柯西發現了三角函數中隱藏的更為深層次的奧秘

三角函數，是數學最基礎最重要的知識，它幾乎貫穿了所有科學的」一生」最著名的就是歐拉將三角函數與虛數，自然常數e聯繫起來，得到了著名的歐拉公式

但是柯西卻另闢蹊徑，卻發現了三角函數中隱藏的更為深層次的奧秘

柯西從最基礎的數學談起：假設φ(α) =cosα

此時存在恆等式：這也是數學中的積化和差公式，這裡僅用數學符號表示出來顯得更為直觀

我們繼續，假設：

我們容易得到：

由此而得到餘弦函數的通用公式：

此處我們設x=y=(1/2)α 就得到

同理x=y=(1/4)α 就得到：

這裡柯西假設：這一步非常重要：這裡的r就等於

根據前面已有的結論，就得到了如下有關r的形式：

由此通用公式就是：

有關分數情況下的形式就是：

上述的通用公式就是：

如果用X來代替就是：

經過變換，柯西得到餘弦函數的一個重要關係式，

學過歐拉公式的人，一眼就可以看出這裡的A等於多少。

所以歐拉和柯西都是同等的偉大