半個月學完概率論與數理統計(第四章),大數定律與中心極限定理

大家好，我是小木頭。今天我們接著學習概率論與數理統計，第四章大數定律與中心極限定理。先說重點，好像平時考試、考研數學裡這一章不是重點。

①理解三種大數定律，努利大數定律、切比雪夫大數定律、辛欽大數定律。

②兩種中心極限定理，林德伯格-萊維中心極限定理、棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理。 (名字有點長啊)

不會就學起來

疫情期間出不了門，大家有沒有想學校了。學習了，大家根據自己需求看對應部分。

目錄(參見茆詩松版概率論)

(一)隨機變量序列的兩種收斂性

(二)特徵函數

(三)大數定律

(四)中心極限定理

(一)隨機變量序列的兩種收斂性

(1)先看基本內容概要

基本知識

(2)現在小木頭來解釋：

① 兩種收斂性是哪兩個：依概率收斂與按分布收斂

② 依概率收斂的含義：X對X的絕對偏差小於任一給定量的可能性將隨著n增大而愈來愈接近1。(注意記住依概率收斂的符號)

特別地，X是退化分布(單點分布)時，

P(X=c)=1，序列｛X｝依概率收斂於c

③ 依概率收斂於常數有四則運算。(類似數列極限)

④按分布收斂和弱收斂本質是一樣的，只是從不同角度描述，按分布收斂是從隨機變量說的，弱收斂是從分布函數說的。

⑤ 依概率收斂比按分布收斂收斂性更強，也就是前一個可以推後一個。

⑥極限隨機變量服從退化分布時，按分布收斂與依概率收斂等價。(這些是重點，一些細枝末節就不說了)

(二)特徵函數

(1) 看基本概念(大概過一下吧，考試不是重點，證明也不好寫清楚，歐拉公式、泰勒公式什麼的都有涉及)

基本概念

(2)咱們挑點重點來解釋：

① 連續隨機變量X的密度函數為p(x)，X的特徵函數實際就是p(x)的傅立葉變換。

② 特徵函數在計算中威力很大，例如前面講的各種分布的可加性，用卷積公式證明是麻煩的，你看一下第(4)條性質，直接得到答案了。(神奇吧)

性質第(5)條可以用來算數學期望，求求導就可以通過特徵函數求期望 。

其它理解不了就算了，數學專業統計專業除外。

看一下常見分布特徵函數

(三)大數定律

(1)看基本概念

概念

(2)解釋

① 伯努利大數定律示了概率和頻率的關係，概率是頻率的穩定值。

隨機變量序列條件：二項分布

② 切比雪夫大數定律揭示了樣本均值和真實期望的關係。

隨機變量序列條件：獨立

③ 辛欽大數定律揭示了算術平均值和數學期望的關係。提供了求隨機變量數學期望近似值的方法。

隨機變量序列條件：獨立同分布

註：從要求可以看出，辛欽大數定律、伯努利大數定律都是切比雪夫大數的特例，馬爾可夫只要了解它對同分布、獨立性、相關性這些沒有任何要求，更一般)

說這麼多，大數定律到底說什麼？我見到最通俗的解釋是：當樣本足夠大了(也就是出現規律了)，可以反映總體真實情況的組成，明白這一點就OK啦。

我相信很多童鞋已經懵了，說一下，大數定律不用記，重在了解，大數定律在概率論中可以說是處於核心地位，但出題不多。

加油

(四)中心極限定理

(1)看概念

中心極限定理

(2)解釋(我們只看常考的兩種)

林德伯格-萊維中心極限定理：

① 是獨立同分布下的中心極限定理，揭示了測量誤差近似地服從正態分布。

② 注意Φ(y)是標準正態分布，怎麼理解？不管原來是什麼分布，只要n充分大，就可以用正態分布去逼近隨機變量和的分布。(學到後面矩估計就能明白了)

棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理：

① 看定理條件，它是針對二項分布的 ，是二項分布的正態近似。(等到後面學到估計就會全明白了)

剩下的兩個中心極限定理說的是獨立不同分布下的中心極限定理(有興趣就看下，沒興趣就跳唄)

中心極限定理

來來來，怎麼最通俗理解中心極限定理：當樣本量足夠大時，樣本均值的分布近似變成正態分布。

下課了

好了，今天分享就到這裡了，是不太好理解，加油。有什麼不對的地方，還請批評指正。碼字不易，喜歡的同學可以點個關注哦。後續會持續更新，高數、線代等等，下回見。

因為喜歡，所以堅持。