原創 曹則賢 返樸
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普朗克是二十世紀最偉大的物理學家，連愛因斯坦對他也是恭敬有加。普朗克對熱力學、相對論、量子力學和統計物理有全面的貢獻，是他最先寫出了相對論標誌性方程E=mc2和統計物理標誌性方程 S=k
W。將熱力學方程 dU=TdS-pdV 改寫成
的形式，從而將熵 S 放到了主角的地位，這是普朗克得出正確的黑體輻射譜分布公式、引入輻射能量量子化 hν 的關鍵，也是熱力學過渡到統計物理的關鍵。在1900年以後的十多年裡，普朗克除了操心相對論動力學以外，思考熵、黑體輻射和能量量子化之間的內在不協調構成了他的「絕望行動」。1912年，普朗克再次發表了一篇關於黑體輻射的論文 (全文翻譯將發表在《物理》雜誌上) ，在一個新的振子輻射機制假設的基礎上，不僅又得到了一種黑體輻射譜分布公式的推導方式，還捎帶著第一次引入了對應原理以及零點能的概念。黑體輻射、對應原理和零點能，普朗克老師在這個層面上的一箭三雕，真正詮釋了什麼是「前無古人、後無來者」。
撰文 | 曹則賢（中國科學院物理研究所研究員）
所有學物理的人，按說都知道柏林大學教熱力學的普朗克老師 (Max Planck, 1858-1947) 。普朗克老師上大學時學物理不是為了將來有什麼成就，他說他就是想學懂物理，結果他還真做到了——經典力學、電動力學和熱力學，普朗克老師是全吃透了其精髓。普朗克老師學習物理肯定是下了狠功夫的，學物理掉頭髮的梗可能就是來自他老人家 (圖1) 。普朗克老師是相對論的奠基人，是熱力學的拓展者，是統計力學的反對者和擁護者。
普朗克老師是相對論的奠基人，在於他1906年就跟上了相對論研究，第一個寫出了質能方程 E=mc2，培養了第一個相對論專業的博士。此外，他還是第一個派助手勞厄 (Max von Laue，1879-1960. 勞厄也是相對論奠基人之一) 去看望那個窮困潦倒的年輕人愛因斯坦的，普朗克因此有愛因斯坦學術監護人的說法，後來還和愛因斯坦於1929年共同獲得了第一屆普朗克獎 (獲得用自己名字命名的大獎，不亦樂呵呵乎！�� �� ��) (圖2)。
普朗克是熱力學的拓展者，他是克勞修斯的學生，對熵有比別人更深刻的理解。將 dU=TdS-pdV 改寫成
的形式，這麼做的重大意義，愚以為是將熵放到了主角的位置上，所以這個方程叫作普朗克方程。由此方程得到的關係式
是推導黑體輻射公式的關鍵一步。
普朗克是統計力學的反對者和擁護者，他很難接受將嚴謹的、代數形式的熱力學轉化成由可能性統治的統計學問。在反對玻爾茲曼統計理論的人中，跳得最高的就數普朗克的助手策梅洛 (Ernst Zermelo, 1871-1953) 。然而，普朗克偏偏又是最熟悉統計物理的，熵公式 S=k
W 也是他寫出來的，在推導黑體輻射的過程中他嫻熟地使用了氣體運動論和統計物理知識，那個玻爾茲曼常數k就是普朗克在1901年的文章 [M. Planck, Über das Gesetz der Energieverteilung im Normalspektrum (標準譜能量分布律)，Annalen der Physik 4(3), 553(1901)] 中捎帶著引入的。
圖1. 青年普朗克與普朗克老師
圖2. 普朗克老師和愛因斯坦一起獲首屆普朗克獎(1929)
普朗克是量子論的先驅，但似乎不能算是量子力學的奠基人。在1900年的文章 [M. Planck, Zur Theorie des Gesetzes der Energieverteilung im Normalspectrum (標準譜能量分布律理論)，Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft 2，237–245(1900)] 中，普朗克用能量量子假設 ε=hν 再次得到了他在此前一篇文章 [M. Planck, Über eine Verbesserung der Wien'schen Spectralgleichung (維恩譜方程的改進), Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft 2, 202–204(1900)] 中得到的黑體輻射譜分布公式，即所謂的普朗克分布公式，
。
普朗克的這篇文章被當作量子論的開端，愚以為這與科學史的事實不符——玻爾茲曼1877年就引入了動能量子化得到了氣體的麥克斯韋分布公式，而量子化說到底還是回到了1854年黎曼引入quanta一詞時的本義，即幾何量子化。後來普朗克在其1913年的熱力學教程第二版中闡述了這一點，結果被印度青年玻色給讀懂了。在此後十餘年的時間裡，普朗克對待能量量子的態度同愛因斯坦等人的態度截然相反，可以說他並不期待一個所謂的量子理論而只是希望在新的物理理論中，作用量子h，普朗克嘴裡的Wirkungsquantum，危害小點兒就好。當然了，普朗克本人是一直在思考量子與黑體輻射問題的，他稱自己那些年裡的所作所為是絕望行動 (Akt der Verzweiflung) 。
然而，在1911年底，普朗克提交了當前的這篇論文 [Max Planck, Über die Begründung des Gesetzes der schwarzen Strahlumg, Annalen der Physik 37, 642-656(1912). 譯文全文「黑體輻射定律的依據」將發表在《物理》雜誌2020年第6期上] ，在一個新的振子發射機理的基礎上，普朗克再次得到了黑體輻射公式，這是普朗克自己的第三種黑體輻射公式推導方式，也是繼愛因斯坦在1906年, 1907年和1910年，洛倫茲在1908年，德拜在1910年，艾倫菲斯特在1911年各種花式推導黑體輻射公式後的新嘗試。這篇文章絕對是物理學史上裡程碑式的存在。在這篇文章中，普朗克不僅再次如願以償地得到了黑體輻射公式，關鍵是他還第一次使用了對應原理 (這是後來構建量子理論時會頻繁用到的一種方法，比如狄拉克就成功地用這個原理導出了量子化條件
) ，還第一次導出了振子的零點能，½hν。也就是說，普朗克老師在這篇文章中完成了物理學概念層面上的一箭三雕。就筆者所知，這應該算是絕無僅有的了，我不知道物理史上還有哪個單篇有如此高的成就。
如果要推舉近代物理史上前三個重要概念，我估計結果會是沒結果，眾說紛紜是必然的。但如果說黑體輻射、對應原理與零點能都是近代物理中重要的基礎概念，恐怕有異議的人不多。雖然，中文關於黑體輻射的介紹常常是熱力學、統計力學、光學或者量子力學教科書中的三言兩語，這反映的是作者的輕蔑而絲毫不影響黑體輻射是近代物理搖籃的地位，其博大精深是鮮有其匹的。黑體輻射的推導除了前述幾種推導以外，後來還有愛因斯坦1917年，泡利1923年，玻色1924年以及基於廣義相對論的多種推導，導出了受激輻射、散射理論、量子統計等概念甚至嶄新的物理領域 [參見曹則賢，黑體輻射公式的多種推導以及在近代物理構建中的意義，待發表] 。現在，讓我們仔細學習普朗克老師的這篇論文，看看他是如何做到一箭三雕的。普朗克在這篇文章中的各種驚豔操作是否合理、妙處何在，讀者諸君請自行體會。
普朗克老師首先指出，普朗克公式
此前的推導中有一個非常敏感的缺陷，即為了確定輻射強度對溫度的依賴關係，振子的能量一方面同空間中自由傳播的波動輻射強度聯繫起來，另一方面又被用作計算此種振子所構成體系之熵的基礎 (公式右側第二項) 。這前一個方面是電動力學的，第二個方面是統計的，而普朗克現在要做的，是找到將電動力學的處理方式與統計的處理方式統一起來的輻射公式推導。普朗克現在考察的還是一個充滿穩恆黑體輻射、由靜止的反射壁所圍成的真空腔體，其中存在一個由許多具有特定共同本徵振動的線性、獨立的振子所構成的系統，這些振子吸收和發射能量，但僅以電磁波輻射的形式。關于振子吸收能量過程的描述，普朗克用的就是簡單的受迫振動模型。運動方程為
，其中f是振子的偶極矩，Ez是偶極子軸方向上光場之電場強度的分量。注意，此方程不包含任何阻尼項。這樣的方程所描寫的振蕩，振子在從靜止狀態的 t=0 時刻算起，其振幅，因此其能量，是隨時間逐步增加的。這方面的具體計算不重要，略。
本文的神奇之處在於對具有一定能量的振子如何發射電磁輻射的假設。普朗克假設，振子只在其能量達到能量單元 ε=hν 的整數倍 nhν 時才會發射輻射，具體的因果性發射機制不知道，但發射以隨機的方式進行：發射的概率為 η，不發射而後繼續吸收能量的機率為1-η。也就是說，每一次當振子的能量 U 為 U=nhν 時，其將全部能量 U 發射出去的事件就可能發生，概率為 η，發射後振子回到靜止狀態開始下一輪的能量積聚。普朗克進一步地制定了振子的發射規則，其不發射的概率相對於發射的概率之比正比於激勵振子的那個外部振動的強度，J, 即
(1)
那麼，等式(1)裡的比例因子p該如何確定呢？普朗克認為，對於大的激勵振動強度J的值，振子的平均能量
應過渡到經典電動力學所要求的值。你看，就這麼不經意間，對應原理出場了。
下面給出在穩恆輻射場中振子的平均能量
。在N個完全發射了其能量的振子中，Nη是在達到第一個能量量子時發射的，N(1-η)η是在達到第二個能量量子時發射的，依此類推，N(1-η)n-1η是在達到第n個能量量子時發射的。由此可見，在穩恆輻射場中同時隨機挑出來的N個振子中，有Nη=NP0 個能量是在 0 到 ε 之間；N(1-η)η=NP1個能量是在ε到2ε之間；依此類推，有N(1-η)n-1η=NPn-1個能量是在 (n-1)ε 到 nε 之間，這裡
Pn=(1-η)nη (2)
是振子能量在nε 到 (n+1)ε 之間的概率。這樣，振子的平均能量
由如下方程給出
(3)
其中的 ½ε 是在有第一次發射機會前振子的平均能量，(n+½)ε 是經歷了n次發射機會但從未發射的振子的平均能量。注意，這裡的這個½是作為從0到1的均勻分布 (等測度) 之平均值的面目出現的。這個½，相較於後來人們恣意發揮的、怪力亂神式的零點能概念，非常好理解，也容易接受。
如上，在給定強度的穩恆輻射場中的N個相同振子組成之系統的能量分布，就這樣唯一地決定了。接下來，就能以熟知的方式計算系統的熵和溫度了。首先，系統的熵為
, (4)
注意這裡普朗克使用了新的熵表達式
，p是概率，一般教科書稱之為Gibbs 熵。根據(2)式, 得
. (5)
或者考慮到 (3)式，(5)式可改寫為
(6)
那麼，由此可得出溫度 (注意，這裡是熵對平均能量的微分。這一時期的文獻還有寫成熵對能量微分的。其總體思想都是去湊熱力學中內能、熵與溫度三者之間的關係
)
(7)
帶入ε=hν ，得
. (8)
於是有 T=0 時，
。絕對溫度接近0 K時，振子的平均能量不為0——咋，振子沒有被凍結，驚訝不？
這個 ½hν 怎麼解釋呢？普朗克老師說，這個與溫度無關的能量屬於「潛能 (latente Energie) 」，其對比熱容沒有貢獻但是對慣性 (以及有重量的) 質量有貢獻，它也構成放射性作用的源泉。嗯，這種歸於「潛能」的一通瞎扯，是老把戲啦。1903年De Pretto 就是把以太動能 ½mc2 當成原子放射性才揭露出來的潛能。
按照普朗克老師對待 h 的態度，我估計他接下來怎麼也要想辦法「掰扯掰扯」這個莫名其妙的 hν。然而，沒等他來得及擺脫或者至少再論這個½，愛因斯坦和Otto Stern (Stern-Gerlach實驗中的那位) 在1913年就拿這個零點能的概念迅速解釋了氫低溫比熱的實驗結果 [A. Einstein and O. Stern, Einige Argumente für die Annahme einer molecular Agitation beim absoluten Nullpunkt (關於絕對零點下分子激勵假設的討論), Ann. Phys.(4) 40, 551 (1913)] 。注意，愛因斯坦的這個零點，Nullpunkt，指的是那個永遠達不到的絕對溫度的零點。奇怪的是，愛因斯坦的原文中不僅有振子能量為
，還有
(圖3)，腫麼肥子事？容筆者有空時再考校。
圖3. 愛因斯坦1913年文章中的兩處振子平均能量公式。
零點能後來的命運，遠超普朗克這位真物理學家的想像，也遠超愛因斯坦這位真物理學家的想像。零點能後來變成了真空能，那個普朗克的討論中需要的虛的振子，那個愛因斯坦討論中需要的實的氫分子，統統都沒了蹤影。據說，真空裡就有這麼個零點能，但因為沒有實體，那個 ½hν (天知道這時候這個ν該怎麼確定) 有人說有無窮多個——真空裡有無窮多的零點能。零點能也變成了真空能、基態能，人們已經忘了Nullpunkt指的是絕對溫度了。進一步地，由真空能有人又推導出了平行板間的量子吸引力，所謂的Casimir 力，
，推導過程中用到了平面波及其邊界條件帶來的量子化，算是讓 ½hν 的 ν 有了安魂處。至於後來有人說用 AFM 針尖的振蕩測出 (算出) 了Casimir 力，那除了恭喜，筆者實在也說不出啥來。
多囉嗦一句關於物理稍微深刻一點的內容。考察量子力學版的諧振子的零點能問題，如果把諧振子的哈密頓量表示為
，引入變換
，
，以及量子化條件
，可得
。這裡的零點能是來自量子化的 ½ћω，好的物理要為這個h (ћ=h/2π) 和ω安魂。可是，若就將哈密頓量通過無量綱化，以及令 ћ=1，簡單地表示為二次型的形式
，引入變換
和
，加上量子化條件
，這樣得
，則零點能為½。這個推導過程丟掉了h和ω。把物理全丟了，那就可以譜寫狂想曲了。其實，這個將x和p 變換到算符對 a+ 和 a 的變換可不是那麼簡單。在表達式
中，p和q都是實數，但當你做了變換
時，在物理上是q-p連接成了一體，在數學上它還意味著從實數域到複數域的拓展—數域的擴展，如果你嚴肅對待代數的話，它帶來的東西就多嘍。有些物理，且不論真假，是在看不見的、稱為數學的地方溜進來的。扯遠了，打住。
普朗克老師這樣一箭三雕的推導，怕是再也不會有了。
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原標題：《黑體輻射、對應原理與零點能——普朗克老師的一箭三雕 ｜賢說八道》
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