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知識定位
不定方程是數學競賽中經常出現的一些特殊形式的方程中的一種。要熟練掌握與勾股數有關的不定方程的定義及定理。本節我們通過一些實例的求解，旨在介紹數學競賽中勾股數有關的，不定方程相關問題的常見題型及其求解方法本講將通過例題來說明這些方法的運用。
知識梳理
1、 勾股數的定義
一般地稱x2+y2=z2的正整數解為勾股數，例（3，4，5），（5，12，13）（8，15,17）為勾股數
x2+y2=z2 方程解的分析：
（1）若x，y，z是方程解，則dx，dy，dz也是方程解
（2）由（1）只要考慮（x，y，z）=1的解即可，而實際上只 要（x，y）=1即可，假設（x，y）=d，則d|x，d|y，則有d|z
（3）由（2）可設（x，y）=1，則x，y為 一奇一偶。若x，y都為奇數，則z為偶數，則方程左邊為4K+2，右邊為4K，矛盾。所以x，y為一奇一偶。
由上分析，我們對（x ,y）作了一些限制，而這些限制並不影響其一般性。
即可假設在 x>0，y>0，z>0，（x，y）=1，2∣x的條件下給出x2+y2=z2的通解公式。
2、 定理
在條件x>0，y>0，z>0，（x，y）=1，2∣x的條件下x2+y2=z2的通解公式為 x=2ab，y=a2-b2，z2=a2+b2，a>b>0 , (a ,b)=1，a ,b一奇一偶。
為了證明定理的結論，先給出下面引理：
引理：設 u>0，v>0，（u ,v）=1，則不定方程 uv=w2的解為：
u=a2，v=b2，w=ab其中a>0，b>0，（a ,b）=1
推論：單位圓上的有理點可寫成：
【試題來源】 例題精講
【題目】證明：勾股數的勾股中至少有一個是3的倍數
【答案】如下解析
【解析】 證：設N=3m1，（m為整數），
則=3k+1
設中，若x，y都不是3的倍數，
都是3K+1，
則其和為3k+2。不可能是平方數，
所以是不可能的
【知識點】勾股數
【適用場合】當堂例題
【難度係數】3
【試題來源】
【題目】求方程x2+y2=z2中0<z<10的所有互質的正整數解。
【答案】(x，y，z)=(3，4，5)或(x，y，z)=(4，3，5)
【解析】 解：方程x2+y2=z2適合x＞0，y＞0，z＞0，(x,y)=1，
y是偶數的一切正整數解可表示為：x=a2－b2，y=2ab，z=a2+b2，
這裡a＞b＞0，(a，b)=1，且a，b是一奇一偶兩個整數。
故a2+b2＜10，a＞b＞0，
從而a=2，b=1,
故x=3，y=4，z=5。
∴(x，y，z)=(3，4，5)或(x，y，z)=(4，3，5)。
【知識點】勾股數
【適用場合】當堂練習
【難度係數】3
【試題來源】
【題目】求證每一組勾股數中至少有一個數是偶數。
【答案】如下解析
【解析】證明：設a,b,c都是奇數，
那麼a2,b2,c2也都是奇數，
∴a2＋b2是偶數，而c2是奇數，這與a2＋b2＝c2相矛盾，
故這種假設不能成立，
∴a,b,c中至少有一個數是偶數
【知識點】勾股數
【適用場合】當堂例題
【難度係數】3
【試題來源】
【題目】求不定方程2x+3y+5z=15的正整數解
【答案】(1,1,2),(2,2,1)
【解析】 解：因為(2,3,5)=1，所以方程有整數解。
令u=x+2z,得2u+3y+z=15,
故z=15-2u-3y,x=u-2z=5u+6y-30,其中u,y是任意整數，且x>0,z>0,
即5u+6y-30>0,……… ①
15-2u-3y>0,……… ②
由上述兩式消去u得：-3y+15>0,
從而0<y<5,即y=1,2,3,4.
當y=1時，由①，②解得＜u＜6，
故u=5,從而由2u+3y+z=15，z=2，故x=1。
即有解x=1，y=1，z=2。
當y=2時，同理得u=4，x=2，z=1。
即有解x=2，y=2，z=1。
當y=3或4時，滿足①，②的整數u不存在。
於是不定方程的正整數解為：(1,1,2),(2,2,1)
【知識點】勾股數
【適用場合】當堂練習題
【難度係數】4
【試題來源】
【題目】解不定方程組
【答案】(t是整數)
【解析】 解：由消去z得：
13x+13y=52,即x+y=4.
觀察得方程x+y=4的一個特解是x0=0,y0=4.
故其通解為：(t是整數)
代入5x+7y+2z=24得z=-2+t,
故原方程的通解為(t是整數)
說明：對於m個n元一次不定方程組(m<n)成的方程組，可以消去m－1個未知數，從而也消去了m－1個不定方程式，將方程組轉化為一個n－m+1元的一次不定方程
【知識點】勾股數
【適用場合】當堂例題
【難度係數】4
【試題來源】
【題目】求滿足方程2x2+5y2=11(xy－11)的正整數數組(x，y)
【答案】(x，y) =(14，27)
【解析】 解：移項並對方程右邊進行因式分解得：
(2x－y) (x－5y)=－112。於是有：
或或或
或或
分別求解，其中的正整數解只有一組(x，y) =(14，27)。
連結：二次或高次不定方程的常見解法
1因式分解法：對方程的一邊進行因式分解，另一邊作質因式分解，然後對比兩邊，轉為求解若干個方程組；
2不等式估計法：構造不等式關係，確定不定方程中某些未知數的範圍，再分別處理；
3無限遞降法：若關於正整數n的命題P(n)對某些正整數成立，設n0是使P(n)成立的最小正整數，可以推出：存在n1∈N*，使得n1＜n0並且P(n1)成立，適合證明不定方程無正整數解。
【知識點】勾股數
【適用場合】當堂練習題
【難度係數】4
【試題來源】
【題目】求不定方程14x2－24xy+21y2+4x－12y－18=0的整數解
【答案】（1，0）
【解析】 解：原式變形為：2(x－3y+1)2+3(2x－y)2=20，
故 3(2x－y)2≤20，
即平方數(2x－y)2≤4，
當 (2x－y)2=0，1時，(x－3y+1)2=10或2(x－3y+1)2=17，均不可能，
故(2x－y)2=4，
從而 (x－3y+1)2=4，
由此得方程有唯一整數解：（1，0）
【知識點】勾股數
【適用場合】當堂例題
【難度係數】3
【試題來源】
【題目】證明方程x2+y2－19xy－19=0無整數解
【答案】如下解析
【解析】 證明：方程變形為x2+y2=19xy+19，
∵ x2+y2=19xy+19≡0(mod19)，
而x2≡a(mod19)，y2≡b(mod19)，[來源:Zxxk.Com]
其中a，b可以取0，1，4，9，16，6，17，11，7，5。
∴ 當a≠0或b≠0時，x2+y2≡0(mod19)不成立，
∴ a = b = 0，
∴ x≡0(mod19)，y≡0(mod19)，
設 x= 19m，y= 19n，m，n∈Z，
則方程變為 19m2+19n2=192mn+1（*），等式的左邊是19的倍數，右邊被19除餘1，方程（*）無整數解，則原方程也無整數解。
說明：如果不定方程F(x1，x2，…,xn)=0有整數解，則對任意m∈N*，其整數解(x1，x2，…，xn)滿足F(x1，x2,…,xn)=0(modm)。利用這一必要條件，可以探究不定方程整數解的存在性。
【知識點】勾股數
【適用場合】當堂練習題
【難度係數】5
【試題來源】
【題目】證明不定方程x2 +y2=3(z2 + w2)沒有非零整數解
【答案】如下解析
【解析】 證明：注意方程x2 +y2=3(z2 + w2)的特點，若(x，y，z，w)是方程的非零解，則(|x|，|y|，|z|，|w|)也是方程的非零解，不妨設(x0，y0，z0，w0)為方程的非零解，其中x0≥0，y0≥0，z0≥0，w0≥0，x0+y0+z0+w0＞0，
則 x02 +y02=3(z02 + w02)≡0(mod3)，
∵ x02 +y02≡0(mod3)，
∴ x02≡0(mod3)，y02≡0(mod3)，
∴ x0≡0(mod3)，y0≡0(mod3)，
設 x0=3x1，y0=3y1，則3(x12 +y12)= z02 + w02≡0(mod3)，
同理 z0≡0(mod3)，w0≡0(mod3)，
設 z0=3z1，w0=3w1，則可得x12 +y12=3(z12 + w12)，說明(x1，y1，z1，w1)也是方程x2 + y2=3(z2 + w2)的非負非零解，其中x1≥0，y1≥0，z1≥0，w1≥0，且x0+y0+z0+w0＞x1+y1+z1+w1＞0；
繼續以上過程，可得到一系列的非負非零解，
使得x0+y0+z0+w0＞x1+y1+z1+w1＞…＞xn+yn+zn+wn＞…＞0。而且上述過程可以進行無限次，於是就有無限項的嚴格遞減的正整數數列
x0+y0+z0+w0，x1+y1+z1+w1，…，xn+yn+zn+wn，…這是不可能的，
因為x0+y0+z0+w0=m是一個有限大的正整數，數列後一項至少比前一項小1，
則xm+ym+zm+wm≤0，
所以方程x2 +y2=3(z2 + w2)沒有非零整數解。
說明：無限遞降法論證的核心是設法構造出方程的新解，使得它比已選擇的解「嚴格地小」，由此產生矛盾
【知識點】勾股數
【適用場合】當堂例題
【難度係數】5
【試題來源】
【題目】a是一個給定的整數，當a為何值時，x，y的方程y3+1=a(xy－1)有正整數解？在有正整數解時，求解該不定方程
【答案】（3，1），（5，2）；（2，1），（5，3）；（2，2）；（1，2），（3，5）；（1，3），（2，5）
【解析】 解：若有質數p| x3、p | xy－1,則p | x,從而p | 1，矛盾。
所以(x3，xy－1)=1。所以xy－1 | y3+1,若且唯若xy－1 | x3(y3+1)。
因為x3(y3+1)=(x3y3－1) +(x3+1)，顯然xy－1 | x3y3－1,[來源:學&科&網Z&X&X&K]
所以xy－1 | y3+1，若且唯若xy－1 | x3 +1。
(1)若y=1,則a=.所以x=2或x=3,a=2或1。
(2)類似地，若x=1，則.
所以y=2或y=3,a=9或a=14.
(3)由於有條件*，不妨設.
若x=y,則a=,所以x=y=2,a=3.
若x>y，則因為，
所以存在b，使得：。
所以by-1=,by-1<.
因為所以必有b=1.
所以。
故.
所以。
所以y=2或y=3。
當y=2時，x=5;當y=3時，x=5.對應的a為1或2。
由條件*知x=2,y=5;以及x=3,y=5也是原方程的解，對應的整數a是14或9。
綜上，當a=1、2、3、9、14時，原不定方程有正整數解，它們分別是：（3，1），（5，2）；（2，1），（5，3）；（2，2）；（1，2），（3，5）；（1，3），（2，5）。
【知識點】勾股數
【適用場合】當堂練習題
【難度係數】4
習題演練
【試題來源】
【題目】求方程x2－dy2=1(d＜－1)的非負整數解
【答案】x=1,y=0
【解析】 解：當y≠0時，x2－dy2＞1，
方程x2－dy2=1(d＜－1)無非負整數解，
當y=0時，x2 =1，
則x=1，
所以方程的非負整數解為x=1,y=0
【知識點】勾股數
【適用場合】隨堂課後練習
【難度係數】2
【試題來源】
【題目】求不定方程的正整數解
【答案】（1，1）
【解析】解：顯然x=1,y=1是原方程的解，若x1,則y1。
因為1(mod4),,1-,
所以y=2+1是奇數（）。
因為，所以。
因為，
所以，正整數x為6q+5形式的整數。
因為，所以，
而，
故對任意不為1的正整數x,y，2(mod7)。此時原方程無解。
綜上，原方程只有一組正整數解：（1，1）
【知識點】勾股數
【適用場合】隨堂課後練習
【難度係數】4