【量子物理學】黑體輻射的「紫外災難」與能量量子化

　　引言：物理學發展到19世紀末期，可以說是達到相當完美、相當成熟的程度。19世紀的最後一天，歐洲著名的科學家歡聚一堂。會上，英國著名物理學家W．湯姆生（即開爾文男爵）發表了新年祝詞。他在回顧物理學所取得的偉大成就時說，物理大廈已經落成，所剩只是一些修飾工作。

　　但美麗而晴朗的天空卻被兩朵烏雲籠罩了。第一朵烏云： 「以太說」 破滅；第二朵烏云：黑體輻射與「紫外災難」。

　　尋找以太的零結果，愛因斯坦創立了現代物理大廈之一：相對論。

　　熱輻射的紫外災難的解決 ，普朗克等人建立了現代物理大廈之二：量子論。

1、熱輻射的基本概念

　　所有物體在任何溫度下都要發射電磁波，這種與溫度有關的輻射稱為熱輻射。熱輻射的電磁波的波長λ、強度與物體的溫度T有關，還與物體的性質表面形狀有關。

　　 單色輻出度M(λ,T)：為了描述物體輻射能量的能力，定義物體單位表面在單位時間內發出的波長在λ附近單位波長間隔內的電磁波的能量為單色輻出度。

　　輻出度M(T)：物體從單位面積上發射的所有各種波長的輻射總功率稱為物體的總輻出度。

　　吸收比α(T)：當輻射從外界入射到物體表面時，吸收能量與入射總能量之比，是吸收能力的量度。

　　單色吸收比α(λ,T): 當輻射從外界入射到物體表面時，在λ到λ+dλ的波段內吸收的能量與入射的總能量之比。

2、基爾霍夫定律

　　實驗發現，在溫度一定時物體在某波長λ處的單色輻出度與單色吸收比的比值與物體及其物體表面的性質無關，即

　　能完全吸收各種波長電磁波而無反射的物體稱為黑體。黑體的吸收比和單色吸收比為100%。黑體能吸收各種頻率的電磁波，也能輻射各種頻率的電磁波。黑體是理想模型，在不透明材料圍成的空腔上開一個小孔。該小孔可認為是黑體的表面（因為從小孔入射的光線須經空腔內壁多次反射後才有極少部分可能射出小孔）。

　　實驗規律發現：在溫度一定時黑體的單色輻出度與波長有關，並存在一極大值，所對應的波長為λm，且溫度T升高，λm下降。

　　上述全波段的黑體輻射規律是基於以下幾個實驗規律逐步建立的：

（1）斯特藩—玻耳茲曼定律：實驗證明，黑體的總輻出度M0(T)（每條曲線下的面積）與溫度的四次方成正比，即

　　σ=5.67×10- 8 W/(m2K4)，稱為Stefen恆量。

（2）維恩位移定律：黑體輻射中單色輻出度的極值波長λm與黑體溫度T之積為常數，即

　　b=2.898×10-3 m·K，稱為Wien常數。

　　以上兩個實驗定律是遙感、高溫測量和紅外追蹤等技術的物理基礎。

（3）維恩公式（非前面的維恩位移定律）：假定電磁波能量分布服從類似於經典的麥克斯韋速度分布律，可得

（4）瑞利-金斯公式：瑞利-金斯從經典的能量均分定理出發，得到

（5）普朗克公式：普朗克利用內插法，使兩個波段分別與維恩公式和瑞利—金斯公式一致，得到正確的黑體輻射公式

　　

　　 υ 是電磁波的頻率。

　　維恩公式在低頻段，偏離實驗曲線；瑞利—金斯公式在高頻段（紫外區）與實驗明顯不符， 短波極限為無限大——「紫外災難」。而普朗克公式在全波段與實驗結果驚人符合！

　　按照經典電磁理論，空腔內的熱平衡輻射由一系列駐波組成，每一頻率的駐波振動可對應同頻率的簡諧振子振動。空腔中的電磁波能量分布可等效為一系列頻率的簡諧振子的能量分布。經典理認為振子的能量取連續值，其中維恩公式和瑞利-金斯公式正是基於這一假設得到的。

普朗克為了從理論上解釋他所得到的半經驗公式，他大膽地假設：振子振動的能量是不連續的，只能取最小能量ε0的整數倍。ε0 =hν同振子的頻率成正比，稱為能量子，其中h = 6.6260755×10 -34 J·s稱為普朗克常數。由此他導出黑體的輻出度

為振子的平均能量。 

　　 在熱平衡態中能量為ε的概率正比於（玻爾茲曼正則分布）。按照經典物理學的觀念，諧振子的能量ε在0到∞區間內連續取值，從而 

　　若採用能量子假說，則上式中的積分轉變為數列求和，即

進而得到

 　　對於短波，hν>>kT，>>1，普朗克公式退化為維恩公式；對於長波，hν<<kT，，普朗克公式過度到瑞利-金斯公式。 

　　從經典物理學的眼光來看，能量子假說是如此的不可思議，就連普朗克本人也感到難以置信。他曾想儘量縮小與經典物理學之間的矛盾，宣稱只假設諧振子的能量是量子化的，「量子」的含義即不連續取值，而不必認為輻射場本身具有不連續性。但更多的事實將迫使人們承認，輻射場也是量子化的。

　　普朗克因闡明光量子論而獲得1918年諾貝爾物理學獎。