西工大新聞網9月2日電（許勇）近日，計算數學與計算物理領域著名期刊《Journal of Computational Physics》在線報導了西北工業大學理學院數學系非線性隨機動力學團隊許勇教授在非高斯列維噪聲激勵下系統動力學方程研究方面成果。該研究成果以「Path integral solutions of the governing equation of SDEs excited by Lévy white noise」為題在此期刊394期發表。
不同時刻下系統解的概率密度函數
隨機現象在自然界中廣泛存在，列維噪聲激勵下的隨機系統為這些隨機現象提供了通用的數學描述。針對列維噪聲激勵下的隨機系統雖然已經開展多年的研究，現有研究成果主要集中在列維噪聲的激勵下隨機系統的解的定性描述。而對於此類系統的解所滿足的概率分布的定量描述始終是一個難題。這是因為對於列維噪聲激勵下的隨機系統，其解的概率密度函數所滿足的控制方程（即福克普朗克方程）本質上為分數階偏微分方程，它是一個非局部（nonlocal）的偏微分方程，只有在極少數特殊參數下可以得到其解析解，並且用於求解此類方程的數值方法有限。因此，有關此類方程的求解始終是相關領域的研究難題和關注焦點。
針對這一難題，許勇教授團隊通過發展路徑積分法，提出此類分數階偏微分方程的路徑積分求解方法。首先，從列維噪聲激勵下的隨機系統對應的福克普朗克方程出發，推導了路徑積分所需的短時解，並從特徵函數的角度驗證了該短時解的正確性。進而根據短時解給出了該方程的路徑積分求解過程。最後藉助所發展的方法，對不同的外部函數、穩定性參數情形進行計算，驗證了路徑積分法求解分數階福克普朗克方程的有效性。通過對比所得路徑積分結果與已有方法的結果，可以發現許勇教授團隊所提出的路徑積分法具有更高的計算精度及效率。
《Journal of Computational Physics》為中科院分區1區top期刊，為計算數學與計算力學領域國際三大頂級期刊之一。它關注物理問題中的計算方法，鼓勵在應用數學、物理、力學、統計學、應用幾何等跨學科領域有關先進的數學和數值建模方面做出原始的科學貢獻。
全文連結：https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0021999119303547
（審稿：王洲航）