真空災難：物理學最著名的未解難題之一

全文共4794字，預計學習時長12分鐘

圖源：unsplash

量子場論（QFT）是粒子物理學標準模型（包括電弱相互作用和強相互作用理論）的框架，量子電動力學（QED）以前所未有的精確度預測了物理量的值。例如，µ子磁偶極矩的實測值為233 184 600 (1680) × 10⁻¹¹，通過QED理論預測得到的值為：233 183 478 (308)× 10⁻¹¹。理論預測值與實測值的高度一致著實令人震驚。

量子場論之所以如此出名，也與其散度息息相關。其中最重要的散度當屬真空能量密度（或真空期望值，通常將其稱為VEV）。每個量子場都對應一個發散的零點能量。所有模態相加（直到物理學上合理的能量或頻率截止為止），就會得到一個巨大的真空能量密度值。

（圖1：費曼圖中所示的量子場論中散度的例子。左圖中，一個光子產生了一個虛電子-正電子對，隨後湮滅（真空極化）。右圖中，一個電子發射並重新吸收了一個虛光子（自能）。
）

然而，廣義相對論預測的和實驗觀察到的真空能量是非常小的。兩種理論得出的預測值截然不同，結果相差120個數量級。

宇宙常數問題，又名真空災難，是現代物理學中最重要的未解難題之一。真空能量密度的實驗測量值與通過量子場論推測出的理論零點能之間存在巨大差距，而宇宙常數問題恰恰是這一巨大差距的體現且比這一差距還要大得多。霍布森（Hobson）、埃夫斯塔修（Efstathiou）和萊曾比（Lasenby）（這三人名字首字母縮寫為HEL）將其稱為「物理學史上最糟糕的理論預測」。

考慮引力時，計算這一能量密度就十分困難，因為在廣義相對論中，任何形式的物質或能量都必須加上真空能量（在其他場中，可以減去真空能量，這個稍後再討論）。

愛因斯坦引力理論概覽

1915至1916年間，愛因斯坦總結出廣義相對論的公式。其引力場方程表明，時空扭曲是由該區域附近物質及輻射的能量和動量造成的。

圖2：由於太陽的存在而導致的時空扭曲。

下圖說明了時空曲率和其內部能量與動量之間的對應關係：

分別用張量G，R，T表示，方程為：

方程1：用愛因斯坦張量G，裡奇曲率張量R，和標量曲率R（裡奇張量R的跡）表示的愛因斯坦引力場方程。

裡奇曲率張量R度量了時空的幾何特性究竟偏離尋常歐氏空間幾何特性的程度。

圖3：流形（此處為正曲率）的幾何特性（在此圖中為兩點之間的距離）與尋常歐氏空間幾何特性之間的不同。

方程1中的張量g為度規張量g：

方程2：度規張量g。

對應的線元（表示無窮小位移）可表示為：

方程3：對應張量g的線元。

圖4：三維歐氏空間中的矢量線元dr（綠色部分），其大小的平方等於線元。

右邊的張量T為能動張量。它包含了能使時空變形的物質和能量信息。

方程4：能動張量T的分量。

宇宙學概覽

在廣義相對論提出一年之後，1917年，愛因斯坦在《廣義相對論下的宇宙學思考》一文中將廣義相對論應用於整個宇宙（當時物理學界認為宇宙只有銀河系），這篇論文的發表標誌著現代宇宙學的誕生。

在這篇論文中，愛因斯坦把整個宇宙假想成一個靜態的封閉空間幾何體（一個有限卻沒有邊界的三維球體）。然而，愛因斯坦通過廣義相對論推算出宇宙是不斷收縮的，而非靜態的。為了解釋靜態宇宙的存在，愛因斯坦只能將一個新的項——宇宙常數Λ（物質和真空能量的恰當組合）引入方程1：

方程5：含有新項宇宙常數Λ的愛因斯坦引力場方程。

人們所知的宇宙便是愛因斯坦的靜態宇宙，並不具有實踐意義。

圖5：愛因斯坦和他於1917年發表的論文，在文中他將廣義相對論應用於整個宇宙。

愛因斯坦之所以能將與引力g相關的宇宙常數引入方程1，主要是因為G和T的協變導數∇都為零：

方程6：G和T的協變導數∇都為零。

由於度規張量也具有這一性質，

方程7：度規張量的協變導數為零。

因而引入這一項並不會破壞方程的一致性。在弱場極限（或牛頓極限）的條件下，可以得到如下方程：

方程8：通過牛頓極限可以看到，宇宙常數Λ是一種萬有斥力，與距離r線性相關。

可以看到，宇宙常數Λ是一種萬有斥力，與距離r線性相關。

膨脹的宇宙

然而，1929年，美國天文學家愛德文·哈勃發現：

· 幾個被認為是塵埃和氣體雲的物體實際上是銀河系以外的星系，是在愛因斯坦將宇宙常數Λ引入引力場方程之後才為人們所知曉的。

· 河外星系退行速度的加快與其到地球的距離相關（即「哈勃定律」）。

· 他的發現，以及先前比利時天主教神父、數學家、天文學家喬治·勒梅特的研究都認為宇宙在不斷膨脹。

圖6：如何計算哈勃常數。

因此，正如愛因斯坦自己所想，宇宙膨脹表明沒有必要引入宇宙常數。在與烏克蘭裔物理學家和宇宙學家喬治·伽莫夫的一次談話中，愛因斯坦提到引入宇宙常數是他一生中犯下的最大錯誤。

圖7：愛德文·哈勃（左）和喬治·勒梅特（右），他們的研究表明宇宙正在不斷膨脹。

另一種視角看宇宙常數

而今，人們以一種全新的視角來看宇宙常數。事實上，正是由於宇宙常數的存在才有了這一驚人的實驗結果：我們的宇宙不僅在膨脹，而且在加速膨脹。膨脹的各個階段如下圖所示。當遙遠星系的退行速度隨時間的推移而加快時，就會出現加速膨脹。

圖8：宇宙加速膨脹。

弗裡德曼-勒梅特-羅伯遜-沃爾克（FLRW）度規

如果存在一個非常大的區域（如星系團，其範圍達到100 Mpc，1Mpc=1000000pc，其中1pc相當於31萬億公裡），那麼宇宙的幾何形狀（度規空間）近似均勻（在所有位置都相同），各向同性（在所有方向都相同）。（參見圖10）

圖9：IDCS J1426星系團的質量約為500萬億個太陽的質量。

下圖闡明了各向同性和均勻性概念：

圖10：各向同性和均勻性概念。

基於這些假設，就可以算出愛因斯坦引力場方程的解，推測出宇宙是一個常曲率空間，即弗裡德曼-勒梅特-羅伯遜-沃爾克（FLRW）宇宙。其空間可以用不同的方程表示。一種方程為：

方程9：表示FRW度規空間的一個方程。

其中函數a(t)是和宇宙大小相關的宇宙標度因子。參數k描述了FLRW度規的幾何形狀。k可能為+1、0、-1，分別對應正曲率宇宙、零曲率宇宙和負曲率宇宙。

圖11：方程9中k的三個可能取值分別為1、0、-1，分別對應正曲率宇宙、零曲率宇宙和負曲率宇宙。

引入球坐標系：

方程10：用無量綱徑向曲率表示的球坐標系。

圖12：球坐標系，圖中的r就是方程10中帶波浪號的r。

定義坐標：

方程11：通常在r上方標註 ~ 來表示參數r。

其中波浪號 ~標識一般徑向變量FLRW度規，現在引入時間部分，線元就變成了下面這個方程：

方程12：表示FLRW線元的一種更加簡便的方法。

時空中的點和時空坐標是兩個不同的概念，理解這一點非常重要。坐標是賦給點的標籤，因此坐標的選擇不會改變物理定律。坐標r、θ、ϕ被稱為共動坐標。隨著宇宙標度因子a(t)的增大，點與點之間的距離也隨之增大，但共動坐標系中的距離保持不變。

圖13：圖中宇宙標度因子R(t)對應函數a(t)。

假設大範圍的各向同性和均勻性，能動張量T成為「完美流體」的能動張量：

方程13：完美流體的能動張量。

其中ρ為質量-能量密度，p為流體靜壓力。

完美流體的定義：

· 完全由靜止坐標系中的質量密度ρ和各向同性壓力p表示。

· 沒有剪切應力、粘度或熱傳導。

圖14：一個完美流體流過一個無限長的圓筒。

例如，T在靜止坐標系中，那就變得簡單多了：

方程14：完美流體在靜止坐標系中的能動張量。

有了更簡單的T，就可以只用兩個量來描述物質——密度ρ和壓力p：

需要注意，二者都只與宇宙標度因子a(t)相關。然後，愛因斯坦引力場方程就變成了著名的刻畫標度因子的弗裡德曼方程：

方程15：當能動張量均勻且各向同性時，弗裡德曼方程便是愛因斯坦引力場方程。

圖15：俄羅斯物理學家亞歷山大·弗裡德曼，攝於1922年前後。

第三個重要的方程是狀態方程，即方程6右邊描述FLRW宇宙的方程：

方程16：描述FLRW宇宙的狀態方程。

根據霍布森、埃夫斯塔修和萊曾比三人的研究，現在討論一些狀態方程特殊且壓力為負的未知物質：

方程17：由宇宙常數Λ造成的真空能量為正時，壓力p<0。負壓驅動de加速膨脹。

在此情況下，張量T用（參見完美流體中T的表達式）如下方程表示：

方程18：由於T只與時空的幾何形狀相關，T表示真空本身的一種性質，ρ則為真空能量或空間的能量密度。

張量T與坐標的選擇無關。此處需要注意：T只與時空的幾何形狀（通過g）相關。因此，它是真空本身的一種性質，ρ則為真空能量或空間的能量密度。現在對比一下方程5和方程19。宇宙常數項和g形式相同。可以寫作如下方程：

方程19：真空能量或空間的能量密度。

因此，宇宙常數等價於真空能量密度：

方程20：引入宇宙常數即表明真空能量密度的存在。

愛因斯坦引力場方程就變為：

方程21：含有真空能量張量的愛因斯坦引力場方程。

解方程16得：

方程22：真空能量密度守恆，因此它最終決定了物質和能量密度。

宇宙學觀測得到以下方程：

方程23：能量密度Λ（即真空能量）的值是通過宇宙觀測得到的。

ΛCDM模型

根據ΛCDM模型（英文：Lambda-CDM model，為Λ-冷暗物質的簡稱），宇宙進入暗能量主導的時期後，加速膨脹開始了。

圖16：宇宙能量大致可劃分為物質、暗物質和暗能量。

正如前面所解釋的那樣，宇宙加速膨脹是因為宇宙常數為正（Λ> 0）。後者相當於一種正能量形式，即暗能量。目前在宇宙學標準模型中使用的描述主要包括暗能量和假想的暗物質。

圖17：物理學家根據暗能量的性質預測的宇宙的三種可能結局。

然而，正如物理學家肖恩·卡洛爾（Carroll）所言，廣義相對論有以下特點：在非引力物理學（如電磁學）中，只有能量差異與描述物體的運動（能量零點是任意的）有關，在廣義相對論中能量的值必須是已知的。那麼問題來了：如果能量零點是空態能量，那麼真空能量是多少？物理學中最重要的未解難題之一就是如何回答這個問題。

用量子場論計算真空能量

用量子場論可以計算任何量子場的量子力學真空能量（或零點能）。這一計算結果可能比通過宇宙學觀測得到的上限高出120個數量級。人們相信存在某種方法可以使Λ達到無窮小但不等於零。來計算一下存在於整個宇宙的真空量子能。

圖18：根據海森堡測不準原理，波動虛粒子躍起又消失，因此在短時間內違反能量守恆。

為了計算簡便，可以假想一個實無質量標量場φ（而非複雜的電磁場），標量場φ由一個真實的函數φ(x，t)表示。在此情況下，經典哈密頓函數為：

方程24：經典實無質量標量場的自由哈密頓量。

現將經典場φ按標準量化。對量子真空態取期望值，得到真空能：

方程25：真空的能量。

用產生和湮滅算符來表示場，進行簡單的代數運算，得到真空期望值（在沒有粒子的情況下）的如下表達式：

方程26：真空的能量。

方程26中的第二項表明真空期望值（VEV）是無限的。VEV的無限貢獻值就是宇宙常數。正如卡洛爾所指出的，無限值並不是可能無限大空間的結果：它是我們對高頻模態求積分的結果。如果我們用截斷展開法求積分極限，就會得到：

方程27：除極高頻模態外的真空能量。

如果QFT對像普朗克能量一樣高的能量有效，就可以得到：

方程28：當QFT對像普朗克能量一樣高的能量有效時，VEV的數量級。

用方程28除以方程23，就得到了著名的係數120。

留言點讚關注

我們一起分享AI學習與發展的乾貨

如轉載，請後臺留言，遵守轉載規範