一文詳解四元數、歐拉角、旋轉矩陣、軸角如何相互轉換
2021-02-24 小白學視覺 重磅乾貨，第一時間送達![]()
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圖：其實可以不用自己推的，維基百科把12種順規乘出來的矩陣都寫出來了參考一篇NASA的關於姿態描述的技術報告[1]的Appendix-A6和[5]，我們可以用旋轉矩陣元素的相乘、相除、反三角函數等操作去「湊」出歐拉角。[5]給出了從XYZ順規提取歐拉角的方法、步驟、思路，[1]則給出了全部12種順規的歐拉角提取公式，但是沒有給一些細節注意事項。所以總結一下，根據[1]、[5]、[7]《Real Time Rendering 3rd Edition》4.2.2和自己的推導，從ZXY順規旋轉矩陣提取歐拉角的公式是（[1]原文下標似乎有點小問題）：注意到一點，注意到矩陣的每一個元素都是pitch angle 的函數…所以當 即 的時候，這時候其他的歐拉角提取表達式就涼涼了（分子分母都是0, arctan和atan2都沒有意義了）….其實pitch angle 恰好就是Gimbal Lock的位置。在Gimbal Lock的時候，旋轉矩陣會退化為：那麼要進一步處理萬向節死鎖的corner case就需要分兩種情況： ，此時 其中要給或者 其中一個歐拉角賦值，另外一個就按等式計算出來。 ，此時 同樣的，要給或者 其中一個歐拉角賦值，另外一個就按等式計算出來。從旋轉矩陣提取歐拉角的公式跟歐拉角順規的選取有關，因為旋轉矩陣的元素會略有不同，但是思路都是一樣的，就是根據旋轉矩陣的解析表達式+反三角函數湊出來。眾所周知的是，歐拉旋轉是有萬向節死鎖(Gimbal Lock)的問題的。幸好我們有四元數(Quaternion)這種數學工具可以避免這個情況。一般來說，我們都會用單位四元數 來表示旋轉，其中 。那麼給定一個單位四元數，可以構造旋轉矩陣(column major)[1][4][8][14][15]：這個四元數構造的大概思路就是把四元數的旋轉操作寫成矩陣形式（註：給定一個用於旋轉的單位四元數 和被旋轉的三維向量 ，那麼要直接用四元數旋轉這個向量，則我們首先要構造一個純四元數 ，設旋轉後的向量為 ，旋轉後的向量構造的純四元數為 ，那麼 ）。因為是用四元數來構造矩陣的，所以這個矩陣構造公式就沒有歐拉角順規的說法了。那第一步肯定是判斷3x3矩陣是一個正交矩陣啦（滿足 ）。那麼如果這個矩陣已經是一個合法的旋轉矩陣了，要從旋轉矩陣裡提取四元數，也是可以像提取歐拉角那樣，用參數化過的矩陣的表達式湊出來。參考[8]《Real Time Rendering 3rd edition》Chapter4的思路，我們觀察一下用四元數分量進行參數化的矩陣 ，然後經過一頓操作，我們發現：於是我們再湊出個實分量 ，就可以把四元數四個分量都用矩陣元素表示出來了。於是我們又機智地發現了一個等式：其中 是矩陣 的跡(trace)，也就是矩陣對角元素的和。因為這裡用的是3x3矩陣，跟其他資料裡面的表示有一點不同。所以我們可以把四元數的四個分量都用矩陣元素湊出來了：有一點《Real Time Rendering》提到的， 絕對值比較小的時候，可能會出現數值不穩定的情況，那麼想要數值穩定的話就得用一種不用除法的方式來湊，在這不展開了，可以看一下RTR。參考維基百科[2]的思路，歐拉角構造四元數，跟歐拉角構造旋轉矩陣一樣，就是把三個基礎旋轉Elemental Rotation組合在一起。那麼用於旋轉的四元數 的表達式是：這個我自己推導的結果跟[1]NASA Technical Report的Appendix A給出的結果對比過了，（[1]中四元數記號是 ），看起來沒什麼問題。本來我以為，從四元數提取歐拉角的思路可以跟旋轉矩陣提取歐拉角類似，也是用四元數的元素運算和反三角函數湊出公式來。後來我發現這簡直就是一個極其硬核的任務，展開之後每一項都是六次多項式，畫面有一丟暴力且少兒不宜，直接強行湊的話畫風大概是這樣：這個結果跟歐拉角參數化的旋轉矩陣的 的表達式是吻合的。但這還只是最好湊的那一個，惹不起惹不起。所以舒服的思路還是四元數-->旋轉矩陣-->歐拉角，想一步到位的話，把四元數分量參數化的旋轉矩陣、歐拉角參數化的旋轉矩陣結合在一起，參考下旋轉矩陣轉歐拉角的方法，替換下元素就完事了。這裡就不把公式展開了，因為四元數直接轉歐拉角 跟 旋轉矩陣轉歐拉角一樣，依舊是要處理gimbal lock的corner case，還是那麼麻煩，所以這裡先鴿了軸-角(Axis-Angle)顧名思義就是繞某條單位軸旋轉一定角度，從這個意義上看，它構造四元數是非常舒服的，畢竟直觀的幾何意義有一點點類似，繞單位軸 旋轉 的四元數是：Axis Angle轉Rotation Matrix可以從[9]羅德裡格斯旋轉公式Rodrigues Rotation Formula開始推導。設 是我們要旋轉的單位向量，旋轉軸為 ， 繞 旋轉角度 ，那麼旋轉後的向量為：這個公式的推導思路是這樣子的，我們先對向量 進行正交分解，分解成投影到旋轉軸 的分量和垂直於 的分量：![]()
於是繞 旋轉向量 其實就是把上面正交投影后的向量分別旋轉之後再加起來。那麼很明顯的，投影到旋轉軸上的部分 都跟旋轉軸共享了，那麼自然旋轉之後的結果就沒有變化了，於是我們只需要旋轉和旋轉軸垂直的部分 。那麼這個旋轉後的表達式就是：然後我們不按wikipedia裡面坑爹的、不考慮下文的變形，自己推一波：這裡我們把旋轉後向量的表達式變形得只剩下叉積(cross product)，去掉點積(dot product)了，這樣子我們才可以把這個繞軸旋轉的表達式寫成矩陣形式。怎麼寫呢？首先叉積可以寫成矩陣形式：[1]Henderson, D.M.. Euler angles, quaternions, and transformation matrices for space shuttle analysis[C]//NASA, Jun 09, 1977.[2] https://link.zhihu.com/?target=https%3A//en.wikipedia.org/wiki/Conversion_between_quaternions_and_Euler_angles%23Euler_Angles_to_Quaternion_Conversion[3] https://link.zhihu.com/?target=https%3A//en.wikipedia.org/wiki/Euler_angles[4] https://link.zhihu.com/?target=https%3A//en.wikipedia.org/wiki/Rotation_matrix[5] Slabaugh G G. Computing Euler angles from a rotation matrix[J]. 1999.[6] Mike Day, Converting a Rotation Matrix to a Quaternion. https://d3cw3dd2w32x2b.cloudfront.net/wp-content/uploads/2015/01/matrix-to-quat.pdf[7] Tomas K.M. , Eric H., Naty H.. Real Time Rendering 3rd Edition , p68-p69, 2008.[8] Tomas K.M. , Eric H., Naty H.. Real Time Rendering 3rd Edition , p76-p77, 2008.[9] https://link.zhihu.com/?target=https%3A//en.wikipedia.org/wiki/Rodrigues%2527_rotation_formula[10] https://link.zhihu.com/?target=https%3A//en.wikipedia.org/wiki/Cross_product%23Conversion_to_matrix_multiplication[11] https://link.zhihu.com/?target=http%3A//mathworld.wolfram.com/RodriguesRotationFormula.html[12] https://link.zhihu.com/?target=https%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E5%259B%259B%25E5%2585%2583%25E6%2595%25B8[13] https://link.zhihu.com/?target=https%3A//blog.csdn.net/silangquan/article/details/39008903[14] Quaternion and Rotations, https://link.zhihu.com/?target=http%3A//run.usc.edu/cs520-s12/quaternions/quaternions-cs520.pdf[15] https://link.zhihu.com/?target=https%3A//en.wikipedia.org/wiki/Quaternions_and_spatial_rotation
D3D和OpenGL不同，用的坐標系是Y軸豎直向上的左手系，所以歐拉角的順規是跟廣大blog、OpenGL不一樣的，那麼博客上、甚至維基百科[2]上的各種基於右手系xyz順規(分別對應roll, pitch,yaw)的看起來就不太能隨隨便便直接用了。
首先歐拉角旋轉序列(Euler Angle Rotational Sequence)一共有12種順規，6種繞三條軸的旋轉(也叫Tait-Bryan Angle，XYZ,XZY,YXZ,YZX,ZXY,ZYX)，另外6種只繞兩條軸的旋轉(也叫Proper Euler Angle，XYX,YXY,XZX,ZXZ,YZY,ZYZ)。如果相鄰兩次旋轉是繞同一條軸，例如XXY，那麼其實可以坍縮成XY。那麼只繞一條軸旋轉就根本不夠自由度就不需要說了。也就是說，一共有12種基礎旋轉的組合順序，它們可以旋轉出三維的所有旋轉狀態。所以一共是12種旋轉順規（可以表示所有旋轉的集合），DirectXMath庫採用的是ZXY順規，分別對應著Z-Roll，X-Pitch，Y-Yaw。
圖：歐拉旋轉與Yaw-Pitch-Roll的直觀意義（網圖魔改）
注意：那麼下文我們都採用ZXY順規來推導公式！採用列主向量(column major)！(但是注意DirectXMath API生成的矩陣其實是行主向量(row major)的)
參考一下維基百科的[3]Euler Angle、[4]Rotation Matrix
可以知道，歐拉角構造旋轉矩陣就直接把三個Elemental Rotation Matrix乘在一起就好了（LaTeX扣得真累orz）：上面的歐拉角--->矩陣的結果與維基百科Euler Angles[3] 給出的結果一致，那應該穩了：
圖：其實可以不用自己推的，維基百科把12種順規乘出來的矩陣都寫出來了參考一篇NASA的關於姿態描述的技術報告[1]的Appendix-A6和[5]，我們可以用旋轉矩陣元素的相乘、相除、反三角函數等操作去「湊」出歐拉角。[5]給出了從XYZ順規提取歐拉角的方法、步驟、思路，[1]則給出了全部12種順規的歐拉角提取公式，但是沒有給一些細節注意事項。所以總結一下，根據[1]、[5]、[7]《Real Time Rendering 3rd Edition》4.2.2和自己的推導，從ZXY順規旋轉矩陣提取歐拉角的公式是（[1]原文下標似乎有點小問題）：注意到一點，注意到矩陣的每一個元素都是pitch angle 的函數…所以當 即 的時候，這時候其他的歐拉角提取表達式就涼涼了（分子分母都是0, arctan和atan2都沒有意義了）….其實pitch angle 恰好就是Gimbal Lock的位置。在Gimbal Lock的時候，旋轉矩陣會退化為：那麼要進一步處理萬向節死鎖的corner case就需要分兩種情況： ，此時 其中要給或者 其中一個歐拉角賦值，另外一個就按等式計算出來。 ，此時 同樣的，要給或者 其中一個歐拉角賦值，另外一個就按等式計算出來。從旋轉矩陣提取歐拉角的公式跟歐拉角順規的選取有關，因為旋轉矩陣的元素會略有不同，但是思路都是一樣的，就是根據旋轉矩陣的解析表達式+反三角函數湊出來。眾所周知的是，歐拉旋轉是有萬向節死鎖(Gimbal Lock)的問題的。幸好我們有四元數(Quaternion)這種數學工具可以避免這個情況。一般來說，我們都會用單位四元數 來表示旋轉，其中 。那麼給定一個單位四元數，可以構造旋轉矩陣(column major)[1][4][8][14][15]：這個四元數構造的大概思路就是把四元數的旋轉操作寫成矩陣形式（註：給定一個用於旋轉的單位四元數 和被旋轉的三維向量 ，那麼要直接用四元數旋轉這個向量，則我們首先要構造一個純四元數 ，設旋轉後的向量為 ，旋轉後的向量構造的純四元數為 ，那麼 ）。因為是用四元數來構造矩陣的，所以這個矩陣構造公式就沒有歐拉角順規的說法了。那第一步肯定是判斷3x3矩陣是一個正交矩陣啦（滿足 ）。那麼如果這個矩陣已經是一個合法的旋轉矩陣了，要從旋轉矩陣裡提取四元數，也是可以像提取歐拉角那樣，用參數化過的矩陣的表達式湊出來。參考[8]《Real Time Rendering 3rd edition》Chapter4的思路，我們觀察一下用四元數分量進行參數化的矩陣 ，然後經過一頓操作，我們發現：於是我們再湊出個實分量 ，就可以把四元數四個分量都用矩陣元素表示出來了。於是我們又機智地發現了一個等式：其中 是矩陣 的跡(trace)，也就是矩陣對角元素的和。因為這裡用的是3x3矩陣，跟其他資料裡面的表示有一點不同。所以我們可以把四元數的四個分量都用矩陣元素湊出來了：有一點《Real Time Rendering》提到的， 絕對值比較小的時候，可能會出現數值不穩定的情況，那麼想要數值穩定的話就得用一種不用除法的方式來湊，在這不展開了，可以看一下RTR。參考維基百科[2]的思路，歐拉角構造四元數，跟歐拉角構造旋轉矩陣一樣，就是把三個基礎旋轉Elemental Rotation組合在一起。那麼用於旋轉的四元數 的表達式是：這個我自己推導的結果跟[1]NASA Technical Report的Appendix A給出的結果對比過了，（[1]中四元數記號是 ），看起來沒什麼問題。本來我以為，從四元數提取歐拉角的思路可以跟旋轉矩陣提取歐拉角類似，也是用四元數的元素運算和反三角函數湊出公式來。後來我發現這簡直就是一個極其硬核的任務，展開之後每一項都是六次多項式，畫面有一丟暴力且少兒不宜，直接強行湊的話畫風大概是這樣：這個結果跟歐拉角參數化的旋轉矩陣的 的表達式是吻合的。但這還只是最好湊的那一個，惹不起惹不起。所以舒服的思路還是四元數-->旋轉矩陣-->歐拉角，想一步到位的話，把四元數分量參數化的旋轉矩陣、歐拉角參數化的旋轉矩陣結合在一起，參考下旋轉矩陣轉歐拉角的方法，替換下元素就完事了。這裡就不把公式展開了，因為四元數直接轉歐拉角 跟 旋轉矩陣轉歐拉角一樣，依舊是要處理gimbal lock的corner case，還是那麼麻煩，所以這裡先鴿了軸-角(Axis-Angle)顧名思義就是繞某條單位軸旋轉一定角度，從這個意義上看，它構造四元數是非常舒服的，畢竟直觀的幾何意義有一點點類似，繞單位軸 旋轉 的四元數是：Axis Angle轉Rotation Matrix可以從[9]羅德裡格斯旋轉公式Rodrigues Rotation Formula開始推導。設 是我們要旋轉的單位向量，旋轉軸為 ， 繞 旋轉角度 ，那麼旋轉後的向量為：這個公式的推導思路是這樣子的，我們先對向量 進行正交分解，分解成投影到旋轉軸 的分量和垂直於 的分量：
於是繞 旋轉向量 其實就是把上面正交投影后的向量分別旋轉之後再加起來。那麼很明顯的，投影到旋轉軸上的部分 都跟旋轉軸共享了，那麼自然旋轉之後的結果就沒有變化了，於是我們只需要旋轉和旋轉軸垂直的部分 。那麼這個旋轉後的表達式就是：然後我們不按wikipedia裡面坑爹的、不考慮下文的變形，自己推一波：這裡我們把旋轉後向量的表達式變形得只剩下叉積(cross product)，去掉點積(dot product)了，這樣子我們才可以把這個繞軸旋轉的表達式寫成矩陣形式。怎麼寫呢？首先叉積可以寫成矩陣形式：[1]Henderson, D.M.. Euler angles, quaternions, and transformation matrices for space shuttle analysis[C]//NASA, Jun 09, 1977.[2] https://link.zhihu.com/?target=https%3A//en.wikipedia.org/wiki/Conversion_between_quaternions_and_Euler_angles%23Euler_Angles_to_Quaternion_Conversion[3] https://link.zhihu.com/?target=https%3A//en.wikipedia.org/wiki/Euler_angles[4] https://link.zhihu.com/?target=https%3A//en.wikipedia.org/wiki/Rotation_matrix[5] Slabaugh G G. Computing Euler angles from a rotation matrix[J]. 1999.[6] Mike Day, Converting a Rotation Matrix to a Quaternion. https://d3cw3dd2w32x2b.cloudfront.net/wp-content/uploads/2015/01/matrix-to-quat.pdf[7] Tomas K.M. , Eric H., Naty H.. Real Time Rendering 3rd Edition , p68-p69, 2008.[8] Tomas K.M. , Eric H., Naty H.. Real Time Rendering 3rd Edition , p76-p77, 2008.[9] https://link.zhihu.com/?target=https%3A//en.wikipedia.org/wiki/Rodrigues%2527_rotation_formula[10] https://link.zhihu.com/?target=https%3A//en.wikipedia.org/wiki/Cross_product%23Conversion_to_matrix_multiplication[11] https://link.zhihu.com/?target=http%3A//mathworld.wolfram.com/RodriguesRotationFormula.html[12] https://link.zhihu.com/?target=https%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E5%259B%259B%25E5%2585%2583%25E6%2595%25B8[13] https://link.zhihu.com/?target=https%3A//blog.csdn.net/silangquan/article/details/39008903[14] Quaternion and Rotations, https://link.zhihu.com/?target=http%3A//run.usc.edu/cs520-s12/quaternions/quaternions-cs520.pdf[15] https://link.zhihu.com/?target=https%3A//en.wikipedia.org/wiki/Quaternions_and_spatial_rotation本文轉自知乎：雞哥
原文網址：https://zhuanlan.zhihu.com/p/45404840
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