困難。製作圓柱體會很容易，但是用膠帶貼住圓柱體的端部是行不通的：紙張會沿著圓環的內圓弄皺，並且無法沿著外圓伸展得足夠遠。您將不得不使用一些可拉伸的材料來代替紙張。但是這種拉伸會扭曲長度和角度，從而改變幾何形狀。

在普通的三維空間內，無法在不扭曲平面幾何形狀的情況下，用平面材料構建實際，平滑的物理圓環。但是我們可以抽象地推斷出生活在扁平圓環中的感覺。

假設您是一個二維生物，其宇宙是扁平的圓環。由於此宇宙的幾何形狀來自一張平紙，因此，我們習慣於使用的所有幾何事實至少在小範圍內與平常相同：三角形的角度之和為180度，依此類推。但是，我們通過剪切和編帶對全局拓撲所做的更改意味著，生活在圓環中的體驗將與我們過去的感覺截然不同。

對於初學者來說，圓環上有直線路徑可以循環並返回到它們的起點：

這些路徑在扭曲的圓環上看起來是彎曲的，但是對於扁平圓環的居民而言，它們感覺很直。而且由於光線沿直線路徑傳播，因此如果您在這些方向之一上朝前看，您會從後面看到自己：

在原始的紙上，好像看到的光從後面一直傳播到到達左側，然後再次出現在右側，就像您在環繞式電子遊戲中一樣：

考慮這種情況的一種等效方法是，如果您（或一束光束）穿過四個邊緣之一，則您會出現在看似新的「房間」中，但實際上是同一個房間，只是從一個新房間看到制高點。當您在這個宇宙中四處遊蕩時，您可以進入原始房間的無限副本。

這意味著您還可以通過朝不同的方向看，無限地看到自己的許多不同副本。這是一種鏡廳效應，除了您的副本不是反射：

在甜甜圈上，這些對應於許多不同的循環，光線可以通過這些循環從您傳播回您：

類似地，我們可以通過粘貼立方體或其他盒子的相對面來構建平坦的三維圓環。我們無法將這個空間可視化為普通無限空間內的對象-根本不適合-但我們可以抽象地推斷其中的生活。

就像二維圓環中的生活就像生活在相同的矩形房間的無限二維數組中一樣，三維圓環中的生活就像生活在相同的立方房間的無限三維數組中一樣。您將無限次看到自己的副本：

三維環面只是10個不同的平面有限世界之一。還有平坦的無限世界，例如無限圓柱體的三維模擬。在上述每個世界中，都有一個不同的鏡廳可供體驗。

我們的宇宙是這些其他扁平形狀之一嗎？

當我們觀察太空時，我們不會無限地看到自己的副本。即使這樣，也很難排除這些扁平形狀。一方面，它們都具有與歐幾裡得空間相同的局部幾何形狀，因此沒有局部度量可以區分它們。

而且，如果您確實看到了自己的副本，那麼那幅遙遠的圖像將顯示您（或您的星系）如何看待遙遠的過去，因為光線必須經過很長時間才能到達您。也許我們在那裡看到自己無法識別的副本。更糟糕的是，您自己的不同副本通常與您之間的距離會不同，因此，大多數副本看起來不會相同。而且也許它們離我們都太遙遠了，以至於我們都看不到。

為了解決這些困難，天文學家通常不是在尋找我們自己的副本，而是在我們能看到的最遠的地方尋找重複特徵：宇宙大爆炸後不久留下的宇宙微波背景（CMB）輻射。實際上，這意味著在CMB中搜索具有熱點和冷點匹配模式的成對的圓，這表明從兩個不同的方向看，它們實際上是相同的圓。

2015年，天文學家使用普朗克太空望遠鏡的數據進行了這種搜索。他們將數據匹配為我們希望在一個平面三維圓環或另一個稱為平板的平面三維形狀中看到的匹配圓的種類，但未能找到它們。這意味著如果我們確實生活在一個圓環中，那麼它可能是如此之大，以至於任何重複的模式都超出了可觀察的宇宙範圍。

球面幾何

我們都熟悉二維球體–球的表面，橙色的表面或地球。但是，我們的宇宙成為三維球體意味著什麼呢？

很難可視化三維球體，但是通過簡單的類比定義一個三維球體很容易。就像二維球是所有點的集合與普通三維空間中的某個中心點相距固定距離一樣，三維球（或「三球」）是所有點的集合與相距一個固定距離二維空間中的一些中心點。

在三個空間中的生活與在平坦空間中的生活感覺非常不同。為了感受一下，假設您是生活在二維球體內的二維人。二維球體是整個宇宙-您無法看到或訪問任何周圍的三維空間。在這個球形的宇宙中，光沿著最短的路徑傳播：大圓。對您而言，這些大圓圈感覺像直線。

現在，假設您和您的二位朋友正在北極閒逛，而您的朋友去散散步。當您的朋友溜走時，一開始它們會在您的視覺圈中變得越來越小，就像在我們的普通世界中一樣（儘管它們不會像以前那樣迅速收縮）。這是因為隨著您的視覺圈子的發展，您的朋友所佔的比例會越來越小：

但是一旦您的朋友經過赤道，就會發生一些奇怪的事情：他們離您越遠，它們看起來就越大。那是因為他們在您的視覺圈中所佔的百分比正在增加：

當您的朋友離南極10英尺遠時，它們的外觀就和離您10英尺遠時一樣大：

當它們到達南極本身時，您可以在各個方向看到它們，因此它們充滿了您的整個視覺視野：

如果沒有人在南極，那麼您的視線甚至更陌生：您自己。那是因為從您身上散發出來的光會一直圍繞球體，直到它返回您為止。

這直接延續到三維領域中的生活。三個球體上的每個點都有一個相反的點，如果那裡有一個物體，我們會將其視為整個背景，就好像它是天空一樣。如果那裡什麼也沒有，我們將視自己為背景，好像我們的外部已經疊加在氣球上，然後從裡到外並膨脹成整個地平線。

雖然三球體是球面幾何的基本模型，但它並不是唯一的空間。正如我們通過從歐幾裡的空間中切出一部分並將其粘合在一起來構建不同的平面空間一樣，我們可以通過粘合三個球體的合適塊來構建球形空間。這些粘貼形狀中的每一個都會像圓環一樣具有鏡面效果，但是在這些球形形狀中，只有有限的多個房間可以穿過。

我們的宇宙是球形的嗎？

即使是我們當中最自戀的人，也通常不會將自己視為整個夜空的背景。但是，就像扁平的圓環一樣，僅僅因為我們沒有看到現象，這並不意味著它就不存在。球形宇宙的周長可能大於可觀察宇宙的大小，從而使背景距離太遠而看不到。

但是與圓環不同，可以通過純局部測量來檢測球形宇宙。球面形狀與無限的歐幾裡得空間不僅在其全局拓撲結構上而且在其細粒度幾何形狀上都不同。例如，由於球形幾何中的直線是大圓，所以三角形比其歐幾裡得對應的三角形更膨鬆，並且它們的角度加起來超過180度：

實際上，測量宇宙三角形是宇宙學家測試宇宙是否彎曲的主要方式。對於宇宙微波背景中的每個熱點或冷點，其直徑和距地球的距離都是已知的，形成了三角形的三個邊。我們可以測量斑點在夜空中所成的角度-三角形的三個角度之一。然後，我們可以檢查邊長和角度測量值的組合是否適合平面，球形或雙曲線幾何形狀（其中三角形的角度之和小於180度）。

大多數此類測試以及其他曲率測量結果表明，宇宙要麼平坦要麼非常接近平坦。然而，一個研究小組最近認為，普朗克太空望遠鏡2018年發射點的某些數據而非球形宇宙的數據，儘管其他研究人員已經反駁了這一證據很可能是統計statistical幸。

雙曲幾何

與球體自身彎曲不同，雙曲線幾何體向外打開。這是軟盤帽子，珊瑚礁和馬鞍的幾何形狀。雙曲幾何的基本模型是無限的，就像平坦的歐幾裡得空間一樣。但是由於雙曲幾何向外擴展的速度比平面幾何快得多，因此除非我們願意扭曲其幾何形狀，否則就無法在普通的歐幾裡得空間內擬合二維雙曲平面。例如，這是稱為龐加萊圓盤的雙曲平面的變形視圖：

從我們的角度來看，邊界圓附近的三角形看起來比中心附近的三角形小得多，但是從雙曲線幾何的角度來看，所有三角形的大小都是相同的。如果我們嘗試使三角形實際上具有相同的大小-可能是通過使用彈性材料製作磁碟，然後從中心向外依次對每個三角形進行充氣-我們的磁碟將開始像軟盤帽子，並且隨著我們的使用，彎曲會越來越多努力向外發展。當我們接近邊界時，這種屈曲將失去控制。

從雙曲線幾何的角度來看，邊界圓與任何內部點都無限遠，因為您必須越過無限多個三角形才能到達那裡。因此，雙曲線平面在所有方向上都延伸到無窮大，就像歐幾裡德平面一樣。但是就局部幾何形狀而言，雙曲平面中的壽命與我們過去的生活有很大不同。

在普通的歐幾裡得幾何中，圓的周長與半徑成正比，但是在雙曲幾何中，圓的周長與半徑成指數增長。我們可以看到雙曲線盤邊界附近的三角形質量中的指數堆積。

由於此功能，數學家喜歡說在雙曲空間中很容易迷路。如果您的朋友在普通的歐幾裡得空間中離開您，它們的外觀會開始變小，但速度會變慢，因為您的視線迴圈並沒有那麼快。但是在雙曲線空間中，您的視覺圈呈指數增長，因此您的朋友很快就會縮小到成指數的小斑點。如果您沒有仔細跟蹤朋友的路線，以後幾乎不可能找到通往他們的道路。

在雙曲幾何中，三角形的角度之和小於180度-例如，龐加萊圓盤的平鋪中的三角形的角度之和等於165度：

這些三角形的邊看起來不是筆直的，但這是因為我們正在通過變形的透鏡查看雙曲幾何。對於龐加萊圓盤的居民而言，這些曲線是直線，因為從A點到達B點的最快方法是向中心走捷徑：

有一種自然的方法可以對龐加萊圓盤進行三維模擬，只需製作一個三維球，然後將其填充到接近邊界球時逐漸變小的三維形狀即可，例如龐加萊圓盤中的三角形。就像平坦和球形的幾何形狀一樣，我們可以通過剪裁出適當的三維雙曲球塊並將其面粘在一起來構成其他三維雙曲空間。

我們的宇宙是雙曲線的嗎？

雙曲幾何形狀具有狹窄的三角形和呈指數增長的圓，感覺不到適合我們周圍空間的幾何形狀。確實，正如我們已經看到的那樣，到目前為止，大多數宇宙學測量似乎都偏愛平坦的宇宙。

但是我們不能排除我們生活在球形或雙曲線世界中的可能性，因為這兩個世界中的小部分看上去幾乎都是平坦的。例如，球形幾何形狀的小三角形的角度之和僅略大於180度，而雙曲線幾何形狀的小三角形的角度之和僅略小於180度。

這就是為什麼早期的人們認為地球是平坦的-在他們能夠觀察到的尺度上，地球的曲率微不足道，無法檢測到。球形或雙曲線形狀越大，每個小塊就越平坦，因此，如果我們的宇宙是非常大的球形或雙曲線形狀，則我們可以觀察到的部分可能非常接近於平坦，因此只能通過以下方式檢測其曲率：我們尚未發明的超精密儀器。