黑體輻射叛逆經典 普朗克釋放量子妖精

編者按：

1900年4月，著名物理學家開爾文男爵發表了他的著名演講，提到物理學陽光燦爛的天空中漂浮著的「兩朵小烏雲」。誰能想到，其中的一朵竟引發了一場顛覆經典物理學的量子革命。在這場至今仍未完成的革命中，多少英雄前僕後繼，為量子大廈夯實根基、添磚加瓦……

從去年11月開始，「賽先生」特邀美國理論物理博士、科普作家張天蓉，開設「量子群英傳」專欄，通過一個個生動的人物故事，將量子物理的百年歷史娓娓道來。

本文為「開天闢地」的第一回：黑體輻射叛逆經典 普朗克釋放量子妖精。

量子學之父，已垂垂老矣

1946年夏天的英國劍橋，彎彎曲曲的劍河兩岸，既有壯觀的哥德式風格建築，又有柳綠青翠的田園風光。一位老者，步履蹣跚地徘徊於一條田間小路，若有所思，若有所憶，不經意間撞到一個正在玩耍的小男孩。

男孩金髮碧眼，看似八、九來歲，觀此身著西裝之老者：飽滿的前額，幾根稀疏的頭髮，紋絲不亂地貼在光禿禿的大腦門上，眼鏡下透出的目光，雖沉穩卻顯無力。男孩感覺他不似當地人，於是張口便問：「老爺爺何方人士？」

老者見孩子聰明可愛，布滿皺紋的臉上浮起一絲難得的笑容，仿孩子的語氣答曰：「在下德國人普朗克是也！」

不料男孩眼睛一亮：「莫非是那位打開潘多拉魔盒，放出了量子小妖精的馬克斯·普朗克？」

老者道：「正是敝人......」

孩子喜出望外：「啊，原來你就是前輩們常提起的量子之父！久仰久仰！」

男孩立即興奮地拉住老者不放，要聽他講量子妖精的故事......

圖源：colnect.com

這段對話是筆者杜撰的，但場景和年代卻是真實的。那年剛剛停止戰亂，大局方定。已經88歲的普朗克，支撐著虛弱不堪的病體，從柏林來到英國，參加英國皇家學會舉辦的，因戰亂而推遲了四年的牛頓誕辰300周年紀念會。在所有與會科學家中，普朗克是唯一受到邀請的德國人，這固然是基於他在科學界的崇高地位。

田間漫步的普朗克，當年的確是到了行思坐憶的年齡，小男孩的一連串問題勾起了他的回憶，往事一樁樁浮上腦際......

這次來參加他畢生崇拜的物理學祖師爺牛頓之300年冥壽紀念會，怎能不回憶自己 「理解和質疑同在，保守與創新共存」 的學術生涯？皇家學會邀請的專家遍布世界各地，周培源、錢三強、何澤慧等中國物理高手亦受邀請。當年的德國人中不乏有名的物理學家，紀念會卻獨請他一人。

悲情偉人，以國以民為先！作為一個熱愛德意志的戰敗國國民，他是否會反思他那盲目的愛國情懷？他又怎能不緬懷他的民族及自己坎坷磨難的一生呢？還有他破碎的家庭和兩次大戰中失去的親人……

況且，他來參加會議的目的之一，仍然是企圖戰後重建德國科學界的地位。

馬克斯·普朗克 （Max Planck，1858-1947） 出身於一個學術家庭，曾祖父和祖父都是神學教授，父親是法律教授。普朗克是父親這個大家庭中的第六個孩子，在德國北部之城基爾出生。

普朗克從小就是科學的信徒！牛頓的信徒！經典物理的信徒！雖然他很有音樂天賦，唱歌彈琴都很在行，還曾經準備攻讀音樂，但最後仍然捨棄不了更為鍾愛的物理！

他的大學數學老師亦嘗勸之：棄物理，學別的！因為物理那兒已經有了牛頓和麥克斯韋之理論，經典物理學的大廈完美無缺，凡事皆有路可循、有道可通，似乎已經無題可究、無物可修了，剩下的只是打掃垃圾、填補漏洞而已！

普朗克則淡然答之：「吾並非期待發現任何新大陸，僅望深入理解已存之物理學基礎，知足也。」

愛因斯坦在1918年4月由柏林物理學會舉辦的普朗克60歲生日慶祝會上發表演講曰：「科學殿堂各式各樣人物多矣，或求智力快感者，或欲追名逐利者。普朗克卻非此二類人士，純粹為虔誠物理之信徒，此吾所以深愛之也。」

1877年，普朗克轉學到柏林洪堡大學，在著名物理學家亥姆霍茲、基爾霍夫，數學家卡爾·魏爾施特拉斯手下學習。普朗克雖然在學術上受益匪淺，但對老師們的教學態度則不以為然。例如，普朗克如此評論亥姆霍茲：「他讓學生覺得上課很無聊，因為 （他） 不好好準備，講課時斷時續，計算時經常出現錯誤。」這些經驗，促使普朗克自己後來成為一個嚴肅認真、從不出錯的好老師。

1879年，年僅21歲的普朗克獲得了慕尼黑大學的博士學位，論文題目是《論熱力學第二定律》。在度過了相對平靜的十幾年教職生涯後，從1894年開始，普朗克被黑體輻射的問題困惑住了！

解黑體輻射，玩數學遊戲

黑體是什麼？黑體輻射又是什麼呢？

黑體可被比喻為一根黑黝黝的撥火棍，但黑體不一定「黑」，太陽也可被近似當作黑體。在物理學的意義上，黑體指的是能夠吸收電磁波，卻不反射不折射的物體。雖然不反射不折射，仍然有輻射！正是不同波長的輻射使 「黑體」 看起來呈現不同的顏色。

例如，在火爐裡的撥火棍，隨著溫度逐漸升高，能變換出各種顏色：一開始變成暗紅色，然後是更明亮的紅色，然後是亮眼的金黃色，再後來還可能呈現出藍白色。為什麼有不同的顏色呢？因為撥火棍在不同溫度下輻射出不同波長的光。換言之，黑體輻射的頻率是黑體溫度的函數 （頻率與波長成反比關係） 。

物理學家追求的，不僅要知其然，還要知其所以然，所以之後還有更深一層的 「所以然」！那麼，如何從我們已知的物理理論，得到黑體輻射的頻率規律呢？

圖源：wikipedia

那時候是19世紀末，已知的物理理論有：經典的電磁學、牛頓力學，還有波爾茲曼的統計、熱力學等......

1893年，德國物理學家威廉·維恩 （Wilhelm Wien，1864-1928） ，利用熱力學和電磁學理論證明了表達黑體輻射中電磁波譜密度的維恩定律，見上圖中的藍色曲線。

約翰·斯特拉特，人稱第三代瑞利男爵 （Rayleigh，1842-1919） ，基於經典電磁理論，加上統計力學，導出了一個瑞利-金斯公式，如圖中紅線所示。

但兩個結果都不如人意：維恩定律在高頻與黑體輻射實驗符合很好，低頻不行；而瑞利-金斯公式適用於低頻，在高頻則趨向無窮大，引起所謂 「紫外發散」 （也稱紫外災難） 。

普朗克一開始想到的，是玩弄簡單的數學技巧！既然有了實驗數據，便可以利用內插法，「造」 出一個整個頻率範圍內通用的數學公式來，將兩條不同的曲線融合成一條！磕磕巴巴地玩了幾年，他居然成功了，普朗克得到了一個完整描述黑體輻射譜R0(λ,T)的公式 （λ為輻射波長，T為溫度） :

式中c是光速，C1、C2是待定參數。在一定的參數選擇下，公式與黑體輻射實驗數據符合得很好。

量子小妖精，開闢新天地

普朗克當然不會滿足這種內插法帶來的表面符合，他追求的是更深一層的 「所以然」！做物理多年的思維方法告訴他：新曲線與實驗如此吻合，背後一定有它目前不為人知的邏輯道理。他並不認為他正在敲擊一扇通往新天地的大門，而是虔誠地相信，自然界的規律是可知的，科學將引導人們解釋它。

虔誠的科學信徒，只是虔誠地沿著科學指引的道路走下去，非功非利，如此而已！

不過，他走著走著，時而興奮，又時而迷惑。興奮的是，他發現有一種物理解釋可以使他用理論推導出那條正確的曲線！真是太好了，不需要用實驗數據進行 「內插」，而是純粹從理論，便可以推導出一個與實驗一致的結果。

但是，這種物理解釋使他迷惑，因為需要將黑體空腔器壁上的原子諧振子的能量，還有這些諧振子與腔內電磁波交換的能量，都解釋成一份一份的。簡單地用現在的物理術語說，就是黑體輻射的能量不是連續的，而是「量子化」的。

如果有了這個量子化假設，原來連續分配的能量方案就需要修改為量子化的分配方案，修改方案時需要用到波爾茲曼的統計力學，來重新推導量子化後能量分布的統計規律。

普朗克雖然專攻熱力學，對熵和熱力學第二定律有其獨特不凡的見解，但卻不知何故，他十分討厭波爾茲曼的統計力學方法。唉，為了導出能量量子化之後的輻射規律，普朗克就只好咬咬牙齒，拋棄成見，應用這種方法了。不過，統計力學很是爭氣，幫助普朗克在幾個月內便推導出了十分完美的結果，令他開心不已。

最後，公式(1)中的兩個參數C1、C2，變換成了另外兩個參數：k和h。k是大家熟知的波爾茲曼常數，那h是什麼呢?

總之，與對待參數C1、C2類似的方法，普朗克用從量子化理論推導的公式，擬合當時頗為精確的黑體輻射實驗數據，得到h=6.55×10^-34J·s，玻爾茲曼常數k=1.346×10^-23J/K。這兩個數值與現代值分別相差1%和2.5%。基於100多年之前的理論推導和測量技術，這已經可以算是夠精確了。

那一年正是1900年，著名物理學家開爾文男爵發表了他的著名演講，提到物理學陽光燦爛的天空中漂浮著的「兩朵小烏雲」，黑體輻射是其中之一。

當時的普朗克對新常數，也就是之後被人們稱為「普朗克常數」的h不甚了解。儘管不希望承認量子化能量的概念，但他心想：如此一個小量，難道會是一個妖精嗎？

42歲的普朗克，天性平和保守，反對懷疑和冒險，但這次面對了一個兩難局面。他戰戰兢兢地抬頭望天，身邊放著他完成了的論文，就像是童話故事中潘多拉的魔法盒子！這裡面藏著的小妖精該不該放出來呢？也許它能解決經典物理中的某些問題，驅除烏雲，恢復藍天！也許它將如同石頭縫裡蹦出的孫猴子，揮動金箍棒，將世界擾得個地覆天翻！

普朗克不願意釋放一個怪物出來擾亂世界，但又不甘心將自己鬥爭了6年的科學成果束之高閣。妖精總是要出來的，天意不可違啊。最後，普朗克決定不惜任何代價孤注一擲。1900年12月4日，普朗克在柏林科學院報告了他的黑體輻射研究成果，這個日子後來被定為量子力學之誕辰。從此之後，魔盒被打開，標誌著量子力學範疇的這個小精靈（h）就此誕生了。

其實在當時，普朗克的報告並未引起廣泛的注意，人們的思維具有慣性效應，總會產生時間延遲，科學家群體也難免。但只有普朗克自己，被自己釋放出來的小妖精擾得誠惶誠恐、坐臥不安。他在提出量子論之後的多年，竟然都在嘗試推翻這一理論。世界應該是連續的啊，怎麼會像樓梯那樣一格一格地跳呢？萊布尼茲就說過，「自然界無跳躍」。普朗克也如此認為，因此，他總想不用量子化的假設，也得到同樣的結果來解釋黑體輻射。

妖怪放出來了，又想把它壓回去關起來，談何容易！普朗克努力多年未果，最後只好承認妖精的存在，也對一般的科學質疑發表了幾句似是而非的話語：

要接受一個新的科學真理，並不用說服它的反對者，而是等到反對者們都相繼死去，新的一代從一開始便清楚地明白這一真理。

普朗克常數h引出的量子故事還長著呢，我們暫且打住，回到量子之父其人。

悲情殉道者，晚年自唏噓

普朗克幸福的家庭，就像他的經典物理信仰一樣，在兩次戰爭中崩塌。

普朗克的妻子於1909年去世，他的長子在戰場戰死，兩個女兒戰爭期間死於難產。他的二兒子埃爾文被捲入到刺殺希特勒的事件中，因此被納粹投入監獄。普朗克曾經上書希特勒，卻也未能救出他的兒子——埃爾文於1945年被處以絞刑。

在普朗克87歲那年，他位於柏林的家在一次空襲中被摧毀，他的藏書和許多研究成果都沒有了……

到劍橋參加牛頓誕辰300年紀念會後的第二年，普朗克在哥廷根逝世。

他的墓碑恐怕比誰的都要簡單：一塊長方形的石板，上方刻著 「MAX PLANCK」。

最底部粗看像花紋，細看才發現，圖案中間刻著一串數字：h=6.62·10^-34W·s²。那是普朗克常數的近似值。他為人類科學作出的最大貢獻，是釋放了這個量子世界的小妖精！