這個著名的統計學悖論,第一次聽說的人很可能懷疑人生

來源：把科學帶回家（ID：steamforkids）

作者：七君

我們平時在做重大決策的時候，比如擇校啊，選專業啊，總是會參考這些比較對象的硬指標，比如它們的錄取率啊，就業率啊等等。像是，哪個學校的就業率高，我們就會去報考這個學校。

統計數字可以幫助我們了解這些比較對象的優劣，讓我們做出明智的決策。不光是個人，公司和國家也是這樣做決策的。那麼這樣做對嗎？

其...實...不...對

今天我們就來介紹一個讓人非常頭疼，但非常有用的悖論，它會告訴你，很多時候統計數字相當不可靠，特別容易誤導人。

先來看一個假設的例子。

小明生了慢粒白血病，她的失散多年的哥哥找到有2家比較好的醫院，醫院A和醫院B供小明選擇就醫。

小明的哥哥多方打聽，搜集了這兩家醫院的統計數據，它們是這樣的：

醫院A最近接收的1000個病人裡，有900個活著，100個死了。

醫院B最近接收的1000個病人裡，有800個活著，200個死了。

作為對統計學懵懵懂懂的普通人來說，看起來最明智的選擇應該是醫院A對吧，病人存活率很高有90%啊！總不可能選醫院B吧，存活率只有80%啊。

呵呵，如果小明的選擇是醫院A，那麼她就中計了。

就這麼說吧，如果醫院A最近接收的1000個病人裡，有100個病人病情很嚴重，900個病人病情並不嚴重。

在這100個病情嚴重的病人裡，有30個活下來了，其他70人死了。所以病重的病人在醫院A的存活率是30%。

而在病情不嚴重的900個病人裡，870個活著，30個人死了。所以病情不嚴重的病人在醫院A的存活率是96.7%。

在醫院B最近接收的1000個病人裡，有400個病情很嚴重，其中210個人存活，因此病重的病人在醫院B的存活率是52.5%。

有600個病人病情不嚴重，590個人存活，所以病情不嚴重的病人在醫院B的存活率是98.3%。

畫成表格，就是這樣的——

醫院A：

醫院B：

你可以看到，在區分了病情嚴重和不嚴重的病人後，不管怎麼看，最好的選擇都是醫院B。但是只看整體的存活率，醫院A反而是更好的選擇了。所謂遠看是汪峰，近看白巖松，就是這個道理。

這讓人很抓狂。萬一我們真的患上了什麼病，又遇到了這種類似的情況，豈不是會讓自己掉坑裡？大韓民國這麼多小明就是因為這個原因去世的嗎？到底這是怎麼回事？

實際上，我們剛剛看到的例子，就是統計學中著名的黑魔法之一——辛普森悖論（Simpson's paradox）。辛普森悖論最初是英國數學家愛德華·H·辛普森（Edward H. Simpson）在1951年發現的。

辛普森悖論就是當你把數據拆開細看的時候，細節和整體趨勢完全不同的現象。

辛普森悖論：同一組數據，整體的趨勢和分組後的趨勢完全不同。

從統計學家的觀點來看，出現辛普森悖論的原因是因為這些數據中潛藏著一個魔鬼——潛在變量（lurking variable），比如在上面這個例子裡，潛在變量就是病情嚴重程度不同的病人的佔比。

辛普森悖論在日常生活中層出不窮。

最著名的辛普森悖論的實例，就是1973年加利福尼亞大學伯克利分校性別歧視案的例子。

加利福尼亞大學伯克利分校

大家從表格裡可以看到，如果只看整體錄取率，那麼男生的錄取率是44%，女生的是35%。

不求甚解的話，一般人肯定會得出這樣的結論——女生被歧視了。打算申請這所著名大學的女生要是看到這樣的數據，八成肺都氣炸了。

別急，現在把上面的數據按照院系拆分，再來看看每個系的錄取率。

你可以看到，在6個院系的4個裡，女生的錄取率大於男生，女生只在2個院系裡容易折戟。加利福尼亞大學伯克利分校的統計學教授 Peter Bickel 後來發現，如果按照這樣的分類，女生實際上比男生的錄取率還高一點點。

Bickel 認為，在這個案例中，辛普森悖論出現的原因是，女生更願意申請那些競爭壓力很大的院系（比如英語系），但是男生卻更願意申請那些相對容易進的院系（比如工程學系）。辛普森悖論真是太奇怪了。

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再比如這個經典的佛羅裡達死刑悖論。

1991年，科羅拉多大學的統計學家 Michael L. Radelet 和東北大學的社會學研究院主任 Glenn Pierce 重新查看了1976-1987年間美國佛羅裡達州的謀殺案的審判數據，發現了重大的司法不公正事件。

從歸總的數據來看，佛羅裡達的法官在審判的時候並沒有偏向白人，因為白人嫌疑人的死刑率甚至還比黑人高一些。

但是，如果按照被害人的種族來分割數據的話，我們就會看到很不一樣的結果了——黑人比白人更容易被判死刑。

現在你可以很明顯地看出，不管被害人是什麼種族，黑人比白人更有可能被判死刑。

這還不算。分類後的數據顯示，如果受害人是白人，那麼嫌疑人就更容易被判死刑。如果被害人是黑人，嫌疑人被判死刑的可能性很低。種族歧視昭然若揭啊。

所以，我們要怎樣才能避免辛普森悖論呢？

答案是…很難。不少統計學家認為，辛普森悖論的存在，讓我們不可能光用統計數字來推導準確的因果關係。

因為數據可以用各種各樣的方式分類，然後再進行比較，所以理論上潛在變量無窮無盡，你總是可以用某個潛在變量得到某種結論。

而且對於那些不懷好意的人來說，他們很容易對數據進行拆分或者歸總，得到一個對自己有利的指標，從而來迷惑甚至操縱他人。醫學和社會學的研究者也常常會遇到辛普森悖論，從而得出錯誤的結論。

辛普森悖論完美地闡釋了這句古老的哲學寓言：「假如一棵樹在森林裡倒下而沒有人在附近聽見，它有沒有發出聲音？」如果有一個邪惡的潛在變量逃脫了你的眼睛，那麼統計數字得出的結論還可信嗎？

我們能做的，就是仔細地研究分析各種影響因素，不要籠統概括地、淺嘗輒止地看問題。

什麼，你要我舉個利用辛普森悖論操縱別人的例子？

很簡單啊。那些常說「我是聰明的小朋友裡最漂亮的，漂亮的小朋友裡最聰明的」小孩，一般都是既不_____，也不_____的。