誰說玩具只是「玩樂的工具」 ？
它還可以讓人腦洞大開
一方面玩具往往是由生活應用衍變而來
另一方面，人們還可以從玩具中獲得靈感
做出進一步發明來改變生活
今天這篇文章，為大家介紹
中國古代與數學、物理相關的玩具
大家可以在了解這些玩具的過程中
領略中國古代文明的博大精深
華 容 道
尋 找 最 優 解
曹操敗走華容道是著名的三國故事
講述的是曹操在赤壁大戰中被劉備和孫權聯手打敗
逃跑時經過華容道，又遇上諸葛亮的伏兵
關羽為報答曹操的恩情，幫助他逃出了華容道
由此衍生出的遊戲——華容道
華容道的棋盤上曹操佔4格；關羽、張飛、趙雲、馬超與黃忠各佔2格；四個兵各佔1格。過程中只能利用盤面上兩個空格留出的空間移動棋子來幫助曹操移到棋盤最下方中部逃出。
華容道有幾十種布陣方法
如「橫刀立馬」、「近在咫尺」、「過五關」、
「水洩不通」「小燕出巢」等
諸多的排列方法，可以衍生出複雜棋局
而很多玩家在熟練遊戲後
不再局限於幫助「曹操」逃出華容道
而是考慮如何用最少的步數逃出
所以，這其中包含著複雜的數學計算
1952年，我國數學家許蓴舫在《數學漫談》中
對華容道遊戲就做了細緻的研究
他在試驗的基礎上不斷進行探索
總結出了華容道的規律和解法，可以概括為：
四個小兵不能分開，一定要兩兩組合在一起
關羽、曹操等大將在移動的過程中
前面需要兩個小兵開路
曹操一旦移動，後面必須有兩個追趕的小兵
後來又經過世界各國大師的努力
遊戲解法步驟在逐漸減少
1964年3月，由美國律師託馬斯·萊曼
得出了經典布局「橫刀立馬」的新解法
81步即可成功，這也是目前已知的最優解
現在我們手機上常見的滑塊類遊戲
大多都是華容道的演變
九 連 環
遞 歸 算 法
九連環是以金屬絲製成的9個圓環
將圓環套裝在橫板或各式框架上，並貫以環柄
它的主體是九個環，一個套一個
並同時穿在劍形環柄上
環柄兩端分別是柄把和柄釵
西漢時的卓文君就很喜歡拆解九連環
她寫給夫君司馬相如的信中如是說道：
「一別之後，二地相懸，
只說是三四月，又誰知五六年。
七弦琴無心彈，八行書無可傳，
九連環從中折斷，十裡長亭望眼欲穿。
百思想，千繫念，萬般無奈把君怨。」
《紅樓夢》中也有林黛玉拆解九連環的描寫
周瑞家的把最後兩支宮花送給黛玉時，原文有這樣的文字：「誰知此時黛玉不在自己房中，卻在寶玉房中大家解九連環頑呢。」
九連環的每個環是互相牽制的
拆解規則有兩條：
第１環可以在任何時候放上或取下；拆解第Ｎ環(N > 1)，必須將第N-1環放在柄上，
而第1到N-2環全部取下；
實際這個過程就是數學上的遞歸算法
假設環的數量為n，解下每個環的步數為an
解開n連環所需總步數為Sn
根據拆解規則可以推出：
如若要卸下第n個環，就需要先卸下前n-2個環
其總步數就為Sn-2
這時再需要一步就可以把第n個環解下
而為了解下第n-1個環
還需把前面的n-2個環套上
裝上前n-2個環需要Sn-2步
所以卸下第n個環需要an=2Sn-2+1步
因此
解開九連環所需要的步數就是一道數列題：
已知S1=1，S2=2，an=2Sn-2+1,求Sn（n≥3）
當n=9時，S9=341，即最終需要341步
魯 班 鎖
榫 卯 結 構
魯班鎖也稱「孔明鎖」、「莫奈何」、「難人木」
相傳是木匠祖師爺魯班創製
在不使用釘子、繩子的情況下
用咬合的方式將木條交叉相交固定
最常見的魯班鎖由六根條棍組成
每一對條棍都和另外兩對垂直交叉
魯班鎖與中國古代建築的榫卯結構十分相似
幾千年前，搭建房屋可沒有鋼筋水泥，而是純木材
要讓兩塊獨立的木材固定在一起
就得給它們弄出凸起和凹槽
這樣凹凸相對就能咬合住
同時，為了能承受來自不同方向的力
卡槽的方向、位置也不同
使木材能在不同維度上交連咬合住
就是「榫卯」
《中華遺產》2017.03
豎直方向的榫卯，稱作管腳榫或套頂榫
插入柱礎的海眼或透眼中，保證穩固性
柱頭上往往做出饅頭榫以卡住上部構件
而在水平方向上
十字相交的十字榫可以使得構件處於同一水平線
榫卯在中國傳統建築中必不可少
大到殿堂的鬥拱，小到家具的把手
層層相疊的機構，看似磚而成砌
但又沒有用到一磚一石
僅通過榫與卯之間通過木材的多與少
高與低、長與短之間的巧妙組合
有效地限制木件向各個方向的扭動
起聯接和固定作用
古人云：「榫卯萬年牢」
紀錄片《紫禁城的秘密》中
木匠們按1:5的比例，以榫卯和鬥拱的建築結構
複製了一棟縮小的故宮模型
在地震模擬的反應中
整個榫卯結構模型出現輕微的晃動
在晃動之間消耗了地震傳來的能量
使整個房屋的地震荷載大為降低
起到了抗震的作用
七 巧 板
勾 股 定 理 的 奧 秘
七巧板，顧名思義由七個塊板組成
它的歷史最早可以追溯到先秦時期的《周髀算經》
其中描述的正方形切割術，並由之證明的勾股定理
大正方形是一副七巧板
其中的兩塊大三角形可以拼成一個小正方形
其他的5塊又可以拼成一個小正方形
將這三個正方形的邊兩兩相連
a^2+b^2=c^2的公式就被這兩副七巧板展現出來
《中華遺產》2009.12
到了宋代有一個叫的黃伯思的人，發明了一套
開始是六件後來增加為七件的長方形小桌
還創作了一些將這些小桌拼組的圖形
可以依據這些圖形根據客人數和需要的不同
桌子可以拼成不同的形狀
他將這套小桌稱作「燕几」
後來明朝的戈汕在他的《蝶幾譜》裡描述了
一套十三件的小桌
它們有六個尺寸形狀，呈三角形和梯形
這些小桌被稱作蝶幾
因為它們的形狀就如同蝴蝶的翅膀
清代時
七巧的造型用在了生活用品中，例如七巧攢盤
它通常被拼成正方形放置在木盒中
過年過節時可以用來盛放乾果和甜品
瓷都景德鎮就曾燒制過很多各種類型的七巧攢盤
在眾多研究中，最早的也是最著名的問題是：
用一副七巧板可以拼出多少種不同的凸多邊形？
內角和不超過180度的多邊形，即四周皆朝外凸的多邊形
解決這個問題的是兩位中國學者王福純和向全啟
1942年，他們得出了最終的答案
其中凸三角形1種，凸四邊形6種
凸五邊形2種，凸六邊形4種
飲 水 鳥
熱 機 原 理
飲水鳥早在中國明朝時就已出現
它的外形像一隻鳥，主體由玻璃製成
身體是一根玻璃管
管的上端是一個小球，是鳥的頭部
下端是一個裝有乙醚類易揮發液體的大球，即鳥尾
將鳥嘴浸到水裡喝上一口
之後，鳥就會自動俯下身去不知疲倦的
一直重複「俯身——起身」的喝水過程
實際上，「飲水鳥」的設計蘊含了
物理學的熱機原理
熱機通過溫度差產生機械運動從而對外做功
啟動時，在鳥頭的布上滴少許水
水在蒸發時大量吸熱
使鳥頭部分的溫度、氣壓降低
又因為溫度降低，乙醚蒸汽變得過飽和
會有少量乙醚蒸汽凝結成液體
蒸汽量變少，氣體體積進一步縮小
並放熱阻止溫度降低
此時下球中的氣壓大於上球中的氣壓
熱成像下可以看到頭部、尾部的溫度差異
下球中的乙醚液體沿玻璃管向上壓
下球壓強變小，裡面的蒸汽變的不飽和
少量乙醚氣化，下球裡的乙醚蒸汽的量變大
同時從乙醚液體吸熱， 於是整個鳥的重心上移
從而打破平衡狀態
下球的乙醚液體就會被壓到上球
進而使得鳥前傾「喝水」
此時，下球部分氣體進入上
當兩部分氣體混合，上、下壓強一致
液體將在自身重力的作用下倒流回下端
飲水鳥的重心再次下移, 於是漸漸直立起來
與此同時，頭部由於剛沾了水又開始了冷卻
就這樣
鳥的頭部不斷被水打溼，不斷產生氣壓差
飲水鳥就會不停地飲水
原理是通過氣化液化傳遞熱能
現在的噴氣式發動機、活塞式發動機等
都是源於此物理現象
竹 蜻 蜓
簡 易 直 升 機
竹蜻蜓是我國古代一大發明
兩手一搓，馬上鬆開就會飛上天空
相傳公元前400年，中國人就開始玩竹蜻蜓了
不過其文字記載則是明代才有
看似簡單的竹片和竹棍
卻是直升機誕生的原型
竹蜻蜓的「葉片」前面圓鈍後面尖銳
上表面略圓拱，下表面平直
當手搓動竹棍帶動葉片旋轉時
氣流經過上表面時
因拱弧造成流速快但壓力小
下表面則因平直流速慢但壓力大
於是上下表面之間形成了一個壓力差
產生了向上的升力
隨著葉片越轉越快，當升力大於竹蜻蜓的重力時
它就會騰空而起
15世紀中葉，竹蜻蜓傳到歐洲
被稱為「中國螺旋」
達·文西正是從它身上獲得靈感
繪製出理想中的直升機圖紙
而在幾百年後經後人不斷試驗改進
誕生了真正的直升機
儘管直升機比竹蜻蜓複雜千萬倍
但飛行原理卻是一樣的旋翼是竹蜻蜓的葉片
旋翼軸是竹蜻蜓的竹棍
帶動旋翼的發動機則是搓竹棍的雙手
中國玩具文化源遠流長
無論是節令玩具、益智玩具，還是觀察玩具
都令古代中國人的創造精神不斷進化
並以此為鏡子
將他們日常生活裡的真性情折射給我們
參考文獻：
中國老玩具的——應用學. 《博物》2015.06
榫卯：「拼」出一番天地來 . 《中華遺產》 2017.03