今天的內容包括兩部分，第一部分是以例題的形式展示如何從三角形中挖掘出隱藏的有界性條件，二是分式型三角函數中值域的三種求法
一.有界性隱藏條件舉例
做到這一步貌似沒什麼錯誤，但是當sinx=-1時，可得siny=1/3+1=4/3>1,因此答案肯定不對，原因在於沒有正確的求得sinx的取值範圍，因為我們需要的是sinx的取值範圍，因此不放將sinx作為因變量，將siny作為自變量，因為-1≤siny≤1，則根據sinx=1/3-siny，可求得sinx的取值範圍是-2/3≤sinx≤1,
所以當sinx=-2/3時，siny-cosx才取得最大值為4/9
此時答案出現了兩個值，貌似兩個值都符合要求，但是對值作檢驗後發現符合要求的只有一個值，我們根據已有的條件做如下驗證，過程如下：
符合要求時cosA=4/5，∠A是銳角，但是如何從條件中判斷出∠A是銳角？方法有兩個：
1.根據∠B餘弦值縮小範圍
2.根據∠B的正弦值，利用大的正弦值對應大角
總結：三角函數是有界函數，這裡的有界性值得是值域的有界性，在三角形中有時候並不是單純的確定出角是銳角還是鈍角，而還需要進一步確定角度的更小範圍，在三角形問題中如果答案中包含兩個選項，則通常需要驗證這兩個選項的正確性，但是為了避免驗證，最好在題目一開始中就要找到三角形中隱含的條件。
二.分式型三角函數值域的求法
以上做法是分式型(齊次)三角函數值域最普通的做法，利用輔助角公式和三角函數有界性求出值域的取值範圍，但是注意到分式中正弦在分子上，餘弦在分母上，所以函數的值域也可以看成點(cosx,sinx)到點(2,2)斜率的取值範圍，而點(cosx,sinx)的軌跡在單位圓上，設點M(cosx,sinx)是單位圓上的任一點，點P(2,2),此時值域的取值範圍等同於單位圓上的點到定點P之間斜率的取值範圍，作圖如下：
如果該題目的分子部分變成了3sinx-2，分母不變，則此時就可以看作橢圓上的動點到定點(2,2)之間斜率的取值範圍，相比來說直接利用三角函數有界性來做會方便很多，幾何法僅為補充，但是如果分子分母中僅有一處有三角函數，或者可以通過化簡化成僅有一處有三角函數，則可直接利用有界性來求值域，如下題：