數學規律到底是一種客觀實在，還是數學家發明出來的一種遊戲？這是一個很難回答的問題。數學家對他們研究的對象往往持有兩種互不相容的觀點。
例如，素數之間存在哥德巴赫猜想所揭示的關係，數學家們還在不斷地發現這種關係。但是，這一猜想（數學對象）是不是獨立於人類存在的呢？
如果數學對象是真實的客體，那為什麼不能被觸摸，不能與它們互動？這些問題常常導致數學家做出這種假設：事實上，數學對象的世界是虛構的。
數學概念的遊戲
當我告訴別人我是一名數學家時，最讓人感到奇怪的反應之一就是：「我真的很喜歡數學課，因為這裡的一切要麼是對的要麼是錯的，不存在含糊不清或者不確定性。」對此，我總是支支吾吾地回應。事實上，並不是每個人都喜歡數學這門學科，而我也不想打擊人們對數學的積極性。其實，數學也充滿了不確定性，只不過數學自身很好地隱藏住了這種不確定性。
我當然理解那種認為數學不存在不確定性的觀點。比如說，如果老師問你，7是否為一個素數，那答案肯定是「是」。因為根據定義，素數是一個大於1且只能被自身和1整除的整數，2、3、5、7、11、13等都是素數，所以7是素數是非常確定的。
在過去幾千年中，在全世界的任何地方、任何時候、任何數學老師都得承認，「7是素數」這個說法是正確的，而不會給你的回答打叉。然而，很少有其他學科可以像數學這樣獲得如此令人難以置信的共識。但是，如果你問100位數學家這些數學命題的本質可以用什麼來解釋，你卻可能得到100個不同的答案。數字7可能真的只是作為一個抽象的數學對象而存在，而素數性質是該對象的一個特徵。又或者，素數這個概念本身可能是一個數學家精心設計的遊戲。換句話說，數學家們能夠一致同意一個命題是正確還是錯誤的，但他們不能就這個命題的本質達成一致意見。
在一定程度上，這些爭議是一個簡單的哲學問題：數學到底是由人類發現的客觀規律，還是依賴於主觀願望的發明？也許7是一個獨立於我們的真實客體，但它的本質是什麼卻是數學家目前還在探索中的事物。或許它是人們想像中的虛構之物，其定義和屬性是靈活可變的。事實上，數學研究的這種行為激發了一種與哲學上的二元論相似的觀點，在該觀點中，數學是人類的發明，也是人類的發現。
這一切在我看來有點像即興表演的戲劇。數學家構造了一個由少數字符或客體構成的數學背景舞臺，以及一些互相作用的規則，然後看這些數學對象在這種背景下如何發展演變。結果是這些字符演員們完全獨立於數學家的意圖，迅速發展出令人驚訝的特性和關係。然而，無論誰來導演這場劇，結局總是一樣的。正是這種結局的必然性賦予了數學學科強大的凝聚力。關於數學對象的本質和數學知識獲取的難題還隱藏著，沒被發現。
真理與證明
我們如何判斷數學命題是否正確？跟自然科學家通常通過從觀測自然現象來推斷自然界的基本原理不同，數學家是從數學對象的規則開始，嚴格地推導出結論。這種演繹過程被稱為證明。這個過程通常是從比較簡單的前提出發，推導出複雜的結論。初看起來，數學證明過程似乎是數學家之間取得共識的關鍵因素。
但證明僅賦予了數學基於某些條件才成立的真理，也就是說結論的真實性取決於前提假設的真實性。有一個普遍觀點認為，數學家之間的共識是由基於證明的論證結構產生的。證明基於某些核心假設，其他的結論都依賴於這些假設。這就提出了一個問題：這些核心假設和想法從何而來？
其實，數學最重要的一點，通常是有用性。例如，我們需要數字，以便我們可以計算牛的頭數，測量田地的面積。有時，最初的假設是具有審美趣味的。例如，我們可以發明一種新的算術系統，在這個系統中，一個負數乘以一個負數就是一個負數。但是，在這個系統中，那些直觀和理想的數軸屬性將會消失。數學家對基本對象（例如負數）及其性質（例如將它們相乘的結果）的判斷需要與一個更大的數學框架自洽。因此，在證明一個新定理之前，數學家需要觀看這齣戲劇的發展。只有這樣，數學家才能知道要證明什麼：什麼才是真正不變且必然的結論。
因此，數學的發展有三個階段：發明、發現和證明。
數學中的角色幾乎總是由非常簡單的對象構成。例如，圓被定義為與中心點等距的所有點的集合。因此，圓的定義依賴於一個點的定義（這是一種非常簡單的對象類型）以及兩個點之間的距離。類似地，重複加法的過程就是乘法；一個數重複自己乘自己的乘法就是乘方。因此，乘方的屬性繼承了乘法的屬性。反過來，我們也可以通過研究被定義得更簡單的對象來了解更複雜的數學對象。這導致一些數學家和哲學家將數學設想為倒金字塔，其中許多複雜的對象和想法都是從位於狹窄塔底的簡單概念中推導出來的。
在19世紀末20世紀初，一群數學家和哲學家開始思考，到底是什麼託起了這個沉重的數學倒金字塔。他們極度擔心數學沒有基礎——沒有任何東西支持1+1="2"這樣的數學結論的真實性。
一些數學家希望通過一個相對簡單的公理集合，從中可以得出所有數學真理。然而，美國數學家科特·哥德爾（Kurt Godel）在20世紀30年代的工作經常被用來證明這種公理化系統是不可能的。首先，哥德爾表明，任何合理的公理系統都是不完備的，這個系統所存在的數學表達既不能被證明，也不能被反駁。哥德爾關於數學不完備性的定理給了數學一個毀滅性的打擊。本來大家覺得數學公理的基本系統應該是一致的，沒有既可以被證明又可以被反駁的表述。更重要的是，以前的數學家覺得，數學系統應該能夠證明它自己的一致性。但哥德爾定理指出這是不可能的。
尋找數學基礎的探索過程確實導致了一個基本公理系統的發現，這個系統被稱為澤梅洛-弗雷蒙（Zermelo-Fraenkel）集合論，人們可以從中得到最有趣的數學。基於集合論，不但數學變得非常簡單而清晰，大部分的數學知識也有了穩固的基礎。
在整個20世紀，數學家爭論著是否應該擴展澤梅洛-弗雷蒙集合論，即所謂的選擇公理：如果你有無數個包含對象的集合，那麼你可以從每個集合中選擇一個對象來形成一個新的集合。比如有一排桶，每個桶中有一組球，還有一個空桶。從排成一排的每個桶中，你可以選擇一個球並將其放入空桶中。選擇公理允許你使用無數排的桶進行操作。這種方法不僅具有直觀的吸引力，可以用來證明一些有用的數學表述，還暗示了一些奇怪的東西，比如Banach-Tarski悖論，它表明你可以將一個實心球分成幾個部分，並將這些部分重新組裝成兩個新的實心球，每個球的大小與原來的球相等。換句話說，你可以獲得兩個球。選擇公理蘊含了許多重要的表述，但也帶來了額外的問題，包括了一些奇怪的不良表述。但是如果沒有選擇公理，數學似乎缺少了一些關鍵的本質性的內容。
大部分現代數學使用著一套隨時間推移而逐漸形成的標準定義和慣例。例如，數學家曾經將1視為素數，但現在不是了。然而，他們仍然在爭論0是否應該被理解為自然數（有時稱為計數數字，自然數被定義為0、1、2、3……或1、2、3……這取決於你問誰）。哪些字符或發明能成為數學經典的一部分，通常取決於結果的有趣程度，而這種觀察可能需要數年時間。從這個意義上講，數學知識是累積的。
發現或者發明
如前所述，數學家一開始考慮在特定應用條件下來定義數學對象和公理。然而，隨著時間推移，數學發展到了的第二個階段——發現。例如，素數是乘法的基石，是最小的乘法單位。如果一個數不能寫為兩個較小數的乘積，則此數是素數。所有非素數（合數）都可以通過一組唯一的素數相乘得到。
1742年，德國數學家克裡斯蒂安·哥德巴赫（Christian Goldbach）假設每個大於2的偶數都是兩個素數之和。如果你選擇任意一個偶數，那麼哥德巴赫猜想指出，你都可以找到兩個素數相加得到這個偶數。如果你選擇8，這兩個素數是3和5；如果你選擇42，則可以為13+29。哥德巴赫猜想之所以令人驚訝，是因為儘管素數起初被設計成相乘，但這個猜想表明，素數之和與偶數之間存在令人難以置信的關係。
大量證據表明，哥德巴赫猜想是成立的。在此後的300年中，計算機數值計算證實，這個猜想對小於〖4×10〗^18的所有偶數都是正確的。但是，這一證據不足以讓數學家們宣稱哥德巴赫猜想是正確的，因為無論計算機檢查了多少個偶數，但偶數有無窮多個，因此總可能存在一個反例潛伏在角落裡——一個不是兩個素數之和的偶數。
想像一下，計算機每次找到兩個素數之和為特定偶數的時候，會把這個偶數記錄下來。到目前為止，這是一個非常長的數字列表，你可以把它作為一個令人信服的理由，讓大家相信哥德巴赫猜想是對的。但是，總有人能夠想到一個不在列表中的偶數，並詢問你如何知道哥德巴赫猜想對於那個數字也依然成立。不是所有（無限多個）偶數都會出現在列表中，因此，只有從基本原理出發，通過邏輯論證證明哥德巴赫猜想對於任何偶數都成立，才足以將這一猜想提升為一個定理。然而，直到今天，還沒有人能夠提供這樣的證明。
哥德巴赫猜想說明了數學發現階段和證明階段之間的重要區別。在發現階段，人們尋求數學事實與數學現象，而數學本質則需要堅實的證明。
數學家需要整理數學發現並決定要證明什麼，但它們也可能具有欺騙性。例如，讓我們構建一系列數字：121、1211、12111、121111、1211111等。我們做如下一個猜想：數列中的所有數字都不是素數。為這個猜想提供證據是很容易的。可以看到121不是素數，因為121="11"×11。同樣，1211、12111和121111都不是素數。這種模式可以持續一段時間，但隨後它突然就出錯了。這個序列中的第136個數（即數字12111……111，其中有136個「1」跟在「2」後面）是素數。
數學發現階段仍然是極其重要的。比如它可以揭示哥德巴赫猜想給出的素數之間的隱藏聯繫。在發現這種深刻聯繫之前，數學家通常會對兩個完全不同的數學分支進行研究。一個相對簡單的例子是歐拉恆等式，eiπ+1="0"，它通過數字e（自然對數的基數）將幾何常數π與數字i（代數上定義為-1的平方根）聯繫起來。這些驚人的發現是數學美感和好奇心的一部分。它們似乎指向一個更深層次的基礎結構，而數學家才剛剛開始理解這些結構。
在這個意義上說，數學既能被發明又能被發現。研究對象是被精確定義的，但它們具有自己的生命，會揭示意想不到的複雜性。因此，數學對象可以被視為既是實際存在的同時又是被人為創造的。正如某哲學家所寫的那樣，「二元性對於數學家的工作方式沒有任何影響」。
現實或者虛幻
數學現實主義似乎是發現階段的哲學立場：數學研究的對象，例如從圓和素數再到矩陣和流形，是真實並且獨立於人類思想而存在的。就如同探索遙遠星球的天文學家或研究恐龍的古生物學家，數學家是在收集對真實實體的洞見。例如，證明哥德巴赫猜想成立，即為證明偶數和素數之間通過加法相聯繫的特定性質，就像古生物學家可能會通過兩個物種解剖結構之間的相關性來表明一種恐龍起源於另一種恐龍。
現實主義的各種表現形式，如柏拉圖主義，很容易理解數學的普遍性和實用性。每一個數學對象都具有一個性質。比如7，它是一個素數，如同恐龍具有飛行的屬性。一個數學定理，如兩個偶數之和為偶數——這是正確的。因為偶數確實存在，並且彼此之間存在特定的關係。這就解釋了為什麼跨越時間、地理和文化差異的人們普遍認同這些數學事實。
但有些人對現實主義持有反對意見。他們認為，如果數學對象真實存在，那麼它們的性質肯定是非常獨特的。首先，數學對象非常抽象，所以你不能真正地與它們互動。這是一個問題，因為恐龍能分解成可以看到和觸摸的骨骼，行星也可以從恆星前面經過，被天文學家觀測到，但數學上的圓是一個抽象的物體，不受空間和時間的限制。事實上，π是圓周與圓直徑的比值，並不與蘇打水或甜甜圈有關；它指向的是一個數學上抽象的圓，其中距離是精確的，並且圓上的點也是無窮小的。這樣一個完美的圓看起來在現實生活中無法達到。那麼，如果沒有某種特殊的第六感，我們如何才能了解有關圓的事實呢？
這就是現實主義的困難之處——它無法解釋我們如何知道抽象的數學對象的本質。所有這些都可能導致數學家從現實主義立場上退縮。反現實主義把數學框定為一種純粹形式的思維練習或一部完整的小說，很容易就能避開認識論的問題。
形式主義是一種反現實主義的形式，也是一種哲學觀點。它主張數學就像一場遊戲，數學家們只是在玩遊戲規則——說7是素數，就好像在說騎士是唯一能以L形式運動的西洋棋棋子。另一種哲學觀點是虛構主義，認為數學對象是虛構的——說7是素數，就像是在說獨角獸是白色的。數學在其虛構的宇宙中存在意義，但在它之外卻沒有真正的含義。
但是，如果數學只是被編造出來的，那麼它怎麼可能成為科學中必不可少的一部分呢？從量子力學到生態學模型，數學是一個廣泛而精確的科學工具。科學家並不指望基本粒子按照西洋棋的規則移動。自然科學描述的重擔完全落在數學身上，這與遊戲或虛構是截然不同的。
最後，這些問題並不影響數學的實際應用。數學家可以自由地選擇對自己職業的解釋。在《數學經驗》（The Mathematical Experience）一書中，菲利普·戴維斯（Philip Davis）和魯本·赫什（Reuben Hersh）有一句名言：「典型的職業數學家平日裡是柏拉圖主義者，在周末則是形式主義者。」