與浸漸守恆相關的試題有許多：傳統的緩慢推動活塞使在真空氣缸做一維往復反彈運動的小球的動能增加問題；理想氣體經歷準靜態絕熱可逆過程的泊松方程（PV^γ=常數）；2015年清華大學全國優秀中學生物理學金秋營筆試題——緩慢拖短單擺繩長使振幅增加的問題以及在每次單擺運動至最低點時瞬間拖短繩長使振幅增加的問題……
接下來，作者提出並求解一道難度較大的浸漸守恆問題：初態有一個靜質量m的粒子在一維諧振子勢場V=kx^2/2（即在彈簧力的作用下）中做振幅為A_0的往復運動，已知kA^2/2mc^2遠小於1（即振動能遠小於粒子靜能），取最低階狹義相對論修正。現在非常緩慢地把勁度係數k增加到原來的兩倍2k，求末態振幅是初態振幅的多少倍？
我們先來看一種interesting的解法：
咦？兩種解法的結論不一致？！陷入沉思……哦！其實兩種解法是殊途同歸的，解法二中的A並非觀察者測到的振幅，轉化到與解法一同樣的表達方式後將獲得一致的結論：
不難看出，以上兩種解法各有利弊。解法一的技巧性較強但獲得的微分方程並不容易解；解法二普適性較強且具備《理論力學》血統，缺點是計算量較大。
其實，從解法一還可以延伸出一種求解相對論振子運動解的簡易方法，可以迴避繁瑣的迭代運算：
如果你足夠無聊，還可以研究一下此相對論振子的逆投影曲線。經典牛頓振子的逆投影曲線是我們熟知的「參考圓」，那麼相對論情形下它長得什麼樣子呢？這裡就需要你有一點工科意識啦！在工程科學裡經常運用一種繪圖裝置，詳情如下：
（作者寫字太醜/捂臉）
大概就是這個樣子：有一個內壁足夠粗糙的圓筒，一個滾輪上固定一根畫筆，圓筒半徑是滾輪半徑的4倍，這樣就能使得滾輪的自轉角速度等於3倍的公轉角速度，在x軸上的投影即為一維相對論振子的運動解。
至此，我們已經得到了相對論振子的浸漸守恆量，那麼求末態振幅只剩最後一步代入了：
The End
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