接下來我們學習第二章-隨機變量及其分布，內容較多 ，我們分2次來學習。常用的概率分布及其數學期望與方差是我們這一章的重點，考試最喜歡考的，大多都是基礎題，我們必須要拿下。
上面看著整一頁圖比較亂，我們來梳理一下，脈絡還是很清晰的。 隨機變量分為離散隨機變量和連續隨機變量。
①離散隨機變量有概率分布列，特別注意它的分布函數，是一個有限級或可列無限級階梯函數。(必須理解，做題要用) 期望求法， 對應離散隨機變量期望公式 。
②連續隨機變量有概率密度函數，分布函數的導數為密度函數。注意，分布函數唯一，概率密度函數不唯一。 期望求法，對應連續隨機變量期望公式。
另外，我們要了解分布函數定義、數學期望的性質，非常重要。
對於方差，要知道它的含義是分布的散布特徵，方差越大，分布越分散。區別於期望，期望代表的是分布的位置特徵。相同的是，它們都由分布決定。(切比雪夫不等式可以暫時略過)
重點來了，這張概率分布表，要做到很熟悉。方法就是，多做題(後期會分享一些概率論中典型例題)。會做題的前提是，了解每一種分布的背景，下面一個個來介紹。
以下 (1)~(4)為離散概率分布，重點1.2，了解3.4
(1)二項分布(0-1分布) X~(n,p)
①背景：n重伯努利實驗中成功的次數X服從二項分布b(n,p)(對應第一章中放回抽象模型)。特別地，當n=1時，為0-1分布(或稱二點分布)。
②期望與方差：利用本文第一張圖中的離散隨機變量期望公式推導得np，方差利用平方的期望減去期望的平方，即σ=E(X＾2)-E(X)＾2=np(1-p)。當令n=1時，即為0-1分布的期望 (p)與方差(p(1-p))。
(2) 泊松分布 X~P(λ) 其中λ>0
①背景：單位時間(或單位面積、單位產品等)上某稀有事件發生的次數常服從泊松分布，λ為稀有事件發生的概率。
②期望與方差：利用離散隨機變量期望公式推導，得期望λ，方差與(1)中一樣利用公式得方差為λ。(這兩個推導過程中注意利用e^λ的泰勒展開式，其中第二個先把k拆成k+1-1，用乘法分配律打開再利用泰勒展開。)
註：當二項分布中p很小時，二項分布可以由泊松分布近似，有興趣可以搜泊松定理。
(3)超幾何分布 X~h(n,N,M)
①背景：設有N個產品，其中有M個不合格品，從中不放回隨機抽取n個，則其中含有不合格品的個數X服從超幾何分布h(n,N,M) (第一章學過，記不記得不放回抽樣模型)。
②期望與方差：同上套公式，不累贅了。 期望為nM/N， 方差為 nM(N-M）(N-n)/（N＾2）(N-1)
註：當n遠小於N時，可看似放回抽樣，即超幾何分布可以用二項分布近似。
(3)幾何分布 X~Ge(p)
①背景：在伯努利實驗序列中，成功事件A首次出現時的實驗次數X服從幾何分布Ge(p) ，其中 p為每次實驗中A發生的概率。
②期望與方差：推導比較麻煩，令p=1-q，利用逐項微分。期望為1/p，方差為1-p/p^2
註：幾何分布具有無記憶性，前m次實驗A沒有出現，後n次實驗A出現的概率只有n有關，與m無關。
(4)負二項分布(帕斯卡分布)X～N
①背景：在伯努利實驗序列中，成功事件A第r次出現的實驗次數X服從負二項分布X~Nb(r.p)，其中r為正整數，0<p<1。
②期望與方差：期望為r/p，方差為r(1-p)/p^2
註：k次伯努利實驗序列中，最後一次一定是A，前r-1次出現r-1次，服從二項分布，再乘以最後一次A出現的概率p得負二項分布分布列。
以下(5)～(7)為連續概率分布，後面的不是重點不做解釋了，有興趣可以去翻翻書 。
(5)正態分布 X~N(μ，σ＾2)
①背景：一個變量若是由大量微小的、獨立的隨機因素的疊加結果，則次變量一定是正態變量。例如測量誤差常認為服從正態分布。
②期望與方差：期望為μ，方差為σ^2這些不用解釋都應該很熟悉的。其中μ
為正態分布位置參數，σ為正態分布的尺度參數(標準差)。
註：①正態分布標準化很重要，這樣才能查表，做題經常用到 ，套本文第二張圖的標準化公式。
(6)均勻分布 X~U(a.b)
①背景：向區間(a.b)隨機投點，落點坐標X服從均勻分布U(a.b)
②期望與方差：期望（a+b）/2，方差
(b-a)^2/12，這部分是連續隨機變量，套公式計算用積分，別混淆了。
(7)指數分布 X~Exp(λ)
①背景：若一個元器件遇到外來衝擊時即告失效，則首次衝擊來到的時間X(壽命)服從指數分布。
②期望與方差：期望為1/λ，方差為 1/λ^2，計算時積分用分部積分法。
註：指數分布具有無記憶性
至於伽瑪與貝塔這裡就不介紹了，有興趣的自己去看看，考試不是重點 。
如果有什麼錯誤，還請評論中批評指出，我們一起學習，一起進步。