「當一個物體從遠處以速度V向地球(質量M)駛來，需要多近才能被地球的重力場影響到？」
這是一個很有趣的問題。
有幾種方式可以解答你的疑惑，最簡單的就是去使用被我們成為「雙曲飛行」的假設。讓我們假設一個物體距離地球很近，以至於地表重力的影響超過可太陽。一個小行星在以無限大被稱為V無窮大的速度靠近地球，並且，這個物體是沒有約束的，或者說，有著極大的能量，它的軌道是接近一個以地球中心為焦點的雙曲線。(如果這個物體受約束，或者說，有少量能量，像一顆人造衛星，如果物體剛好有著足夠的能量去逃離地球的重力，它又像拋物線。
橢圓，正圓，拋物線和雙曲線被稱為圓錐曲線，因為他們可以看作從一個圓錐體切出來的一個平面)。任何軌道，無論它是橢圓，拋物線還是雙曲線，都需要在空間中描述六個參數(實際上，如果在三維空間內你有一個物體，難麼你需要六個常量，三個表達位置，三個表達速度）。為了達到我們的目的，我們僅僅需要介紹它們中的兩個，偏心距和半長軸。偏心距是一個告訴你圓錐曲線如何「開口」的參量：等於零是一個正圓，小於1是一個橢圓，大於1是一個雙曲線。偏心距越大，雙曲線的開口越大。半軸長告訴你軌道的長度。
對於一個正圓，他將對應的是半徑，對於一個橢圓，他將是較長軸的長度。對於一個雙曲線它更難去想像，因為它是一個向外開口的軌道，在數學上它被定義為在雙曲線上的任意一個點，有著對於兩個被稱為焦點的固定點的距離之差等於2*a(對於一個橢圓它會是距離之和。)。
如果我們稱最短距離為q,它可能適用於任一個圓錐曲線。
(1)q=（1-e）*a
因為e>1並且q一定是正的（它是個距離...）那就是為什麼在天體力學中雙曲線的a通常是一個負值的原因。你期望的是q的值。但是為了計算它，我們首先需要依據我們所知道的無窮打的速度V無窮,撞擊參數（看數據）和地球質量來確定a和e的表達式。
在這個（大的）假設下太陽的影響是微不足道的，運動是平面的而且角動量，或者說粒子位置時間和它的速度的矢量積是守恆。所以，它的初始值將是一個在飛行過程中的常數。如果我們把碰撞參數設為D,那麼在t=0時的角動量h將被定義:
（2）h=V無窮大D
並且指向z軸。
可以證明，對於任意的圓錐軌道（例如，一個橢圓，一個雙曲線或者一個拋物線，參考1998年丹比的「天體力學的基本原理」。例如78-82頁的
威曼貝爾）h被定義:
（3）h=sqrt{M*a*（1-e）}
其中的M是引力常數和地球質量m2的乘積。
將2式等於3式聯立出由已知的m2，V無窮大,D與未知的a和e組成的關係式，即:
（4）sqrt{M*a*（1-e）}=V無窮大D
我們還需要另一個等式，並且它是由能量守恆定律給出的。如果我們考慮質量為1的小行星，那麼在任何時候，它的能量被定義為:
（5）E=-μ/r+V/2
或者說，常見的動能和勢能之和，在t=0,V=V無窮，r離中心很遠的時候，第一項太大以至於可以被忽略。對於任何軌道，它的能量也能被定義為（丹比，63-65頁）:
（6）E=-μ/2a
我們最後需要做:將5式和6式聯立:
（7）a=-μ/V無窮大
（雙曲線應該是負的）在一些代數後，將7式放入4式將得出:
（8）e=1+V無窮大^4*D/μ
所以q最終被定義：
（9）q=-Gm2/V無窮大（1-sqrt{1+V無窮大∧4*p/μ}）
這是你想得到的，由地球質量，無窮大的速度以及碰撞參數組成的式子。
然而在推導這個表達式時，我們已經忽略了太陽的影響。如果我們想更加真實一點，我們也應該考慮太陽的影響。這就是天體力學中我們所稱的「三體」問題，不幸的是，這個問題沒有精確的解析解（但是近似的方法可以通過集中數學技巧被找到）。
其中一種方法可能是去使用辛積分器，這些程序可以數值計算一個中心物體和幾個擾動體的引力影響下物體軌道元素的演化。然而你的問題是非常困難的，因為小行星正在從太陽的引力影響轉移到地球引力影響佔優勢的區域。就在最近，新的辛積分器已經被編寫去解決這個問題（Levison和Duncan的Symba,J·Chambers的水星），這允許研究幾個有趣的問題，例如大型小行星和小行星家族成員之間近距離相遇的長期影響(~500 Myr)。
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