加加減減的藝術(四):歐拉的技巧

2020-11-27 搜狐網

原標題：加加減減的藝術（四）：歐拉的技巧

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讀讀歐拉, 讀讀歐拉, 他是我們大家的老師———拉普拉斯(Laplace)

萊昂哈德·歐拉(Leonhard Euler), 瑞士數學家, 是18世紀數學界最傑出的人物之一. 他是數學史上最多產的數學家，平均每年寫出八百多頁的論文. 歐拉淵博的知識，無窮無盡的創作精力和空前豐富的著作，都令人驚嘆不已!

數學史上公認的4名最偉大的數學家分別是：阿基米德、牛頓、歐拉和高斯. 阿基米德有「翹起地球」的豪言壯語, 牛頓因為蘋果聞名世界, 高斯少年時就顯露出計算天賦, 唯獨歐拉沒有戲劇性的故事讓人印象深刻. 然而，幾乎每一個數學領域都可以看到歐拉的名字.

歐拉對於無窮級數似乎有著十分獨特的見解. 關於級數神乎其技的變形, 用對數函數逼近調和級數並計算出歐拉常數γ, 利用無窮乘積得到平方倒數和為π⊃2;/6, 以及計算出所以正整數的和為-1/12(在某些特殊的意義下), 還有一些很漂亮的連分數展開式, 這些都出自於歐拉之手.

平方倒數和, 也即是

歐拉得到這個結果之後並沒有就此止步, 而是繼續計算了

等諸多結果， 歐拉也曾因計算出平方倒數和而名噪一時.

歐拉的成就數不勝數, 單單是級數方面就已經令人嘆為觀止. 我們在此只是舉一些例子, 幾乎完全拋棄了嚴格性去得到一些結果, 並且所得的結果都是對發散級數而言的. 通過一些看似美妙的結論, 來說明對發散級數進行求和的重要性.

下節會介紹與格蘭迪級數非常相似的0-1級數, 它是同格蘭迪級數同樣有趣但又不失重要性的一類級數. 為了對某些特殊的0-1級數求和, 還會引入切薩羅和的兩種推廣, 並且會在文章的最後對發散級數的討論做一個總結.

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