歐拉數(e)的發展歷史——數學是上帝用來書寫宇宙的語言!

在數學中，有一些精心挑選的神奇常數貫穿所有的分支。這些常數在我們的歷史中不斷被發現，為我們的日常生活提供了數字基礎；就像周期表中的化學元素一樣，數學中的特殊常數是基礎性的。舉幾個例子，我們有0，圓周率π， - 1 (i)的平方根，當然還有指數國王，歐拉常數「e」(~2.718)。

這篇文章的重點是深入研究「歐拉數」，也被稱為「納皮爾數」(Napier’s number)，更常見的說法是自然對數e。對於外行來說，e是指數關係的關鍵，特別是與任何不斷增長的事物相關。

就像每一個數字都可以被認為是1(基本單位)的倍數，每一個圓都可以被認為是單位圓(半徑1)的比例，每一個增長率都可以被認為是e(單位增長，完美複合)的比例。e是所有持續增長過程共享的基本增長率。當系統呈指數增長時，它就會出現：人口、放射性衰變、利息計算等等……e代表了所有持續增長的系統的一個基數。

下面，我們將探訪為這一發現做出貢獻的三個人：約翰·納皮爾、雅各布·伯努利和倫納德·歐拉。

納皮爾對數

發現e的第一步始於一個蘇格蘭博學者：約翰·納皮爾。納皮爾的貢獻並非來自純粹的數學理論，而是一種實際的需要：在將非常大的數字相乘時，一種計算捷徑。

在他那個時代，一個常見的問題是，天文學家反覆觀察潛在的新發現，但他們卻被無休止的計算所困擾，這些計算導致了不準確或徹底放棄了進展。就像乘法是加法的快捷方式，指數是乘法的快捷方式一樣，納皮爾找到了計算的下一個快捷方式：指數的快捷方式。

納皮爾對對數的最初討論出現在他1614年出版的《米裡菲西對數規範描述》一書中。與今天使用的對數不同，納皮爾的原始對數以1 / e為底且包含一個常數（10^7）。納皮爾把他的對數定義為幾何形式的兩個距離之比，而不是目前把對數定義為指數。雖然不是我們今天使用的對數，但我們將在下面討論Napier如何推導它。

納皮爾把對數的概念建立在運動學框架上。他想像兩個粒子沿著兩條平行線運動；第一條線無限長，第二條是固定長度。納皮爾設想這兩個粒子以相同的速度同時從相同的位置出發。他使第一個粒子在無限長的直線上作勻速運動，使它在相等的時間內走過相等的距離。第二個粒子在有限線段上運動，使其速度與粒子到線段固定終點的距離成正比。

納皮爾的平行線與移動的粒子-科學系列的裡程碑更具體地說，在任何時刻，在第二條(有限)線上未經過的距離是正弦值，而在第一條(無限)線上經過的距離是正弦值的對數。結果是，當正弦值減少時，納皮爾對數值增加。此外，正弦函數的幾何比例減小，而對數函數的算術比例增大。

為體現這種關係，納皮爾做了一張數字表，表格中，計算出每個角度對應的pn值：

納皮爾對數

第一列中的值對應於第三列中角度的正弦值，其對應的對數放在第二列的中間。同樣的表值可以在下面的表的前六行中看到。

為了完成他現在著名的對數表，納皮爾自己計算了近1000萬個條目，從中選擇合適的值。歷史證據表明，納皮爾至少花了20年的時間，創造了以下表格：

科學的裡程碑系列再次，值得重申的是，納皮爾最初提出的對數與後來普遍採用的對數明顯不同。最主要的是，大多數從事艱苦計算的人通常是在三角學的背景下做的。因此，在發展對數關係的同時，納皮爾把它放在三角函數的背景下，所以它會更相關——它與指數增長的聯繫，在幾十年內不會發生。

然而，事實仍然是，世界上很少有數學發明像納皮爾對數那樣出乎意料地突然出現。儘管各種不同的分支（通過加法相乘的思想，比較算術和幾何級數的思想，運動的概念的使用）在某個階段都已經浮出水面，納皮爾的工作受到的熱情表明認為這是一項新穎的發明，並且滿足了迫切的需求。將對數定義為指數的可能性並不為人所知，直到伯努利和歐拉出現。

伯努利的問題

雅各布伯努利對e地發現的貢獻，恰好以一種對金融的好奇拉開了序幕。起初，他做了一個思維實驗，思考在相同的速度下，在不同的時間段內，複合增長是如何改變主要產出的。下一系列的例子都使用了標準的年度增長公式：

伯努利的邏輯是基本的，想像一個例子銀行帳戶A，從1元開始，每年支付100%的利息。年底本金為2元。但是現在，不是將全部100％複利一次，而是以50％的利率複利兩次，那麼到年底的本金為2.25元；如果是以33％的利率複利3次，則年底的本金為2.37元；如果我們按季度計算（複利4次），一年後本金為2.44元！

正如伯努利所注意到的，增加複利周期的頻率，同時保持增長率不變，增加了我們的產出；然而，產出原則是在一個遞減的速度增加。例如，半年複利導致12.5%的增長，每四個月複利導致18.5%的增長，季度複利導致22%的增長。隨著複利周期的增加，然而，這種增加是以遞減的速度增長的。

這暗示了在足夠長的時間軸上的收斂，這讓我們知道我們在處理一個無窮級數，所以我們求助於求極限的微積分工具。正如伯努利自己思考的那樣，當我們以更快的頻率複利時，我們的原則會發生什麼變化——比如，如果我們每周複利(2.69元)，甚至每天複利(2.72元)。很明顯，更頻繁地計算複利會導致銀行裡有更多的錢，所以很自然地要問，當利息每時每刻(也就是連續不斷地)以複利計算時，會發生什麼？

伯努利以n為複利區間的個數，每個區間的利率為100%，建立了一個極限函數，歐拉將在40年後得到這個極限函數：

伯努利被認為是第一次把e寫下來的人，因為他確實通過上面的計算接近了e的值(2.718281)。然而，直到歐拉，e的重要性才真正被發掘並嵌入到日常數學術語中。

歐拉的貢獻

令人震驚的是，倫納德·歐拉與e這個數字幾乎沒有任何關係，只是給它加上了一個令人難忘的名字。他的一個真正的技術貢獻來自於證明e是非理性的，通過把它重新寫成一個收斂的無窮階乘級數：

他的第二個貢獻，就是常量e以其首字母開頭的核心原因，僅僅是因為他在給同事的一封信中著名地使用了常量，並在歷史上將其聲明為e。巧合的是，「 e」是指數形式的第一個字母，但是，對於是否有意以自己的名字命名，尚無定論。事實可能更平淡無奇：歐拉在其他一些數學著作中使用字母a。

不管是什麼原因，符號e在1731年歐拉寫給哥德巴赫的信中首次出現。在接下來的幾年中，他對e有了各種各樣的發現，但直到1748年歐拉在《分析的無限》中發表了前言，他才對圍繞e的思想進行了全面的論述。

像π一樣，e是可導數，但仍保持其神秘的吸引力。花一點時間真正地理解以上內容—如果我們繪製等式y = e ^ x，我們會發現：

這條曲線在任意點處的斜率也是e^x從負無窮大到x的曲線下面積也是 e ^ xe和e ^ x的函數是所有數學中唯一一個常數，使上面的兩點都成立。這很重要，因為它再次展示了e與持續增長的關係如何緊密地交織在一起。就像在我們共同的現實世界中反覆出現的其他美麗，完美的常量一樣，這是令人難以置信的樂趣和收穫。誰知道還有多少其他特殊數字？我們的宇宙是無限的，因此我們幾乎不可能發現所有關鍵常數。也許，從現在開始的一個世紀後，π和e只會是許多神秘數字之一。