互斥不獨立,獨立不互斥,對嗎?

2021-02-19 高考數學左老師

微信暱稱為「依凡」的讀者朋友，是公眾號的鐵桿粉絲了.她問到下面這樣一個問題：

兩個事件A，B，互斥一定不獨立，獨立一定不互斥，對嗎？

好問題.

先說答案：若P(A)≠0且P(B)≠0，這個結論是對的.

互斥不獨立


兩個事件A,B互斥，說的是事件A和B不可能同時發生.

兩個事件A,B獨立，說的是事件A(或B)是否發生對事件B(或A)發生的概率沒有影響.

若P(A)≠0且P(B)≠0，A與B互斥，則必然不獨立.

這個從常識上也好理解.

A與B互斥，A發生了，B就必然不能發生，當然對B的概率有影響，因此A與B不獨立.

獨立不互斥

若P(A)≠0且P(B)≠0，A與B獨立，則必然不互斥.

這是可以證明的.

因為A和B獨立，所以P(AB)=P(A)P(B).

又P(A)≠0且P(B)≠0，所以P(AB)≠0.

下面用反證法.

若A和B互斥，則AB=∅，所以P(AB)=P(∅)=0，這與P(AB)≠0矛盾.

因此，在兩個事件發生的概率都不為0的情況下，獨立不互斥.

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