數學家花了400多年來研究的這個概念，中學生都說很難.
2020-11-05 數學原來如此1638年，義大利數學家伽利略（Galileo，1564-1642）提出了一個對數學影響深遠的物理問題——「最速降線問題」：
一個質點在只受重力作用下，從A點運動到（不在其豎直下方的）B點，問沿著什麼曲線滑下所需時間最短.
為了找出上面的「最速降線問題」所描述的曲線，讓我們先來看看常見的一些曲線——線段、拋物線、圓、橢圓等。哪一個最有可能呢？
根據「兩點之間線段最短」的數學原理，「最快路線」會不會是線段呢？答案是：不會。伽利略在《論兩門新科學》中已經給出了這樣一個明確結果：質點從A點沿圓弧要比沿直線運動先到達B點。
線段不是「最快」的
那圓弧就是要找的曲線嗎？伽利略很肯定的回答。但很遺憾的是，這次伽利略失算了。因為在17世紀末期，約翰·伯努利（Johann Bernoulli，1667 - 1748）等數學家證明了：最速降線不是我們所常規見到的任何一種曲線，而是一條連結A，B兩點的上凹的旋輪線（又稱圓滾線或擺線）.
旋輪線的形成動圖
旋輪線：一個圓沿一條直線運動時，圓邊界上一定點所形成的軌跡.
現在看來，「最速降線問題」是17世紀物理學中諸多運動問題中的一個，雖然伽利略沒能很好的解決這個問題，但是他關於運動的研究卻產生了一個對數學影響深遠的概念——函數。
一、以曲線為基礎的函數
◎從靜止狀態開始以定常加速度下降的物體，其經過的距離，與所用的時間成正比.
◎沿著同高度但不同坡度的傾斜平板下滑的物體，其下滑的時間與平板的長度成正比.
伽利略在他的《論兩門新科學》一書中，用上面這樣的「文字和比例的語言」來表達函數關係.
用現代的符號表示，第一句話描述了落體運動的兩個變量：距離s、時間t之間的函數關係. s=k·t^2.而第二句話描述了物體下滑中的兩個變量：時間t、距離s之間的函數關係：t=k·s.
伽利略關於函數的研究，只差將文字轉化為符號表示了，而同時期的數學家笛卡爾已提到一個變量對另一個變量的依賴關係,但仍舊沒有使用符號，並且這裡的變量只能是正數。為什麼他們都不使用簡潔、易懂的符號語言呢？ 答案是，並非不想，而是壓根沒機會，因為當時代數「符號」的使用並沒有得到現在這樣的發展和普及.
儘管16世紀的韋達在代數、及符號上已經做了很多工作，17世紀的笛卡爾和費馬也通過解析幾何將幾何問題代數化。但是整個17世紀，仍然是以「幾何」為基礎構建數學知識的，「符號」在數學、物理的工作中仍然還不夠普遍. 因此，在這段時間，關於函數概念的引進，大部分都是被當做曲線來研究的.函數中的變量也經常以「線段」的形式出現。
在引入了幾何形式的函數概念後，很多曲線在17世紀得到深入研究。如，正弦曲線、對數曲線、指數曲線、懸鏈線、旋輪線等。其中，關於「旋輪線」的研究產生了數學史上的第一條「正弦曲線」（1/4個周期）.關於固定兩端的懸索的形狀研究產生了「懸鏈線」、「最速降線問題」產生了旋輪線.而對數函數也被作為指數函數的反函數而重新定義。
到了這個世紀末期，牛頓、萊布尼茨把曲線看成動點來研究，並在函數的基礎上構建「微積分」，讓函數概念在曲線的大前提下有了更深刻的含義，並徹底鞏固和確定了函數作為接下來3個世紀的數學「中心」概念，但是他們眼中的函數仍然依託於「曲線」而存在的. 牛頓使用「流數」（(fluxion)）來表示變量間的關係，而萊布尼茨使用的我們現在仍在使用的「函數」（fuction)一詞。
總之，17世紀是函數概念的起源時期，它從開始的「文字」描述到之後的依附於曲線的研究，最後到支撐微積分的發展，實質上都是在討論幾何範圍內某些變量之間的依賴關係.這是數學概念發展的內因促使，但同時也是當時以「幾何」為基礎的數學研究所導致的必然結果。但隨著「代數」地位的逐步提升，18世紀的「函數」概念有了明顯的變化；同時，「函數」作為數學中心概念的進一步確立，也讓代數超越幾何走到數學的更前沿。
二、以單一表達式為基礎的函數
18世紀，大部分的初等函數和部分超越函數已得到很好的研究，但依託於「曲線」的函數概念已不能滿足數學發展的需求。於是，約翰·伯努利和歐拉作了重要的嘗試，將「函數」作為單獨的個體（而非依託於曲線或幾何）來研究。
歐拉在他的數學巨著《無窮小分析引論》中，將函數概念「公式化」——「由一個變量和一些常量，通過任何方式形成的解析表達式」，強調函數要由一個表達式來表示。如z, z^2+1, √z+2等都是z的函數.另外，歐拉還定義了sinz,e^z，logz等函數，一個重大變化是將正弦函數定義為數值比而非線段，並且使用符號f(x)來表示函數。
正弦函數
以此為明顯開端，函數從（幾何的）曲線中分離了。但是從歐拉關於函數的定義上也可以看出，當時的函數具有「唯一表達式」，沒有分段函數的概念，也不允許一個函數有兩個表達式。
隨著研究的不斷深入，人們發現了一個函數有時並不是由一個表達式來表示的。
隨後關于波動理論的研究，歐拉也進一步發現了這個定義的局限性：波動理論所導致的方程也不能用一個表達式來表出。這對函數的當前概念提出了嚴峻挑戰——要使得新的研究變得更合理，函數需要一個恰當的延拓，這是下一個世紀數學家的任務。
三、建立的對應關係下的函數
19世紀，柯西從定義變量開始給出了函數的定義：
在柯西的函數定義中，第一次的引入「自變量」一詞.在此基礎上，1837年，德國數學家狄利克雷（Dirichlet，1809-1859）大膽提出：
對於在某區間上的每一個確定的x值，y都有一個確定的值，那麼y叫做x的函數。
狄利克雷的函數定義強調「運動」與「變化」，而怎樣去建立x與y之間的依賴關係並不重要。也就說，函數並不一定要有解析式。這是對18世紀「唯解析式」論的巨大挑戰。而最終，狄利克雷的函數概念得到了大眾認可而成為「經典概念」。
四、集合理論下的函數概念
但是到了20世紀，「集合論」的誕生，讓函數概念的發生了巨大變化。以前函數是構建數學的中心。但是現在數學大廈建立在了「集合論」的基礎上。1930年，現代數學正式定義函數：若對集合M的任意元素x,總有集合N確定的元素y與之對應，則稱在幾何M上定義一個函數,記為f.元素x稱為自變量，元素y稱為因變量. 該定義自產生就得到數學家們的一致認可，從此以後，函數的概念就再無新的重要變化。
五、中文「函數」的來源
函數的概念從17世紀誕生開始，在西方得到迅猛發展，促使了像「微積分」等重要數學內容的發現。但是在我國，要直到19世紀，才通過傳教士的引入、李善蘭翻譯而被認知。李善蘭在其著作《代數學》中寫道：「凡此變數中函彼變數者，則此為彼之函數」。由此開始funtion被翻譯為「函數」一詞。
總之，函數的概念起源於17世紀對運動的研究，經過18、19世紀的發展，到了1837年，狄利克雷從「運動」的角度給出了函數的「經典定義」——這也是現在初中教材中的定義，它強調了變量之間的關係離不開運動和變化。但是集合作為數學新的基礎的發現，最終20世紀從「集合與對應」角度抽象出的函數概念被廣泛認可與使用——這也是高中數學教材中的函數定義，該定義除了對「變量」關係的肯定外，還揭示了變量間的「對應」關係這一重要本質.
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