任意角的三角函數與誘導公式,熟練記憶透徹理解,就在這些口訣上

2020-11-25 騰訊網

梳理了前面三角基本概念，單位制，扇形與弧長公式，相信大家對三角的學習有了一個好的開始，要想真正的理解三角函數的內涵，還需要從一些口訣來入手，今天我們就來談談三角函數和誘導公式；

第一、三角函數的定義

三角函數的定義分初中（銳角三角比）高中（任意角三角函數），不同的學習階段，對應不同的領悟層次需要。高中階段主要研究的是正餘弦正切函數，因此這三者定義以及函數圖像及性質需要完全透徹的理解。

這些三角函數值在各個象限的符號如下圖所示，

記憶的過程中可以結合三角函數函數線的定義以及動態來觀察角α變化的過程中三角函數線的增長趨勢。

第二、三角函數線

角α的三角函數值可以用單位圓的有向線段表示：sinα=MP,cosα=OM,tanα=AT.

有向線段MP,OM,AT分別叫做角α的正弦線，餘弦線，正切線。

對於三角函數線的認知，我們需要關注以下幾點：

（1）結合象限角以及有向線段在各個區間內分別討論，而且需要注意三角函數線中的字母順序不可顛倒，與坐標軸方向一致的有向線段為正，此時相應的三角函數值為正，與坐標軸方向相反的有向線段為負，對應的三角函數值為負。

（2）當角α的終邊在x軸上時，正切線、正弦線變為一個點，角α的終邊在y軸上時，餘弦線變為一個點，正切線不存在。

（3）若果0

第三、同角三角基本關係式

針對同一個角，結合三角比的定義，我們會發現，他有如下三種關係：

針對上述正六邊形，結合6個三角比，我們藉助：「上弦，中切，下割，左正，右餘，中間1」，這十三字，我們可以很快做好定位，不清楚的同學，可以評論區裡留言。

具體如何應用這正六邊形輔助記憶呢？

首先我們來看平方關係，上圖3個紅色陰影部分，大家可以視為3個倒三角，上底邊的2個三角比的平方之和等於下底角的平方。

其次我們來看商數關係，看相鄰三點，如下圖，再結合上圖，無論ABC,還是ABF，底邊上的2個端點之任意一個端點，都等於中間頂點去除另外一個底點，如：tanα=sinα/cosα，cosα=sinα/tanα，secα=tanα/sinα，cscα=secα/tanα等等；

最後我們再看倒數關係，我們來找正六邊形的對角線，對角線的兩個端點的乘積就是中間1，構成了我們的倒數關係。

以上3個點，我們也可以用一段話來詮釋：

對角線上兩函數之積為1，任一角的函數等於與其相鄰的兩個函數的積，陰影三角形，頂角的兩個函數的平方和等於底角函數的平方。

熟悉了同角三角關係式，在應用的過程中，我們還需要注意以下幾點：三角函數值間的知一求二，或者求式子的值；化簡三角函數式，證明三角恆等式等等。

第四、誘導公式：奇變偶不變，符號看象限

看了上圖的表格，相信大家依然懵懂，不要緊，我們看看這個奇和偶，他是針對π/2，而言的，符號看的是左邊原始式子，對於α，無論大小，均視為銳角，了解了這些，相信大家對於以下式子理解起來倍感輕鬆。

最後就誘導公式在強調一下這個變，指的是正餘弦互變，正餘切互變。

第五、學法指導

我們在學了這些知識之後，針對他們的題型主要有如下三種：

第一、求值題型，已知一個角的一個三角函數值，求這個角的其他三角函數值；

這類問題，我們需要關注，角的象限或者終邊位置已知，只有一解，角的象限或者終邊需要判斷；也或者，角的三角函數值含有字母，亦或是另一角的三角函數來表示，我們的解法是合理選擇公式，一般思路是按照：「倒-平-倒-商-倒」的順序很容易求解；在開平方的時候，應注意「±」的取捨，有時根據需要分類討論。

第二、化簡題型，目的是簡化運算，要求項數儘量少，次數儘量低，儘量不含分母，儘量不帶根號，儘量為數值。

以上是原則要求，需要關注的是，化簡過程中，不要忽視三角函數的定義區間。

第三、證明題型，本質上是三角恆等式。

常用方法是：

1、從一邊開始，證的另一邊，由繁到簡。

2、左右歸一，證明左右兩邊都等於同一個式子。

3、湊合法，針對題設與結論間的差異，有針對性的變形，以消除差異，即化異為同。

4、比較法，即證明「左邊-右邊=0」,或者「左邊÷右邊=1」

5、分析法，從被證的等式出發，逐步探求使等式成立的充分條件，一直到已知條件或者明顯的事實為止，就可以斷定原等式成立。

常用的技巧：

1、負角化正角，大角化小角，化異為同，常用誘導公式；

2、切割化弦，弦切互化；

3、1的代換，1=sin α+cos α=sec α-tan α=csc α-cot α=tanπ/4；

4、消元和降次；

5、sinα±cosα、sinαcosα，三個式子中，已知其中一個式子，可求其他兩個式子，他隱藏一個條件是：弦的平方和為1。

以上是任意角的三角函數與誘導公式，熟練記憶透徹理解，就在這些口訣上和要點上，相信大家熟讀以上，必定會為三角的學習奠定堅實的基礎。加油！

就以上知識，大家不清楚的地方歡迎大家評論區留言，大黃必將竭盡全力為您解答。感謝！

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