1 歐拉方程
有時，科學發現就像多米諾骨牌，一個發現會引發下一個發現。我們今天要講的一個關於流體力學的數學研究故事就是這樣：從2013年的一項實驗發現中引發的一系列數學證明，撼動了人們幾個世紀以來的思考。
這項2013年的研究是應用數學家Thomas Y Hou（侯一釗）和Guo Luo（羅果）對流體進行的數值模擬，其研究的核心是由萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）於1757年提出的歐拉方程。
○ 歐拉方程：在流體力學中，它們描述了理想化的不可壓縮流體在沒有外力作用的情況下的運動，u為流體的速度，p為壓強。| 公式來源：[1]
歐拉方程被用來模擬流體隨時間的演化，比如當我們想要知道，如果一塊石頭被扔進平靜的池塘中，池塘中的水在五秒鐘後會怎樣運動時，就可以利用歐拉方程來找到答案。
但是，歐拉方程描述的是一個理想化的世界，在這個世界裡，流體具有一些不切實際的特性。例如，歐拉方程假設流體是沒有粘性的，換句話說當流體互相流過時，內部的流動不會產生摩擦；再比如與歐拉方程還假設流體是不可壓縮的，也就是說流體不能被壓縮到比它已經佔據的空間更小的空間裡。
在這個理想化的設定中，歐拉方程會利用牛頓運動定律來預測流體的運動。
顯然，這樣的情況無法讓那些研究歐拉方程的數學家們滿意的。他們想要明確地知道，這些方程是否在任何情況下都永遠有效；如果不是，那麼在什麼情況下方程會失效。
2 複雜版的茶葉悖論
在2013年的那篇論文中，Hou和Luo模擬了這樣一個場景。在介紹他們模擬的場景之前，我們可以先來了解其模型的一個簡化版本。這是一個幾乎在家就可以模擬的場景。
假設你有一個平底的圓柱形茶杯（如下圖所示），杯子裡裝滿了茶水，一些茶葉沉澱在茶杯底部（下圖左）；現在，順時針攪動茶水，起初，杯中的茶水幾乎會像整體性地旋轉，並帶動底部的茶葉一起運動（下圖中）；然而，隨著攪拌的繼續，讓茶水旋轉的離心力與杯子的側面內壁相互作用，產生了流體力學的「二次流」。二次流是一種更為複雜的運動，是對初始的攪動的響應，二次流會沿著圓柱形的杯壁向下流動，在杯子的中央部分向上流動（下圖右）。
杯中的茶葉就能很明顯的體現二次流的運動：他們聚集在杯子底部的中心，即使周圍的茶水中仍有漩渦翻滾，它們也幾乎維持靜止。
在幾個世紀之前，人們就已經注意到了這種被稱為「茶葉悖論」的現象。在《不會煮湯圓的物理學家不是好廚師|正經玩》一期中，也有描述這一現象。1926年，愛因斯坦（Albert Einstein）首次用數學方法解釋了這種行為。
Hou和Luo所思考的模型稍微更複雜一些，相似的是他們考慮的還是圓柱體容器中的流體。只是這次，容器上半部分的液體向順時針旋轉，但下半部分逆時針旋轉（下圖左）。這樣的運動可以產生好幾個二次流，它們以旋渦的形式沿著容器壁上下流動：從上往下，液體呈螺旋狀下降；從下往上，液體朝相反方向螺旋上升（下圖右）。
在模擬中，他們設置了流體的初始狀態的數值描述，再讓計算機應用歐拉方程來確定流體在未來的運動。他們發現杯子的中部，也就是兩種流動相遇的地方出現了令人訝異的情況。按照歐拉方程的設置，在那個點上，流體的渦量（即旋轉的速度和方向）會急劇增大。但事實上，他們的模擬結果顯示根據歐拉方程，那個點的渦量增長得非常之快，能在有限的時間內就變成無窮大。
這種無窮大的值被稱為奇點，正是數學家們想要確切知道是否存在於歐拉方程中的值。假如有奇點能夠產生於歐拉方程中，就代表著歐拉方程的失效，當奇點產生時，歐拉方程便不再適用於預測和描述流體的運動。因為歐拉方程不能用無窮大的量來計算。
這一發現引起了轟動。200多年來，一直有數學家在尋找歐拉方程不穩定的情況。他們進行了大量數值模擬，希望能以此計算出他們認為可以產生的奇點，但當越來越強大的計算機對那些結果進行反覆試驗時，它們都沒能經受住考驗。最終似乎只有Hou和Luo找到了一個可能真正成立的結果。
許多研究歐拉方程的研究人員認為，Hou和Luo的模擬是我們所擁有的最令人信服的奇點場景。
3 一系列的數學證明
然而即便如此，計算機模擬只是證據，不是數學證明。從某種意義上說，計算機是有其極限的，它們無法達到無窮小的尺度。因此，即便看上去這些結果可能已經很有說服力了，但沒人能保證當使用一臺更好的超級計算機來計算時，還能得到相同的結論。
因此，數學家們開始想要從數學上證明Hou和Luo所觀察到的現象，於是便有了我們前面提到的那一系列數學證明。這些證明陸續擴展了人們對歐拉方程奇點形成的數學理解。
終於，數學家Tarek Elgindi、Tej-eddine Ghoul和Nader Masmoudi分別在2019年4月和10月，用兩份證明詳細闡明了歐拉方程會產生奇點的情況。雖然他們的證明也涉及到對一些特殊條件進行假設和簡化，與數學家所尋求的對歐拉方程中的奇點形成的完全理解還有一定距離。但他們的論文仍被認為是迄今為止該領域取得的最接近目標的結果之一。
Elgindi的研究結果促成了新一輪的數學發現。2019年10月，Hou和Jiajie Chen採用Elgindi的方法，為一個與2013年的研究結果密切相關的場景創建了一個嚴格的數學證明。他們證明，在這個稍微修正過的場景下，模擬中所出現的奇點確實存在，為確定歐拉方程的確存在奇點添上了濃墨重彩的一筆。
當然，若要完全確定歐拉方程中的奇點問題，還有更多的工作需要開展。並且，在Hou的這份新的證明中，仍然存在有一些技術上的限制，使其無法在他於2013年所模擬的確切場景下證明奇點存在。但經過6年累積的豐碩成果，他們相信很快就能克服這些挑戰，為這個證明畫上完美句點。
參考來源：
[1] https://arxiv.org/pdf/1310.0497.pdf
[2] https://arxiv.org/abs/1910.00173
[3] https://www.quantamagazine.org/for-fluid-equations-a-steady-flow-of-progress-20200113/
來源：原理
編輯：zyi
↓ 點擊標題即可查看 ↓